Aufgaben

Betrachte die Figur rechts, in der die Geraden durch %%DE%% und %%BC%% zueinander parallel sind.%%\;%%
Es gilt: %%\overline{AB} = 8 \;\text{cm}%%, %%\overline{BC}= 5 \;\text{cm}%% und %%\overline{DE} = 3\; \text{cm}%%.

Wie lang ist die Strecke %%\overline{EB}%% in %%\text{cm}%%?

$${\overline{EB}}=\overline{AB}-\overline{AE} \:(1)$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% is die Differenz zwischen der Strecke %%\overline{AB}%% und %%\overline{AE}%%

%%\overline{AE}%% kann man mit Hilfe des Strahlensatzes aus %%\overline{AB}%%, %%\overline{BC}%% und %%\overline{DE}%% errechnen.

$$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$$

$$|\cdot \overline{AB}$$

$$\overline{AE}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\cdot\overline{AB}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot8\:cm=\mathbf{4,8\:cm}$$

4.8 cm einsetzen in (1).

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE}=8\:cm-4.8\:cm=\mathbf{3,2\:cm}$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% beträgt %%3,2\;\text{cm}%%

Wenn gilt %%\overline{CD} = 4 \;\text{cm}%%, wie lange ist dann %%\overline{AC}%% in %%\text{cm}%% ?

Es gibt zwei Moeglichkeiten AC aus den gegebenen Strecken zu berechnen.

Moeglichkeit A aus den urspruenglichen Angaben zu BC, DE und CD:

$$\overline{AC}=\mathbf{\overline{AD}}+\overline{DC}\:(1)$$

Die Strecke AC ist die Summe aus den Strecken AD (unbekannt) und CD (gegeben).

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}$$

Aus dem Strahlensatz kannst du ausserdem das Verhaeltnis zwischen AC und AD berechnen. $$|\cdot\overline{AC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}\cdot\overline{AC}=\frac{3\:cm}{5\:cm}\cdot\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}$$

und fur AD in (1) einsetzen.

$$\overline{AC}=0.6\:\overline{AC}+\overline{DC}$$

$$|-0.6\:\overline{AC}$$

$$0.4\:\overline{AC}=\overline{DC}$$

$$|:0.4 \:oder \cdot\:2.5$$

$$\overline{AC}=2.5\cdot\overline{DC}=2.5\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Alternativ kannst du AC auch aus AB, CD und EB aus der vorigen Aufgabe berechnen:

$$\frac{\overline{CD}}{\mathbf{\overline{AC}}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}$$

Aus dem Strahlensatz ergibt sich das Verhaeltnis von CD und AC aus EB und AB.

Drehe den Bruch auf beiden Seiten um.

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{CD}$$

$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{EB}}\cdot\overline{CD}=\frac{8\:cm}{3.2\:cm}\cdot4\:cm=\mathbf{10\:cm}$$

Die Strecke AC ist also 10 cm lang.

Betrachte die Figur rechts.

Die Geraden %%AD%% und %%BC%% sind zueinander parallel. Außerdem gilt %%\overline{AB} = 6\;\text{cm}%%, %%\overline{AE} = 2 \;\text{cm}%% und %%\overline{BC} = 3 \;\text{cm}%%.

Strahlensatz1

Berechne die Länge der Strecke %%\overline{AD}%% in %%\text{cm}%%.

Gesucht ist die Länge der Strecke %%\overline{AD}%%. Diese Strecke ist Teil der Parallelen Geraden, daher weißt du, dass du den %%2.%% Strahlensatz benötigst:

$$\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

Mit dem %%2.%% Strahlensatz kannst du die Strecke %%\overline{AD}%% aus %%\overline{AE}%% (bekannt), %%\overline{EB}%% (unbekannt) und %%\overline{BC}%% (bekannt) errechnen.

$$\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{AE} = 6\:cm -2\:cm=4\:cm$$

Die Strecke %%\overline{EB}%% ist die Differenz zwischen der Strecke %%\overline{AB}%% und %%\overline{AE}%%.

