Aufgaben
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das
durch die Punkte  A(0    0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)  ,  B(3    0)\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)  ,  C(0    3)\mathrm C\left(0\;\left|\;3\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(30)(00)=(30)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}
AC=CA=(03)(00)=(03)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:   AΔ=12det(AB,AC){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right| .
AΔ=12det(3003){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\right|
=129=4,5=\frac12\cdot\left|9\right|=4,5
durch die Punkte  A(2    3)\mathrm A\left(2\;\left|\;3\right.\right)  ,  B(3    0)\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)  ,  C(1    4)\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(12)(21)=(33)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}
AC=CA=(24)(21)=(05)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  AΔ=12det(AB,AC){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|  .
AΔ=12det(3035){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\3&5\end{pmatrix}\right|
=1215=7,5=\frac12\cdot\left|15\right|=7,5
durch die Punkte  A(5    3)\mathrm A\left(-5\;\left|\;-3\right.\right)  ,  B(4    1)\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)  ,  C(1    5)\mathrm C\left(-1\;\left|\;-5\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(41)(53)=(12)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
AC=CA=(15)(53)=(42)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  AΔ=12det(AB,AC){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|  .
Berechne die  2×2Matrix2\times2-\mathrm{Matrix}  mit Hilfe der Formel  det(abcd)=adbc\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}  .
AΔ=12det(1422){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&4\\2&-2\end{pmatrix}\right|
=1228=1210=5=\frac12\cdot\left|-2-8\right|=\frac12\cdot\left|-10\right|=5
durch die Punkte  A(13    17)\mathrm A\left(13\;\left|\;17\right.\right)  ,  B(63    3)\mathrm B\left(63\;\left|\;3\right.\right)  ,  C(7    47)\mathrm C\left(7\;\left|\;47\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(633)(1317)=(5014)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}63\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\-14\end{pmatrix}
AC=CA=(747)(1317)=(630)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}7\\47\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\30\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein:  AΔ=12det(AB,AC){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|  .
Berechne die  2×2Matrix2\times2-\mathrm{Matrix}  mit Hilfe der Formel  det(abcd)=adbc\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}  .
AΔ=12det(5061430){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}50&-6\\-14&30\end{pmatrix}\right|
=12(150084)=121416=708=\frac12\cdot\left|\left(1500-84\right)\right|=\frac12\cdot\left|1416\right|=708

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% mithilfe der Determinante

%%A(3|1)%%, %%B(0|2)%% und %%C(4|5)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}0 - 3\\2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}4 - 3\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right|%%

%%=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 1& -3\\ 4& 1\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 1 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) = 6,5%%

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 6,5%%

%%A(-4|-5)%%, %%B(-1|1)%% und %%C(3|-2)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1 - (-4)\\1-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}3 - (-4)\\-2-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} \right|%%

%%=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 7& 3\\ 3& 6\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 7 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 16,5%%

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 16,5%%

%%A(4|4,5)%%, %%B(2,5|-\frac{2}{3})%% und %%C(-3,2|-2)%%

Um den Flächeninhalt %%F%% bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}2,5 - 4\\ -\frac{2}{3} -4,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}-3,2 - 4\\-2-4,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7,2\\-6,5\end{pmatrix}%%

Skizze

Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt %%F%% gilt:

%%F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|%%

%%\,\,\,\ =\frac 1 2 \cdot \left| \begin{pmatrix}-7,2\\-6,5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1,5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix} \right|%%

$$\,\,\,\,\,\,=\frac 1 2 \begin{vmatrix} -7,2& -1,5 \\ -6,5& -\frac{31}{6}\\ \end{vmatrix}$$

$$\,\,\,\,\,\,=\frac 1 2 \left[ (-7,2) \cdot \left(-\frac{31}{6}\right) - ( -1,5) \cdot (-6,5)\right]$$

$$\,\,\,\,\,\,= 13,725$$

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!

