Beschreibung zu den Testaufgaben

Aufgaben
5th Birthday
Die bekannte Formel 12gh\frac12\cdot g\cdot h kann auch als gh2\frac{g\cdot h}2 dargestellt werden.
Lösung screenshot

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in %%\mathrm m%%):

  1. Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

  2. Wie viel %%\mathrm m^2%% Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

7663_gwzK51bI4S.xml

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%
    (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%
    (denn um von %%\mathrm E%% zu %%\mathrm F%% zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu %%\mathrm T%% webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Möglichen längste Strecken im Holzhäuschen

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken %%\left[\mathrm{ET}\right]%% und %%\left[\mathrm{EF}\right]%%,
  • und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%

Skizze: Dreieck EHT im Holzhäuschen

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm H%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{ET}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{HT}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EH}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHG am Boden des Holzhäuschens

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EH}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EGH}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm G%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2%%

%%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm{GH}}=2,50\,\mathrm m%% sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3,40\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

und rechne aus.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=17,81\mathrm m^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EH}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EH}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EH}}\approx4,22\;\mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{ET}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHT zur endgültigen Berechnung der Strecke von E nach T

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\left( \sqrt{17,81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=21,9309\, \mathrm m ^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{ET}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{ET}}=\sqrt{21,9309}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{21,9309}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{ET}}\approx4,68 \, \mathrm m%%

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%

Skizze: Dreieck ENF

Die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm N%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{NF}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{MD}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EN}}%% musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EN}}%%:

Skizze: Dreieck EMN

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EN}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EMN}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm M%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{MN}}=2,50\,\mathrm m%% ist angegeben und du kannst sie einsetzen
(denn die Strecke %%\left[\mathrm{MN}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{GH}\right]%%).

%%\left[\mathrm{EM}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\left(\dfrac{3,40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=9,14\, \mathrm m ^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EN}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\, \mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EN}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EN}}\approx3,02\, \mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{EF}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EN}}%%:

Dreieck ENF

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\left(\sqrt{9,14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=15,6425 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{EF}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{EF}}=\sqrt{15,6425}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{15,6425}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{EF}}\approx3,96 \, \mathrm m%%

Ergebnis

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% mit einer Streckenlänge von ca. %%4,68\,\mathrm m%% ist größer als die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

Damit ist die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne die Fläche des Rechtecks %%\mathrm {DSTF}%% und

  • multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Holzhäuschen-Dachflächen

Berechnung der Fläche der Dachhälfte %%\mathrm {DSTF}%%

%%A_\mathrm {DSTF}=?%%

Das Viereck %%\mathrm {DSFT}%% ist ein Rechteck.
Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

%%A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite%%

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ist angegeben, aber %%\overline{\mathrm {DS}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{DS}}%%:

Seitenkante mit Pythagoras berechnen

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{DS}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{KSD}%% auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm K%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{DS}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\left[\mathrm{KS}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\overline{\mathrm {DK}}%% kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken %%\left[\mathrm{DM}\right]%% und %%\left[\mathrm{KM}\right]%%:

%%\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}%%

%%\overline{\mathrm{DM}}=2,55 \, \mathrm m%% ist angegeben.

%%\overline{\mathrm{KM}}=2,03 \, \mathrm m%% kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke %%\left[\mathrm{KM}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{DK}}=2,55\, \mathrm m - 2,03 \,\mathrm m = 0,52 \,\mathrm m%%

Setze dies nun ein.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0,52\, \mathrm m\right)^2%%

Das kannst du jetzt ausrechnen.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=3,1604 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{DS}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{DS}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{DS}}=\sqrt{3,1604}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{3,1604}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%%

Diesen gerundeten Wert für %%\overline{\mathrm{DS}}%% kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Hier setzt du nun %%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ein.