%%\;%%

Jetzt kennst du alle Streckenlängen, um den Strahlensatz anwenden zu können:

$$\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}$$

$$|\cdot\overline{BC}$$

$$\overline{AD}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}\cdot\overline{BC}=\frac{2\:cm}{4\:cm}\cdot 3 \:cm$$

$$=1,5 \:cm$$

Begründe, warum du die Länge der Strecke %%\overline{CE}%% nicht mit Hilfe des Strahlensatzes berechnen kannst.

Um die Länge der Strecke %%\overline{CE}%% zu berechnen hättest du prinzipiell zwei Möglichkeiten:

  • 1. Strahlensatz: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EA}}%%, wenn du alle gegebenen Größen einsetzt, erhältst du: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{4}{2}=2.%%

    Dir fehlt jedoch die Länge der Strecke %%\overline{ED}%%, um %%\overline{CE}%% berechnen zu können.


  • 2. Strahlensatz: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}}%%, wenn du alle gegebenen Größen einsetzt erhältst du: %%\dfrac{\overline{CE}}{\overline{ED}}=\dfrac{3}{1,5}=2%%.

    Wieder fehlt dir die Länge der Strecke %%\overline{ED}%%, um %%\overline{CE}%% berechnen zu können.


Wie du siehst, benötigst du von einem Strahl immer eine der beiden Strecken, um die jeweils andere mit dem Strahlensatz berechnen zu können!

Entscheide, ob du den Strahlensatz anwenden darfst und die gesuchte Strecke berechnen kannst!

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2 B_2}%%

Gesucht: %%\overline{A_1 B_1}%%

Das ist leider nicht richtig. Schau es dir nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Du kannst den zweiten Strahlensatz %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{Z A_2}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{A_2 B_2}}%% benutzen und durch Umstellen den gesuchten Wert %%\overline{A_1 B_1}%% bekommen.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{ZB_1}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_2}%%

Das ist leider falsch. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig! Die beiden türkisen Geraden sind nicht parallel, deshalb kann der Strahlensatz nicht angewendet werden.

Gegeben: %%\overline{ZA_1}, \overline{ZA_2}, \overline{A_2B_2}%%

Gesucht: %%\overline{ZB_1}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Prinzipell sind alle Voraussetzungen für die Verwendung des Strahlensatzes erfüllt.

Aber da du weder den Wert für %%\overline{ZB_2}%% noch für %%\overline{B_1 B_2}%% kennst, kannst du den Wert von %%\overline{ZB_1}%% nicht mithilfe des Strahlensatzes berechnen.

Gegeben: %%\overline{A_1 A_2}, \overline{Z A_1}, \overline{Z B_1}%%

Gesucht: %%\overline{Z B_2}%%

Das ist nicht richtig. Schau dir die Zeichnung nochmal genau an und vergleiche mit dem Artikel zum Strahlensatz.

Das ist richtig!

Man kann die Formel %%\dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 A_2}\hspace{0.15cm}}{\hspace{0.15cm}\overline{A_1 Z}\hspace{0.15cm}} = \dfrac{\hspace{0.15cm}\overline{B_2 B_1}\hspace{0.15cm}}{\overline{B_1 Z}}%% benutzen, um den Abstand %%\overline{B_1 B_2}%% zu berechnen. Den gesuchten Wert %%\overline{Z B_2}%% bekommst du, indem du von %%\overline{B_1 B_2}%% den Abstand %%\overline{B_1 Z}%% abziehst.

Klaus will ein Haus mithilfe des Hausschattens ausmessen. Dazu misst Klaus zuerst den Abstand vom Haus bis zum Endpunkt des Schattens. Dieser Abstand beträgt genau %%9,5m%%.

Anschließend stellt sich Klaus, der %%1,80m%% groß ist, genau an den Punkt, ab dem er im Schatten ist. Diesen Ort markiert er und misst wieder den Abstand von dieser Markierung zum Haus. Dieser beträgt %%7,5m%%.

