Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung und wird durch jeden Pfeil repräsentiert, der

  • gleiche Länge
  • und gleiche Richtung

wie die betreffende Verschiebung hat.

Vektoren werden meistens mit einem Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benannt. Typische Vektorennamen sind also %%\vec{a}, \vec{v}, \vec{w}\dots%%

Die einzelnen Pfeile bezeichnet man als Repräsentanten dieses Vektors. Sie sind alle parallel zueinander.

Hier sieht man einige Repräsentanten des Vektors %%\overrightarrow{a}%%.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in den Vektorbegriff (Vektoren in der Ebene I).

Video zur Einführung des Vektorbegriffs

Ortsvektoren und ihre Darstellung

Ein Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt selbst. Der Ortsvektor zum Punkt %%A(2\vert5\vert-3)%% ist also %%\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}%%. Man schreibt auch statt %%\overrightarrow{OA}%% verkürzt %%\overrightarrow A%%. Üblich ist auch, den entsprechenden Kleinbuchstaben zu verwenden, also zum Beispiel %%\vec a%% für %%\overrightarrow{OA}%% oder %%\vec p%% für %%\overrightarrow{OP}%%. Möchte man den Gegenvektor, also den vom Punkt zum Ursprung haben, muss man nur die Vorzeichen des Vektors umdrehen, also statt %%\overrightarrow A%% mit %%-\overrightarrow A%% rechnen.

Der Vektor %%\style{font-family:Verdana}{\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}%% liegt in der x-y-Ebene

Der Vektor %%\style{font-family:Verdana}{\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}}%% lieg im Raum

Die Koordinaten eines Vektors %%\vec v%% werden mit verschiedenen Schreibweisen bezeichnet. Beispiele sind:

$$\vec v = \pmatrix{x_v\\y_v}$$

$$\vec v = \pmatrix{v_1\\v_2}$$

$$\vec v = \pmatrix{v_x\\v_y}$$

Video zum Einzeichnen von Vektoren

Länge eines Vektors

Die Länge oder der Betrag eines Vektors %%\vec{a}%% wird mit %%|\vec{a}|%% (oder auch oft %%\|\vec{a}\|%%) bezeichnet und berechnet sich wie folgt:

%%\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}%% , falls %%\vec{a}%% in der Ebene liegt

%%\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}%%, falls %%\vec{a}%% im dreidimensionalen Raum liegt.

Im Artikel Länge eines Vektors findet man mehr Informationen dazu.

Länge

Übungsaufgaben

Berechne die Länge der folgenden Vektoren

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Länge eines Vektors.

Beziehungen zwischen zwei Vektoren

Parallelität

Zwei Vektoren %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:

%%\vec{v}=k\cdot\vec{w}\;\;\;\;\;\;\;k\in ℝ%%   

Übungsaufgaben

Lässt sich der Vektor %%\vec{w}%% durch eine Streckung des Vektors %%\vec{v}%% erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor %%k%% um den %%\vec{v}%% gestreckt wurde.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur skalaren Multiplikation und Vektorketten

Orthogonalität

Zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% sind zueinander orthogonal ( = senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt %%\vec{a}\circ\vec{b}%% gleich 0 ist.

Ein Vektor %%\vec{n}%%, der orthogonal

  • zu einem anderen Vektor %%\vec{v}%%, oder
  • zu einer Geraden %%g%%, oder
  • zu einer Ebene %%E%%

steht, nennt man Normalvektor (oder auch Normalenvektor) von %%\vec{v}%%, %%g%%, oder %%E%%.

Vor allem Ebenen, aber auch Geraden, werden mit Normalvektoren in einer Normalform sehr einfach dargestellt.

Rechnungen mit Vektoren

Mit Vektoren lässt sich ähnlich wie bei Zahlen rechnen. Man kann also:

Wichtig: Es gibt mehr als eine Art Vektoren miteinander zu multiplizieren. Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl ( = ein Skalar), während beim Kreuzprodukt ein weiterer Vektor rauskommt.

Eine weitere wichtige Rechnung, die man mit Vektoren machen kann ist die sogenannte Matrix-Vektor Multiplikation.

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Zu article Vektor:
Renate 2016-11-16 10:01:55
DARSTELLUNGSWEISE VON ORTSVEKTOREN

Die abkürzende Schreibweise A mit Vektorpfeil statt OA mit Vektorpfeil ist offenbar nicht überall gebräuchlich
- vgl. hierzu die Diskussionsbeiträge von Digamma und von Kowalsky im Verlauf einer Diskussion auf https://de.serlo.org/58150, aus denen hervorgeht, dass die Schreibweise anscheinend in Baden-Württemberg und in Hessen nicht im Schulunterricht verwendet wird.
Dort benutzt man für den Ortsvektor eines Punktes den entsprechenden Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil, also a mit Vektorpfeil für den Ortsvektor des Punktes A, b mit Vektorpfeil für den Ortsvektor von B usw.

Die Schreibweise mit dem Kleinbuchstaben sollte daher im Artikel noch ergänzt werden.

Gruß
Renate

PS: Welche Schreibweisen sind euch geläufig?
Digamma 2016-11-17 18:13:31
Ich habe einfach mal einen Satz dazu eingefügt.
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Zu article Vektor: Feedback
Simon 2016-07-19 14:00:03
- den Anfang finde ich sehr schön gestaltet!
- Braucht es die Bemerkung bei der Überschrift "Darstellung" wirklich? bzw. ist sie so wichtig, dass sie hervorgehoben werden muss?
- die letzten vier Überschriften könnten jeweils noch mit einer Grafik visualisiert werden
- Gibt es Möglichkeiten noch Aufgaben einzubauen?

Liebe Grüße
Simon
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