Aufgaben

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch DE und BC zueinander parallel sind. Die Strecke zwischen AB = 8 cm, die zwischen BC= 5 cm und die zwischen DE = 3 cm.

Wie lang ist die Strecke EB in cm?

$$\mathbf{\overline{EB}}=\overline{AB}-\overline{AE} \:(1)$$

Die Strecke EB is die Differenz zwischen der Strecke AB und AE, und AE kann man mit Hilfe des Strahlensatzes aus AB, BC, und DE errechnen.

$$\frac{\mathbf{\overline{AE}}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$$

$$|\cdot \overline{AB}$$

$$\overline{AE}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\cdot\overline{AB}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot8\:cm=\mathbf{4.8\:cm}$$

4.8 cm einsetzen in (1).

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE}=8\:cm-4.8\:cm=\mathbf{3.2\:cm}$$

Die Strecke EB betraegt 3.2 cm

Wenn CD = 4 cm, wie lange ist dann AC in cm?

Es gibt zwei Moeglichkeiten AC aus den gegebenen Strecken zu berechnen.

Moeglichkeit A aus den urspruenglichen Angaben zu BC, DE und CD:

$$\overline{AC}=\mathbf{\overline{AD}}+\overline{DC}\:(1)$$

Die Strecke AC ist die Summe aus den Strecken AD (unbekannt) und CD (gegeben).

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}$$

Aus dem Strahlensatz kannst du ausserdem das Verhaeltnis zwischen AC und AD berechnen. $$|\cdot\overline{AC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}\cdot\overline{AC}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}$$

und fur AD in (1) einsetzen.

$$\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}+\overline{DC}$$

$$|-0.6\:\overline{AC}$$

$$0.4\:\overline{AC}=\overline{DC}$$

$$|:0.4 \:oder \cdot\:2.5$$

$$\overline{AC}=2.5\cdot\overline{DC}=2.5\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Alternativ kannst du AC auch aus AB, CD und EB aus der vorigen Aufgabe berechnen:

$$\frac{\overline{CD}}{\mathbf{\overline{AC}}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}$$

Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhaeltnis von CD und AC aus EB und AB.

Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{CD}$$

$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}\cdot\overline{CD}=\frac{8\:cm}{3.2\:cm}\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Betrachte die Figur rechts . Die Geraden durch AD und durch BC sind zueinander parallel, und der Abstand zwischen den Punkten AB = 6cm, zwischen AE = 2 cm und zwischen BC = 3 cm.

Strahlensatz1

Wie lang ist AD in cm?

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

Mit dem Strahlensatz laesst sich die Strecke AD aus AE (bekannt), EB (unbekannt) und BC (bekannt) errechnen.

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE} = 6\:cm -2\:cm=4\:cm$$

Die Strecke EB ist die Differenz zwischen der Strecke AB und AE.

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{BC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}\cdot\overline{BC}=\frac{2\:cm}{4\:cm}\cdot 3 \:cm=1.5 \:cm$$

Entscheide, ob du den Strahlensatz anwenden darfst und die gesuchte Strecke berechnen kannst!

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2 B_2}%%

Gesucht: %%\overline{A_1 B_1}%%

Das ist leider nicht richtig. Schau es dir nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Du kannst den zweiten Strahlensatz %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{Z A_2}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{A_2 B_2}}%% benutzen und durch Umstellen den gesuchten Wert %%\overline{A_1 B_1}%% bekommen.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{ZB_1}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_2}%%

Das ist leider falsch. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig! Die beiden türkisen Geraden sind nicht parallel, deshalb kann der Strahlensatz nicht angewendet werden.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2B_2}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_1}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Prinzipell sind alle Voraussetzungen für die Verwendung des Strahlensatzes erfüllt.

Aber da du weder den Wert für %%\overline{ZB_2}%% noch für %%\overline{B_1 B_2}%% kennst, kannst du den Wert von %%\overline{ZB_1}%% nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnen.