Benutze den Strahlensatz, um die Höhe des Hauses zu berechnen!

Anwendung des Strahlensatzes

Hier findest du eine Erklärung zum Thema Strahlensatz.

Die Zeichnung kann in eine Skizze, ähnlich zu den Skizzen im Artikel zum Strahlensatz, umgeformt werden. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Anschließend kannst du die gegebenen Werte aus der Angabe den Strecken in der Skizze zuordnen.

Um nun die fehlende Höhe %%h%% auszurechnen schreibst du dir am besten nochmal die gegebenen Werte auf. Dazu benutzt du die Zuordnung aus der Skizze oben.

$$\displaystyle{\overline{A_1 B_1}=1,8m}$$ $$\displaystyle{\overline{A_2 B_2}=h}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_1}=9,5m-7,5m = 2m}$$ $$\displaystyle{\overline{Z A_2}=9,5m}$$

Suche anschließend den passenden Strahlensatz für die gegebenen Strecken.

%%\\%%

Zweiter Strahlensatz: $$\displaystyle{\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}}=\dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{A_2 B_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{ A_1 B_1}\hspace{0,15cm}} }$$

%%\\%%

%%\\%%

Stelle den Strahlensatz nach der gesuchten Größe %%\hspace{0,15cm} h = \overline{A_2 B_2}\hspace{0,15cm}%% um.

$$\displaystyle{ \overline{A_2 B_2} = \dfrac{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_2} \hspace{0,15cm}}{\hspace{0,15cm}\overline{Z A_1}\hspace{0,15cm}} \cdot \overline{A_1 B_1}}$$

Setze die Werte ein und berechne die Höhe für das Haus!

$$\displaystyle{h =\overline{A_2 B_2} = \dfrac{9,5m}{2m}\cdot 1,8m=8,55m}$$

Das von Klaus gemessene Haus ist 8,55m hoch.

Die Strecken %%\overline{AB} = 5 \, \text{cm}%%, %%\overline{BB'}=3 \, \text{cm}%% und %%\overline{BC} = 4 \, \text{cm}%% sind gegeben. Berechne die Länge der türkis markierten Strecke %%\overline{B' C'}%%!

Das ist leider nicht die richtige Antwort!

Das ist noch nicht die richtige Antwort!

Das ist leider noch nicht richtig. Versuch es nochmal!

Das ist richtig! Super!

Strahlensatz

Der Strahlensatz für diese %%V%%-Figur lautet:

$$\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}= \dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}$$

Gesucht ist die Strecke %%\overline{B'C'}%%.
Löse nun die Bruchgleichung des Strahlensatzes nach dieser Strecke auf!

%%\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}= \dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}%%

Multipliziere dazu mit %%\overline{BC}%%.

%%\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}} \cdot\overline{BC} = \overline{B'C'}%%

Setze nun die Zahlen aus der Angabe ein und berechne %%\overline{B'C'}%%.

%%\overline{B'C'}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AB}} \cdot\overline{BC}%%

%%\overline{B'C'}=\dfrac{8\, \text{cm}}{5 \, \text{cm}} \cdot 4\, \text{cm} = 6,4 \, \text{cm}%%

Die gesuchte Strecke %%\overline{B'C'}%% hat eine Länge von %%6,4 \, \text{cm}%%.

Gegeben sei die nebenstehende Figur mit den Seiten %%a, a', b, b', c%% und %%c'%%.

Berechne die Länge der Strecke %%b'%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Anwendung des Strahlensatzes

Um die gesuchte Größe %%b'%% zu berechnen benötigst du die Formeln des Strahlensatzes.

Berechnung von %%b'%%:

Für %%b'%% benötigst du die Formel: $$\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}$$

Löse diese Formel nach %%b'%% auf!

%%\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}%%

Multipliziere mit %%b%%!

