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Menge

Die gesamte heutige Mathematik wird üblicherweise auf den Axiomen der Mengenlehre aufgebaut und kann oft durch diese definiert werden. Sie findet Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik.

Definition und Eigenschaften von Mengen

Definition

Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente.

Eigenschaften

  • Elemente von Mengen können zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, Wörter oder Mengen selbst sein.

  • Eine Menge wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet.

  • Die Objekte selbst werden in geschweifte Klammern geschrieben. Zum Beispiel sind {1;2;3}\{1; 2; 3\}, {a;b;c}\{a; b; c\}, {Hund;Katze;Maus}\{\mathrm{Hund}; \mathrm{Katze}; \mathrm{Maus}\} drei Mengen mit jeweils drei Elementen.

  • Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. So ist die Menge {1;2;3}\{1; 2; 3\} gleich der Menge {3;2;1}\{3; 2; 1\}.

  • Die Anzahl eines Elements spielt auch keine Rolle, also ob ein Element mehrfach in einer Menge enthalten ist oder nicht.

  • In einer Menge gibt es keine Ordnung. Betrachtet man z.B. die Menge aller Kinder in einer Klasse, die älter als 10 sind, dann kann man anhand der Menge nicht sagen, welches Kind das älteste oder das jüngste in der Menge ist.

  • Außerdem gibt es noch die Möglichkeiten, dass ein Element in der Menge enthalten ist oder nicht.

Darstellung einer Menge

Eine Menge lässt sich auf verschiedene Weisen darstellen. Die Darstellung im Beispiel oben, nennt man Venn-Diagramm. Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben.

  • Entweder zählt man die einzelnen Elemente auf. Das bietet sich vor allem bei endlichen Mengen an, das heißt bei Mengen, die nur eine endliche Anzahl von Elementen besitzen (z.B. {1;2;3}\{1; 2; 3\}), oder man setzt bei nicht endlichen Mengen Pünktchen. Dazu muss aber klar sein, wie die weiteren Elemente der Menge heißen. So wäre zum Beispiel N:={1;  2;  3;}\mathbb N:= \{1;\; 2;\; 3;\ldots\} die Menge der natürlichen Zahlen oder {1;4;9;16;25;}\{1; 4; 9; 16; 25;…\} die Menge der Quadratzahlen. Aber so etwas wie {42;72;829;}\{42; 72; 829; \ldots\} wäre nicht korrekt, denn man weiß nicht, wie es weitergehen soll.

  • Eine zweite Möglichkeit, Mengen zu notieren, ist eine allgemeinere Schreibweise, bei der man eine Eigenschaft aller Elemente einer Menge angibt, z.B. M={x  |  x  ist  ein  MusikinstrumentEigenschaft}\mathrm M=\left\{x\; \middle|\; \displaystyle \underbrace{x\; \mathrm{ist}\;\mathrm{ein}\;\mathrm{Musikinstrument}}_{\text{Eigenschaft}}\right\}. Gelesen wird das:

    \stylefontsize:18pxM    =ist      {die  Menge  aller    x    mit  der  Eigenschaftx          ist  ein  Musikinstrument}\style{font-size:18px}{\begin{array}{l}\mathrm M\;\;\underset{\underset{\mathrm{ist}}\uparrow}=\;\;\;\underset{\underset{\mathrm{die}\;\mathrm{Menge}\;\mathrm{aller}}\uparrow}\{\;\; x\;\underset{\underset{\mathrm{mit}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Eigenschaft}}\uparrow}{\left|\;\right.}x\;\;\;\;\;\mathrm{ist}\;\mathrm{ein}\;\mathrm{Musikinstrument}\}\\\end{array}} MM ist die Menge aller xx, mit der Eigenschaft, dass jedes xx ein Musikinstument ist, also ist MM einfach die Menge aller Musikinstrumente.

Häufig verwendete Notationen

aa ist Element von AA.

aa ist nicht Element von AA.

Mächtigkeit von AA. Die Anzahl der Elemente einer Menge,

So bedeutet A=B=n\left|\mathrm A\right|=\left|\mathrm B\right|=\mathrm n, dass die Mächtigkeit von AA gleich der Mächtigkeit von BB ist. AA und BB haben also die gleiche Anzahl an Elementen, nämlich nn.

Wichtige Mengen

Einige häufig verwendete Mengen sind hier aufgelistet:

Symbol

Mathematische Schreibweise

Beschreibung

Menge der natürlichen Zahlen (die Null ist nicht enthalten)

Menge der natürlichen Zahlen vereinigt mit der Null

Menge der ganzen Zahlen

Menge der rationalen Zahlen

Menge der positiven rationalen Zahlen

Menge der reellen Zahlen, also sowohl abbrechende, periodische als auch nicht periodische Dezimalzahlen

Menge der positiven reellen Zahlen

Menge der komplexen Zahlen

Menge der positiven reellen Zahlen vereinigt mit der Null

leere Menge

Intervalle als Mengen

Eine weitere, wichtige Art von Mengen sind die Intervalle.

Für a,b    R\mathrm a,\mathrm b\;\in\;\mathbb{R} gilt:

Intervall

Mathematische Schreibweise

Bedeutung

== alle xx mit xx Element von R\mathbb{R} und aa echt kleiner xx, xx echt kleiner bb.

Also sind aa und bb nicht Elemente des Intervalls.

= alle x mit x Element von R\mathbb{R} und a kleiner gleich x, x echt kleiner b.

Also ist a und b nicht Element des Intervalls.

= alle x mit x Element von R\mathbb{R} und a echt kleiner x, x kleiner gleich b.

Also ist a nicht und b ist Element des Intervalls.

Operationen mit Mengen

Man kann Mengen miteinander verknüpfen. Zur Vereinfachung verwendet man verschiedene Symbole für die Grundoperationen.

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element aus A auch Element von B ist. Eine Teilmenge heißt eigentlich oder echt, wenn weiterhin AB\mathrm A\neq\mathrm B gilt.

Potenzmenge

Die Menge aller Teilmengen von einer Menge bezeichnet man als Potenzmenge der betreffenden Menge.

Rechenregeln

Für die folgenden Gesetze sind A,B,C Teilmengen der Grundmenge G.

Name des Gesetzes

für Schnittmengen

für Vereinigungsmengen

Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Distributivgesetz

Absorbtionsgesetz

Idempotenzgesetz

Gesetze für die Komplementmenge

de Morgan-Gesetze

Neutrale Elemente

Dominanzgesetz

\varnothing und G-Komplement

Doppeltes Komplement

Partition einer Menge

Als Partition (Zerlegung, Klasseneinteilung) einer Menge M versteht man eine Menge P, deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von M sind, so dass aber jedes Element von M genau in einem Element aus P enthalten ist.

Partitionen der Menge {1;  2;  3}\left\{1;\;2;\;3\right\} sind also:


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