Gegeben: %%\overline{A_1 A_2}, \overline{Z A_1}, \overline{Z B_1}%%

Gesucht: %%\overline{Z B_2}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Man kann die Formel %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 A_2}\hspace{0.15cm}}{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 Z}\hspace{0.15cm}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{B_2 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{B_1 Z}}%% benutzen, um den Abstand %%\overline{B_1 B_2}%% zu berechnen. Den gesuchten Wert %%\overline{Z B_2}%% bekommst du, indem du von %%\overline{B_1 B_2}%% den Abstand %%\overline{B_1 Z}%% abziehst.

Klaus will ein Haus mithilfe des Hausschattens ausmessen. Dazu misst Klaus zuerst den Abstand vom Haus bis zum Endpunkt des Schattens. Dieser Abstand beträgt genau %%9,5m%%.

Anschließend stellt sich Klaus, der %%1,80m%% groß ist, genau an den Punkt, ab dem er im Schatten ist. Diesen Ort markiert er und misst wieder den Abstand von dieser Markierung zum Haus. Dieser beträgt %%7,5m%%.

Benutze den Strahlensatz, um die Höhe des Hauses zu berechnen!

Anwendung des Strahlensatzes

Hier findest du eine Erklärung zum Thema Strahlensatz.

Die Zeichnung kann in eine Skizze, ähnlich zu den Skizzen im Artikel zum Strahlensatz, umgeformt werden. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Anschließend kannst du die gegebenen Werte aus der Angabe den Strecken in der Skizze zuordnen.

Um nun die fehlende Höhe %%h%% auszurechnen schreibst du dir am besten nochmal die gegebenen Werte auf. Dazu benutzt du die Zuordnung aus der Skizze oben.

$$\displaystyle{\overline{A_1 B_1}=1,8m}$$ $$\displaystyle{\overline{A_2 B_2}=h}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_1}=9,5m-7,5m = 2m}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_2}=9,5m}$$

Suche anschließend den passenden Strahlensatz für die gegebenen Strecken.

%%\\%%

Zweiter Strahlensatz: $$\displaystyle{\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}}=\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{A_2 B_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{ A_1 B_1}\hspace{0,15cm}} }$$

%%\\%%

%%\\%%

Stelle den Strahlensatz nach der gesuchten Größe %%\hspace{0,15cm} h = \overline{A_2 B_2}\hspace{0,15cm}%% um.

$$\displaystyle{ \overline{A_2 B_2} = \dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}} \cdot \overline{A_1 B_1}}$$

Setze die Werte ein und berechne die Höhe für das Haus!

$$\displaystyle{h =\overline{A_2 B_2} = \dfrac{9,5m}{2m}\cdot 1,8m=8,55m}$$

Das von Klaus gemessene Haus ist 8,55m hoch.

Die Strecken %%\overline{AB} = 5 \, \text{cm}%%, %%\overline{BB'}=3 \, \text{cm}%% und %%\overline{BC} = 4 \, \text{cm}%% sind gegeben. Berechne die Länge der türkis markierten Strecke %%\overline{B' C'}%%!

Das ist noch nicht die richtige Antwort!

Das ist leider nicht die richtige Antwort!

Das ist leider noch nicht richtig. Versuch es nochmal!

Das ist richtig! Super!

Strahlensatz

Der Strahlensatz für eine V-Figur lautet:

$$\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}= \dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}$$

Gesucht ist die Strecke %%\overline{B'C'}%%.
Löse nun die Bruchgleichung des Strahlensatzes nach dieser Strecke auf!

%%\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}= \dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}%%

Multipliziere dazu mit %%\overline{BC}%%.

%%\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}} \cdot\overline{BC} = \overline{B'C'}%%

Setze nun die Zahlen aus der Angabe ein und berechne %%\overline{B'C'}%%.

%%\overline{B'C'}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}} \cdot\overline{BC}%%

%%\overline{B'C'}=\dfrac{8\, \text{cm}}{5 \, \text{cm}} \cdot 4\, \text{cm} = 6,2 \, \text{cm}%%

Die gesuchte Strecke %%\overline{B'C'}%% hat eine Länge von %%6,2 \, \text{cm}%%.