%%b'=\dfrac{c'}{c} \cdot b=%%

Setze die Werte für %%a', \; a, \; b%% ein.

%%b' = \dfrac{3}{5} \cdot 6,25=3,75%%

%%b'%% hat die Länge %%3,75 \; \text{cm}%%.

Berechne die Länge der Strecke %%a%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Anwendung des Strahlensatzes

Um die gesuchte Größe %%a%% zu berechnen benötigst du die Formeln des Strahlensatzes.

Berechnung von %%a%%:

Für %%a%% benötigst du die Formel: $$\dfrac{a'}{a}=\dfrac{c'+c}{c}$$

Löse diese Formel nach %%a%% auf!

%%\dfrac{a'}{a}=\dfrac{c'+c}{c}%%

Multipliziere mit %%a%%.

%%a'=\dfrac{c'+c}{c} \cdot a%%

Dividiere durch %%\dfrac{c'+c}{c}%%!
(Multipliziere mit dem Kehrbruch)

%%a = a' \cdot \dfrac{c}{c'+c}%%

Setze die gegebenen Werte aus und berechne %%a%%.

%%a = 6 \cdot \dfrac{5}{8} = 3,75%%

%%a%% hat die Länge %%3,75 \; \text{cm}%%.

Eine Figur wird durch eine Linse auf einen Bildschirm abgebildet. Dabei dreht sich das Bild um und wird verkleinert.
Der Abstand der Figur zur Linse wird in der Physik auch Gegenstandsweite %%g%% genannt.
Der Abstand des Bildes zur Linse wird auch Bildweite %%b%% genannt.

Die Größe der Figur ist %%G%% (Gegenstandsgröße) und die Größe des Bildes ist %%B%%.

Du hast nun die Gegenstandsweite, Bildweite und die Größe des Gegenstandes gegeben und sollst die Größe des Bildes auf der Leinwand %%B%% berechnen.

%%G = 30\, \text{cm}%%
%%g = 60\, \text{cm}%%
%%b = 40\, \text{cm}%%

Erstellung einer Skizze

Erstelle zunächst eine Skizze, die der X-Figur des Strahlensatzes gleicht. Benenne dazu alle relevanten Punkte und trage die Längen der gegebenen Strecken ein.

Hier ist im Hintergrund noch das Bild der Figuren und der Linse, für eine bessere Orientierung, zu sehen. Das muss in deiner Skizze natürlich nicht so sein!

Anwendung des Strahlensatzes

Der zweite Strahlensatz für die X-Figur hat folgende Formulierung:

Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und der selben Gerade liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele.

Für die Wegstrecken, die auf derselben Geraden liegen nimmst du %%\overline{A_1 Z} = g%% und %%\overline{Z A_2} = b%%.
Die beiden Parallelen sind in diesem Fall %%\overline{A_1 B_1} = G%% und %%\overline{A_2 B_2} = B%%.

Stelle damit die Formel für den Strahlensatz auf!

%%\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}%%

Stelle diese Formel nach %%B%% um!

%%\dfrac{b}{g} = \dfrac{B}{G}%%

Multipliziere mit %%G%%.

%%\dfrac{b}{g} \cdot G= B%%

Setze die gegebenen Werte ein und berechne %%B%%.

%%B= \dfrac{b}{g} \cdot G= \dfrac{40 \, \text{cm}} {60 \, \text{cm}} \cdot 30 \, \text{cm}%%

%%B= 20\, \text{cm}%%

Das Bild auf der Leinwand hat eine Größe von %%20 \, \text{cm}%%!

Gegeben sei folgende Figur, mit den Längen %%a=10 \,\text{cm}%%, %%d= 2,5\,\text{cm}%%, %%y=9 \,\text{cm}%% und %%a+c=12 \,\text{cm}%% und %%x \ || \ y%%.

