Eine Ebene ist ein Objekt der analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum.
Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

Darstellungsformen

Ebenen kann man auf verschiedene Weisen darstellen. Hier wird auf die Parameterform, die Koordinatenform, die Normalform und die Hesse-Normalform eingegangen.

Parameterform

Die Parameter-form beschreibt die Ebene durch eine Funktion, bei der man, wenn man  für die beiden Parameter (%%\lambda%% und %%\mu%%) alle Werte aus einsetzt, genau alle Punkte aus der Ebene erhält. 

Koordinatenform

Eine Ebene in der Koordinatenform fasst man als Menge aller Punkte auf, deren Koordinaten die Koordinatengleichung erfüllen:

%%E:\;\vec x=\vec r+\lambda\vec a+\mu\vec b%%

%%E:\;a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b%%

Normalform

Um eine Ebene in der Normalform auszudrücken, wählt man sich einen Punkt  %%\vec a%% auf ihr und einen Normalvektor %%\vec n%% . Die Ebene, ist dann die Menge aller Vektoren, deren Verbindung zu %%\vec a%% senkrecht auf %%\vec n%% steht.

Hesse-Normalform

Die Hesse-Normalform (oft mit %%\text{HNF}(E)%% bezeichnet) ist ein Spezialfall der Normalform, bei der zusäzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • %%\left|\vec n\right|=1%% , d.h. der Normalenvektor ist normiert
  • %%\overrightarrow{ n}\circ\left(\overrightarrow0-\overrightarrow{ a}\right)\leq0%% , d.h. wenn man %%\vec x=\vec0%%  setzt, ergibt sich ein Wert, der kleiner oder gleich Null ist

$$E:\;\overrightarrow{ n}\circ(\overrightarrow{ x}-\overrightarrow{ a})=0\;$$

$$\text{HNF}( E):\frac1{\left|\overrightarrow{ n}\right|}\overrightarrow{ n}\circ\left(\overrightarrow{ x}-\overrightarrow{ a}\right)=0$$

(Die Operation "%%\circ%%" beschreibt hier das Skalarprodukt.)

Spurpunkte-Spurgeraden

Als Spurpunkte einer Ebene bezeichnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, als Spurgeraden die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen. Die Spurgeraden erhält man auch als Verbindungsgeraden der Spurpunkte.

Koordinatenebenen

Die Koordinatenebenen sind die Ebenen, in denen jeweils eine Koordinate gleich null ist. Sie werden je von zwei Standartbasisvektoren aufgespannt: 

%%\,%%

%%x_1%%-%%x_2%%-Ebene

%%x_2%%-%%x_3%%-Ebene

%%x_1%%-%%x_3%%-Ebene

Koordinatenform

%%x_3 = 0%%

%%x_1=0%%

%%x_2=0%%

Parameterform

%%\vec x=\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\\0\end{pmatrix}%%

%%\vec x=\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\lambda\\\mu\end{pmatrix}%%

%%\vec x=\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\0\\\mu\end{pmatrix}%%

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