Aufgaben

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch DE und BC zueinander parallel sind. Die Strecke zwischen AB = 8 cm, die zwischen BC= 5 cm und die zwischen DE = 3 cm.

Wie lang ist die Strecke EB in cm?

$$\mathbf{\overline{EB}}=\overline{AB}-\overline{AE} \:(1)$$

Die Strecke EB is die Differenz zwischen der Strecke AB und AE, und AE kann man mit Hilfe des Strahlensatzes aus AB, BC, und DE errechnen.

$$\frac{\mathbf{\overline{AE}}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$$

$$|\cdot \overline{AB}$$

$$\overline{AE}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\cdot\overline{AB}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot8\:cm=\mathbf{4.8\:cm}$$

4.8 cm einsetzen in (1).

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE}=8\:cm-4.8\:cm=\mathbf{3.2\:cm}$$

Die Strecke EB betraegt 3.2 cm

Wenn CD = 4 cm, wie lange ist dann AC in cm?

Es gibt zwei Moeglichkeiten AC aus den gegebenen Strecken zu berechnen.

Moeglichkeit A aus den urspruenglichen Angaben zu BC, DE und CD:

$$\overline{AC}=\mathbf{\overline{AD}}+\overline{DC}\:(1)$$

Die Strecke AC ist die Summe aus den Strecken AD (unbekannt) und CD (gegeben).

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}$$

Aus dem Strahlensatz kannst du ausserdem das Verhaeltnis zwischen AC und AD berechnen. $$|\cdot\overline{AC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}\cdot\overline{AC}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}$$

und fur AD in (1) einsetzen.

$$\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}+\overline{DC}$$

$$|-0.6\:\overline{AC}$$

$$0.4\:\overline{AC}=\overline{DC}$$

$$|:0.4 \:oder \cdot\:2.5$$

$$\overline{AC}=2.5\cdot\overline{DC}=2.5\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Alternativ kannst du AC auch aus AB, CD und EB aus der vorigen Aufgabe berechnen:

$$\frac{\overline{CD}}{\mathbf{\overline{AC}}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}$$

Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhaeltnis von CD und AC aus EB und AB.

Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{CD}$$

$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}\cdot\overline{CD}=\frac{8\:cm}{3.2\:cm}\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Betrachte die Figur rechts . Die Geraden durch AD und durch BC sind zueinander parallel, und der Abstand zwischen den Punkten AB = 6cm, zwischen AE = 2 cm und zwischen BC = 3 cm.

Strahlensatz1

Wie lang ist AD in cm?

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

Mit dem Strahlensatz laesst sich die Strecke AD aus AE (bekannt), EB (unbekannt) und BC (bekannt) errechnen.

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE} = 6\:cm -2\:cm=4\:cm$$

Die Strecke EB ist die Differenz zwischen der Strecke AB und AE.

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{BC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}\cdot\overline{BC}=\frac{2\:cm}{4\:cm}\cdot 3 \:cm=1.5 \:cm$$

Entscheide, ob du den Strahlensatz anwenden darfst und die gesuchte Strecke berechnen kannst!

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2 B_2}%%

Gesucht: %%\overline{A_1 B_1}%%

Das ist leider nicht richtig. Schau es dir nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Du kannst den zweiten Strahlensatz %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{Z A_2}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{A_2 B_2}}%% benutzen und durch Umstellen den gesuchten Wert %%\overline{A_1 B_1}%% bekommen.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{ZB_1}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_2}%%

Das ist leider falsch. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig! Die beiden türkisen Geraden sind nicht parallel, deshalb kann der Strahlensatz nicht angewendet werden.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2B_2}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_1}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Prinzipell sind alle Voraussetzungen für die Verwendung des Strahlensatzes erfüllt.

Aber da du weder den Wert für %%\overline{ZB_2}%% noch für %%\overline{B_1 B_2}%% kennst, kannst du den Wert von %%\overline{ZB_1}%% nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnen.

Gegeben: %%\overline{A_1 A_2}, \overline{Z A_1}, \overline{Z B_1}%%

Gesucht: %%\overline{Z B_2}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Man kann die Formel %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 A_2}\hspace{0.15cm}}{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 Z}\hspace{0.15cm}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{B_2 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{B_1 Z}}%% benutzen, um den Abstand %%\overline{B_1 B_2}%% zu berechnen. Den gesuchten Wert %%\overline{Z B_2}%% bekommst du, indem du von %%\overline{B_1 B_2}%% den Abstand %%\overline{B_1 Z}%% abziehst.

Klaus will ein Haus mithilfe des Hausschattens ausmessen. Dazu misst Klaus zuerst den Abstand vom Haus bis zum Endpunkt des Schattens. Dieser Abstand beträgt genau %%9,5m%%.

Anschließend stellt sich Klaus, der %%1,80m%% groß ist, genau an den Punkt, ab dem er im Schatten ist. Diesen Ort markiert er und misst wieder den Abstand von dieser Markierung zum Haus. Dieser beträgt %%7,5m%%.

Benutze den Strahlensatz, um die Höhe des Hauses zu berechnen!

Anwendung des Strahlensatzes

Hier findest du eine Erklärung zum Thema Strahlensatz.

Die Zeichnung kann in eine Skizze, ähnlich zu den Skizzen im Artikel zum Strahlensatz, umgeformt werden. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Anschließend kannst du die gegebenen Werte aus der Angabe den Strecken in der Skizze zuordnen.

Um nun die fehlende Höhe %%h%% auszurechnen schreibst du dir am besten nochmal die gegebenen Werte auf. Dazu benutzt du die Zuordnung aus der Skizze oben.

$$\displaystyle{\overline{A_1 B_1}=1,8m}$$ $$\displaystyle{\overline{A_2 B_2}=h}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_1}=9,5m-7,5m = 2m}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_2}=9,5m}$$

Suche anschließend den passenden Strahlensatz für die gegebenen Strecken.

%%\\%%

Zweiter Strahlensatz: $$\displaystyle{\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}}=\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{A_2 B_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{ A_1 B_1}\hspace{0,15cm}} }$$

%%\\%%

%%\\%%

Stelle den Strahlensatz nach der gesuchten Größe %%\hspace{0,15cm} h = \overline{A_2 B_2}\hspace{0,15cm}%% um.

$$\displaystyle{ \overline{A_2 B_2} = \dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}} \cdot \overline{A_1 B_1}}$$

Setze die Werte ein und berechne die Höhe für das Haus!

$$\displaystyle{h =\overline{A_2 B_2} = \dfrac{9,5m}{2m}\cdot 1,8m=8,55m}$$

Das von Klaus gemessene Haus ist 8,55m hoch.

Kommentieren Kommentare