Berechne die Länge der Strecke %%b%% in %%\text{cm}%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Um die Länge der Strecke %%b%% zu berechnen hast du laut Strahlensatz folgende Möglichkeiten:

  • %%\dfrac{12}{10}=\dfrac{b+2,5}{b}%%

  • %%\dfrac{c}{10}=\dfrac{2,5}{b}%%

  • %%\dfrac{9}{x}=\dfrac{b+2,5}{b}%%

Die dritte Gleichung ist dabei zunächst nicht möglich, da wir die Länge von %%x%% nicht kennen. (Eine Gleichung mit zwei Unbekannten, kannst du nicht eindeutig auflösen.)

Die erste Gleichung kannst du benutzen, da nur %%b%% unbekannt ist.


Die vielleicht leichteste Lösung erhältst du aus der zweiten Gleichung, obwohl auch hier zwei Unbekannte enthalten sind.

Aber: %%c%% ist sehr leicht zu berechnen!

Aus %%a+c=12%% folgt unmittelbar: %%c=12-a=12-10=2%%

%%c%% hat also die Länge %%2 \ cm%%.

So wird aus der zweiten Gleichung %%\dfrac{2}{10}=\dfrac{2,5}{b}%%. Diese lösen wir nun auf:

%%\dfrac{2}{10}=\dfrac{2,5}{b}%%

Multipliziere mit %%b%%

%%\dfrac{2}{10}\cdot b=2,5%%

Dividiere durch %%\dfrac{2}{10}%%

%%b=2,5 : \dfrac{2}{10}=2,5 \cdot \dfrac{10}{2}=2,5 \cdot 5=12,5%%

Berechne die Länge der Strecke %%x%% in %%\text{cm}%% mit Hilfe des Strahlensatzes.

Um die Länge der Strecke %%x%% zu berechnen, hast du laut Strahlensatz folgende Möglichkeiten:

  • %%\dfrac{12}{10}=\dfrac{9}{x}%%

  • %%\dfrac{15}{12,5}=\dfrac{9}{x}%%


Es ist egal, welche der Gleichungen du benutzt, wir nutzen die erste:

%%\dfrac{12}{10}=\dfrac{9}{x}%%

Multipliziere mit %%x%%

%%\dfrac{12}{10} \cdot x=9%%

Dividiere durch %%\dfrac{12}{10}%%

%%x=9 : \dfrac{12}{10}=9 \cdot \dfrac{10}{12}=7,5%%

Gegeben sei die folgende Figur mit den Seiten %%a', b', c', a, b,c%%.

Berechne mithilfe der gegebenen Werte den Wert für %%a%%!

Anwendung des Strahlensatzes

Nutze den zweiten Strahlensatz für die %%X%%-Figur, um ein Verhältnis der Strecken %%c, c'%% und %%a, a'%% aufzustellen.

Du erhältst das folgende Verhältnis:

$$\dfrac{c'}{c}= \dfrac{a'}{a}$$

Die gesuchte Größe ist %%a%%.

Löse die Gleichung deshalb nach %%a%% auf!

%%\dfrac{c'}{c}= \dfrac{a'}{a}%%

Multipliziere mit %%a%%.

%%\dfrac{c'}{c} \cdot a= a'%%

Dividiere durch %%\dfrac{c'}{c}%%. Das ist dasselbe wie mit dem Kehrbruch zu multiplizieren!

%%a= \dfrac{c}{c'} \cdot a'%%

Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Wert von %%a%%!

%%a = \dfrac{9}{6} \cdot 4 = 6%%

Die gesuchte Größe %%a%% hat den Wert %%6%%.

Berechne den Anteil der roten Fläche an der Trapezfläche.
Beachte, dass das Trapez symmetrisch ist!

Berechnen der Trapezfläche

Die Fläche des gesamten Trapezes kannst du schon mithilfe der angegebenen Werte berechnen. Diesen Wert brauchst du am Ende um den Anteil der roten Fläche zu bestimmen.