Gegeben sei die nebenstehende Figur mit den Seiten %%a, a', b, b', c%% und %%c'%%.

Berechne die Länge der Strecke %%b'%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Anwendung des Strahlensatzes

Um die gesuchte Größe %%b'%% zu berechnen benötigst du die Formeln des Strahlensatzes.

Berechnung von %%b'%%:

Für %%b'%% benötigst du die Formel: $$\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}$$

Löse diese Formel nach %%b'%% auf!

%%\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}%%

Multipliziere mit %%b%%!

%%\dfrac{a'}{a} \cdot b=b'%%

Setze die Werte für %%a', \; a, \; b%% ein.

%%b' = \dfrac{3}{5} \cdot 6,25=3,75%%

%%b'%% hat die Länge %%3,75%%.

Berechne die Länge der Strecke %%c%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Anwendung des Strahlensatzes

Um die gesuchte Größe %%c%% zu berechnen benötigst du die Formeln des Strahlensatzes.

Berechnung von %%c%%:

Für %%c%% benötigst du die Formel: $$\dfrac{a+a'}{a}=\dfrac{c'}{c}$$

Löse diese Formel nach %%c%% auf!

%%\dfrac{a+a'}{a}=\dfrac{c'}{c}%%

Multipliziere mit %%c%%.

%%\dfrac{a+a'}{a} \cdot c=c'%%

Dividiere durch %%\dfrac{a+a'}{a}%%!
(Multipliziere mit dem Kehrbruch)

%%c = c' \cdot \dfrac{a}{a+a'}%%

Setze die gegebenen Werte aus und berechne %%c%%.

%%c = 6 \cdot \dfrac{5}{8} = 3,75%%

%%c%% hat die Länge %%3,75%%.

Eine Figur wird durch eine Linse auf einen Bildschirm abgebildet. Dabei dreht sich das Bild um und wird verkleinert.
Der Abstand der Figur zur Linse wird in der Physik auch Gegenstandsweite %%g%% genannt.
Der Abstand des Bildes zur Linse wird auch Bildweite %%b%% genannt.

Die Größe der Figur ist %%G%% (Gegenstandsgröße) und die Größe des Bildes ist %%B%%.

Du hast nun die Gegenstandsweite, Bildweite und die Größe des Gegenstandes gegeben und sollst die Größe des Bildes auf der Leinwand %%B%% berechnen.

%%G = 30\, \text{cm}%%
%%g = 60\, \text{cm}%%
%%b = 40\, \text{cm}%%

Erstellung einer Skizze

Erstelle zunächst eine Skizze, die der X-Figur des Strahlensatzes gleicht. Benenne dazu alle relevanten Punkte und trage die Längen der gegebenen Strecken ein.

Hier ist im Hintergrund noch das Bild der Figuren und der Linse, für eine bessere Orientierung, zu sehen. Das muss in deiner Skizze natürlich nicht so sein!

Anwendung des Strahlensatzes

Der zweite Strahlensatz für die X-Figur hat folgende Formulierung:

Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und der selben Gerade liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele.

Für die Wegstrecken, die auf derselben Geraden liegen nimmst du %%\overline{A_1 Z} = g%% und %%\overline{Z A_2} = b%%.
Die beiden Parallelen sind in diesem Fall %%\overline{A_1 B_1} = G%% und %%\overline{A_2 B_2} = B%%.

Stelle damit die Formel für den Strahlensatz auf!

%%\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}%%

Stelle diese Formel nach %%B%% um!

%%\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}%%

Multipliziere mit %%G%%.

%%\dfrac{b}{g} \cdot G= B%%

Setze die gegebenen Werte ein und berechne %%B%%.

%%B= \dfrac{b}{g} \cdot G= \dfrac{40 \, \text{cm}} {60 \, \text{cm}} \cdot 30 \, \text{cm}%%

%%B= 20\, \text{cm}%%

Das Bild auf der Leinwand hat eine Größe von %%20 \, \text{cm}%%!

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