Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine reelle Zahl zu.

Um die Determinante einer Matrix zu schreiben, schreibt man entweder det vor der Matrix, oder man ersetzt die Klammern der Matrix durch gerade Striche.

Beispiel

%%\det\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix}\;\mathrm{und }\;\begin{vmatrix}1&8\\5&9\end{vmatrix}%% bezeichnen beide die Determinante der Matrix %%\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix}%%.

Determinante berechnen    

Es gibt verschiedene Arten eine Determinante zu berechnen, wie zum Beispiel die Regel von Sarrus oder den Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese findest du in dem Artikel Determinante berechnen.                                     

Eigenschaften

Die Determinante einer %%n\times n%%-Matrix hat die folgenden Eigenschaften:

%%\det(\mathrm\lambda\cdot\mathrm A)=\mathrm\lambda^\mathrm n\det(\mathrm A)%%

Man kann also einen Faktor %%\lambda%% aus der Determinante "ausklammern", indem man es "hoch n" nimmt.

Beispiel

%%\begin{vmatrix}10&20\\50&30\end{vmatrix}\;=\;300-1000=\;-700%%

%%\begin{vmatrix}10&20\\50&30\end{vmatrix}\;=\;10^{2\;}\begin{vmatrix}1&2\\5&3\end{vmatrix}\;=\;100\;(3-10)\;=-700%%

Hat eine Zeile oder eine Spalte von %%A%% nur Nullen   %%\Rightarrow \det(A) = 0%%

Beispiel

nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz: ,

Entwicklung nach 2.Spalte

%%\begin{vmatrix}1&0&5\\2&0&6\\3&0&7\end{vmatrix}=\;-\;0\cdot\begin{vmatrix}2&6\\3&7\end{vmatrix}\;+0\cdot\begin{vmatrix}1&5\\3&7\end{vmatrix}\;\;-0\cdot\begin{vmatrix}1&5\\2&6\end{vmatrix}\;\;\; = 0%%

Sind die Zeilen oder die Spalten von A linear abhängig (wenn man sie als Vektoren sieht) %%\Rightarrow \det(A) = 0%%

Beispiel  

nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz: ,

Entwicklung nach 3.Spalte

%%\begin{array}{l}\begin{vmatrix}1&1&5\\2&2&6\\3&3&7\end{vmatrix}=\;5\cdot\begin{vmatrix}2&2\\3&3\end{vmatrix}-6\cdot\begin{vmatrix}1&1\\3&3\end{vmatrix}+7\cdot\begin{vmatrix}1&1\\2&2\end{vmatrix}=\\=\;5\cdot0-6\cdot0+7\cdot0=0\end{array}%%

Ist A eine Diagonalmatrix mit der Form %%\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n%%

Beispiel

mit der Regel von Sarrus oder der Laplaceschen Entwicklung folgt

%%\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}=\;1\cdot2\cdot3\;=6%%

Ist A eine obere/untere Dreiecksmatrix (nur die Zahlen im oberen/unteren Dreieck %%\neq 0%%)

%%\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{ii}&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n%%

Beispiel  

nach der Regel von Sarrus:

%%\begin{array}{l}\begin{vmatrix}1&0&0\\29&2&0\\24&99&3\end{vmatrix}=\;\\=1\cdot2\cdot3+\;29\cdot99\cdot0+24\cdot0\cdot0\\-24\cdot2\cdot0-99\cdot0\cdot1-3\cdot29\cdot0=\\=6\end{array}%%

Wozu braucht man Determinanten? 

Determinante sind für die Mathematik sehr nützlich. Man kann mit ihnen

aber vor allem helfen sie die Lösbarkeit eines lineares Gleichungssystems zu untersuchen.

Gilt für eine %%n\times n%%- Matrix %%A: \det A \neq 0%%, so hat jedes lineare Gleichungssystem, welches %%A%% als Koeffizientenmatrix hat, eine eindeutige Lösung.

Warum funktioniert das?
  • Aus den Eigenschaften der Determinante folgt, dass die Determinante einer Matrix %%A%% und die Determinante von %%\tilde{A}%% (die Matrix %%A%% in Zeilenstufenform) gleich sind.

  • %%\det A \neq 0%% ist also gleichbedeutend mit "Zeilenstufenform von %%A%% hat keine Nullzeilen.

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Zu article Determinante: Diagonal- und obere Dreiecksmatrix
SebSoGa 2016-07-21 13:50:32
Liebes Serlo-Team,

die Schemata für eine Diagonal- und eine obere Dreiecksmatrix sind für einen Schüler alles andere als selbstverständlich.
Diese Begriffe sollten entweder hier oder in dem Artikel "Matrix" erklärt werden.

Liebe Grüße
Sebastian
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