Die Fläche des Trapezes ist:

$$A_{Trapez}=\dfrac{1}{2} (a+c) \cdot h = \dfrac{1}{2}(20+8)\cdot 8 = 112$$

Berechnen der roten Fläche

Um die rote Fläche berechnen zu können, hilft es sich das Dreieck in verschiedene Flächen aufzuteilen, wie in der Skizze eingezeichnet:

Anschließend kannst du die Flächen des türkisen und des weißen Dreiecks bestimmen und aus der Differenz der gesamten Fläche und der beiden kleinen Flächen den Wert der roten Fläche bestimmen.

Fläche des türkisen Dreiecks

Die Fläche des türkisen Dreiecks kannst du mithilfe der Grundseite (%%20%%) und der Höhe (%%8%%) bestimmen.

$$A_{Türkis}=\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 8 = 80$$

Fläche des weißen Dreiecks

Die Grundseite des weißen Dreiecks hast du gegeben, die Höhe ist aber noch unbekannt. Diese kannst du aber mithilfe des ersten Strahlensatzes bestimmen.
Dazu brauchst du allerdings noch eine weitere Streckenlänge, die in der Skizze mit %%x%% bezeichnet wird.

Du siehst eine (orange) %%V%%-Figur, für die du den Strahlensatz wie folgt aufstellen kannst:

%%\dfrac{h_k}{x}=\dfrac{4}{8}%%

Die %%4%% kommt dadurch zustande, dass das Trapez symmetrisch ist, die Höhe des weißen Dreiecks die Grundfläche also genau halbiert.

Zunächst musst du also die Länge der Strecke %%x%% berechnen um anschließend auf die Länge von %%h_k%% zu kommen.

Die Strecke %%x%% ist genau %%8-y%% lang und %%y%% kann wiederum mithilfe des Strahlensatzes berechnet werden.

In der Skizze siehst du in orange die entsprechenden Strecken, die du benötigst um die Strecke %%y%% zu berechnen. Diese orange Figur entspricht einer %%V%%-Figur.

Es gilt also:

$$\dfrac{y}{8}= \dfrac{6}{6+8}$$

Stelle diese Formel nach %%y%% um, indem du mit %%8%% multiplizierst.

$$y = \dfrac{6}{14} \cdot 8 =3,43$$

Demnach ist %%x%%:

$$x=8-y=8-3,43$$ $$x=4,57$$

Jetzt kannst du, wie oben bereits beschrieben den Strahlensatz erneut anwenden, um auf die Höhe %%h_k%% des kleinen Dreiecks zu kommen.

%%h_k%% unterteilt die obere Strecke in zwei gleich große Teile mit der Länge %%4%%, da es sich um ein symmetrisches Trapez handelt.
Stelle nun den Strahlensatz für die %%V%%-Figur auf, um %%h_k%% zu berechnen.

$$\dfrac{h_k}{x} = \dfrac{4}{8}$$

Löse diese Gleichung nach %%h_k%% auf, indem du mit %%x%% multiplizierst.

$$h_k = \dfrac{4}{8} \cdot x$$ $$h_k = \dfrac{4}{8} \cdot 4,57 \approx 2,29$$

Jetzt kannst du mithilfe der Formel für die Fläche von Dreiecken die Fläche des weißen Dreiecks berechnen.

%%A_{weiß} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2,29 = 9,16%%

Berechnung der roten Fläche

Die rote Fläche ergibt sich nun aus der Differenz des gesamten Trapezes und der beiden kleinen Dreiecke.

$$A_{rot}=A_{Trapez}-A_{türkis}-A_{weiß}$$

$$A_{rot}= 112 - 80 -9,16=22,84$$

Der Anteil der roten Fläche an der Gesamtfläche ist das folgende Verhältnis:

$$\dfrac{A_{rot}}{A_{Trapez}} = \dfrac{22,84}{112} = 0,2039$$

$$\dfrac{A_{rot}}{A_{Trapez}} = 20,39\%$$

Die rote Fläche macht %%20,39 \% %% der Gesamtfläche aus.

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