Für den Flächeninhalt des Dreiecks %%\,\triangle ABC%% gilt also %%F = 13,725%%.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(5\;\left|\;5\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7397_0rfoLpHRye.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|16-1\right|=\left|15\right|=15%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-1\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(6\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;6\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(6\;\left|\;6\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7401_M31McEKHma.xml

  

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|7\cdot7\right|=\left|49\right|=49%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-7\;\left|\;-3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-2\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-5\;\left|\;4\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;6\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7403_96obS39cnN.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|35-4\right|=\left|31\right|=31%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(2\;\left|\;-1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;1\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(5\;\left|\;1\right.\right)%%  gegeben ist.


Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7405_TyS5SZvh8Z.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\\\end{array}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}6&3\\0&2\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|12\right|=12%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;-17\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(10\;\left|\;-3\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-12\;\left|\;-5\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-2\;\left|\;9\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7407_a4uwMoE4qF.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}10\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\14\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-12\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\12\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}10&-12\\14&12\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrizen}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|120+168\right|=\left|288\right|=288%%

den Punkt  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-6\right.\right)%%  und die Vektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}%%  aufgespannt wird.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7441_RAGjeiYZ4p.xml

 

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-3&4\\5&2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|-6-20\right|=\left|-26\right|=26%%

den Punkt  %%\mathrm B\left(2\;\left|\;3\right.\right)%%  und die Vektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}%%  aufgespannt wird.

Fläche eines Parallelogramms

(im Zweidimensionalen)

 

7443_q42UOzBd1Y.xml

 

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:  %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-4&4\\1&1\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|-4-4\right|=\left|-8\right|=8%%

Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCDABCD
A(11),B(12)A(-1|-1), B(1|2) und D(52)D(5|2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante

Der Flächeninhalt FF ist gegeben durch F=ABACF = \left|\overrightarrow{AB} \,\overrightarrow{AC}\right|, du brauchst also erst die Vektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC} zu bestimmen.
Skizze
AB=BA\displaystyle \overrightarrow{AB} = B - A
=(12)(11)=(21)\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
AC=CA\displaystyle \overrightarrow{AC} = C - A
=(31)(11)=(42)\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}
Nun setzst du ein! Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen dem Uhrzeigersinn ist.
F=ACAB=4221=412(2)=8F=\left| \overrightarrow{AC} \overrightarrow{AB}\right|= \begin{vmatrix}4&2\\-2&1\end{vmatrix}=4 \cdot 1-2 \cdot (-2) = 8
Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms ABCDABCD genau F=8F = 8.
A(22),B(33)A(-2|2) , B(3|3)und C(11)C(-1|1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante

Der Flächeninhalt FF ist gegeben durch F=ABACF = \left|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\right|, du bestimmst also zuerst die Vektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC}.
Skizze
AB=BA\displaystyle \overrightarrow{AB} = B - A
=(33)(22)=(51)\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}
AC=CA\displaystyle \overrightarrow{AC} = C - A
=(11)(22)=(11)\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
Nun setzen wir ein:
F=ACAB=1511=115(1)=6F=\left|\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AB}\right|=\begin{vmatrix}1&5\\-1&1\end{vmatrix}=1 \cdot 1-5 \cdot (-1) = 6
Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms ABCDABCD genau F=6F = 6.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das
durch die Punkte  A(0    0    0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)  ,  B(3    0    0)\mathrm B\left(3\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)  ,  C(0    5    0)\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(300)(000)=(300)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}
AC=CA=(050)(000)=(050)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  AΔ=12AB×AC{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|  .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
AΔ=12(300)×(050){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\right|
=12(0015)=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}\right|
=1202+02+152=\frac12\cdot\sqrt{0^2+0^2+15^2}
=1215=7,5=\frac12\cdot15=7,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(411)(311)=(122)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}
AC=CA=(310)(311)=(021)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  AΔ=12AB×AC{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|  .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den  Betrag des Vektors .
AΔ=12(122)×(021){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|
=12(212)=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right|
=12(2)2+12+(2)2=\frac12\cdot\sqrt{\left(-2\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2}
=124+1+4=\frac12\cdot\sqrt{4+1+4}
=129=32=1,5=\frac12\cdot\sqrt9=\frac32=1,5
durch die Punkte  A(5    1    1)\mathrm A\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)  ,  B(3    3    1)\mathrm B\left(3\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)  ,  C(5    5    1)\mathrm C\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche des Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(331)(511)=(240)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}
AC=CA=(551)(511)=(042)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  AΔ=12AB×AC{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|  .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors.
AΔ=12(240)×(042){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right|
=12(848)=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}8\\-4\\-8\end{pmatrix}\right|
=1282+(4)2+(8)2=\frac12\cdot\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2+\left(-8\right)^2}
=1264+16+64=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}
=12144=122=6=\frac12\cdot\sqrt{144}=\frac{12}2=6
durch die Punkte  A(11    9    7)\mathrm A\left(11\;\left|\;9\;\left|\;7\right.\right.\right)  ,  B(4    6    11)\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;11\right.\right.\right)  ,  C(8    9    10)\mathrm C\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(4611)(1197)=(734)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}
AC=CA=(8910)(1197)=(303)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}8\\9\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  AΔ=12AB×AC{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|  .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
AΔ=12(734)×(303){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\right|
=12(999)=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-9\\9\\-9\end{pmatrix}\right|
=12(9)2+92+(9)2=\frac12\cdot\sqrt{\left(-9\right)^2+9^2+\left(-9\right)^2}
=12392=\frac12\cdot\sqrt{3\cdot9^2}
=923=\frac92\sqrt3
durch die Punkte  A(2    5    1)\mathrm A\left(2\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)  ,  B(3    1    3)\mathrm B\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;3\right.\right.\right)  ,  C(4    4    4)\mathrm C\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;4\right.\right.\right)  gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks

Berechne zuerst die Vektoren   AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}  und  AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}  .
AB=BA=(313)(251)=(544)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}
AC=CA=(444)(251)=(295)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  AΔ=12AB×AC{\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|  .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
AΔ=12(544)×(295){\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}\right|
=12(163353)=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}16\\33\\53\end{pmatrix}\right|
=12162+332+532=\frac12\cdot\sqrt{16^2+33^2+53^2}
=12256+1089+2809=\frac12\cdot\sqrt{256+1089+2809}
=124154=20772=\frac12\cdot\sqrt{4154}=\sqrt{\frac{2077}2}

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(0\;\left|\;6\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;8\;\left|\;8\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7445_EJ29KwFxTe.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}32\\0\\0\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{32^2+0^2+0^2}%%

   %%=32%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(5\;\left|\;-1\;\left|\;5\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7473_2GuBDHM3zK.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\-1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}-6\\-3\\6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-3\right)^2+6^2}%%

   %%=\sqrt{36+9+36}%%

   %%=\sqrt{81}=9%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(0\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(2\;\left|\;2\;\left|\;4\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;4\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7461_XX0A21qSnD.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}7\\4\\-6\end{pmatrix}\right|%%

Berechne den  Betrag des Vektors .

   %%=\sqrt{7^2+4^2+\left(-6\right)^2}%%

   %%=\sqrt{49+16+36}%%

   %%=\sqrt{101}%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-4\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-1\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-6\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;8\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Fläche eines Parallelogramms

(im Dreidimensionalen)

 

7479_XVmlk2Dnwe.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  .

Der Punkt  %%\mathrm D%%  wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein:   %%{\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|%%  .

%%\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\right|%%

Berechne das Kreuzprodukt .

   %%=\left|\begin{pmatrix}13\\-16\\5\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\sqrt{13^2+\left(-16\right)^2+5^2}%%

   %%=\sqrt{169+256+25}%%

   %%=\sqrt{450}=15\sqrt2%%