%%A=2\cdot2,5\,\mathrm m\cdot 1,78\,\mathrm m=8,9\,\mathrm m^2%%

Der Flächeninhalt des Daches beträgt %%8,9 \ m^2%%.

Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu 14\frac14 im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.
Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:
Länge des Pfahls: 8,4m8,4 m
im Wasser: 30%30\% des Pfahls

im Boden: 14\frac{1}{4} des Pfahls
Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.
GeoGebra
Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit

Skizze eines Pfahls im Wasser
Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls aus dem Wasser herausragen und rechne das Ergebnis anschließend in Meter um.
Wandle dazu die Anteile in Prozentangaben um.
30%30\% des Pfahls sind im Wasser.
14=25%\frac14=25\% des Pfahls stecken in der Erde.
Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der im Wasser und im Boden steckt.

25%+30%=55%25\% + 30\% = 55\% 
Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt. 100%100\% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls.55%55\% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.

Also sind 100%55%=45%100\% - 55\% = 45\% über Wasser.
Jetzt kannst du den Anteil in Meter mit einer Formel berechnen, der aus dem Wasser herausragt.

0.458,4m=3,78m0.45 \cdot 8,4m= 3,78 m
Die Länge des Pfahls, die aus dem Wasser herausragt ist damit 3.78m3.78m.


2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.
Skizze ienes Pfahls im Wasser
Bestimme also zunächst die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.
14\frac14 von den 8,4m8,4m stecken im Boden.148,4m=2,1m\frac14 \cdot 8,4m =2,1m.

2,1m\Rightarrow 2,1m des Pfahls stecken im Boden.
Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.
8,4m8,4 m =^\widehat{=} 100%100\% 
8.4100m=0.084m\frac{8.4}{100}m = 0.084 m =^\widehat{=} 1%1\% 
8.4100m30\frac{8.4}{100}m \cdot 30 =^\widehat{=} 1%301\% \cdot 30
30%\Rightarrow 30\% =^\widehat{=} 2,52m2,52m

2,52m\Rightarrow 2,52m des Pfahls stehen im Wasser.
Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.
8.4m2.52m2.1m=3,78m8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3,78 m
Es ragen also 3,78m3,78m des Pfahls aus dem Wasser.
4+12=?-4+12=?
+8
-8
-16
+16
1+1\displaystyle 1+1
2
Beispielaufgaben Interaktivität (zu Demonstrationszwecken)
multiple choice
richtige Antwort
ganz richtige Antwort
riiiiiichtig
falsch
Dies ist auch die falsche Lösung
blablabla
blau
richtig falsch
falsche Antwort xy
single choice
richtig
falsche Antwort
falsch
Wort als Lösung : string answer
ungekürzte Brüche etc: number equals match
Kommentieren Kommentare

Zu topic-folder Testaufgaben:
SpiderProduction 2019-06-21 09:24:51+0200
wie funktionier aufgabe 10?
Renate 2019-06-21 10:47:53+0200
Hallo @SpiderProduction,

das ist hier nur der Testbereich,

und der Titel "Testaufgaben" bedeutet hier nicht, dass das Aufgaben sind, die in irgendeinem Test vorkommen, oder mit denen man sein Wissen testen kann,

sondern dass es Aufgaben sind, mit denen irgendwer irgendwas ausprobieren (also "testen") wollte - zum Beispiel, wie man eine Multiple-Choice-Aufgabe erstellt, oder wie es aussieht, wenn in den Antworten der Multiple-Choice-Aufgabe Bilder eingefügt worden sind, oder Ähnliches.


Wahrscheinlich hatten wir damals noch nicht den "Sandkasten", in dem heute jeder angemeldete Nutzer seine Versuche machen darf.

Hast du selbst auch Lust dazu, mal was zu probieren?
Du findest den Sandkasten unter https://de.serlo.org/community/sandkasten
- und wenn du Hilfe brauchst, schreibe gern wieder einfach einen Kommentar.

Viele Grüße
Renate

PS: Danke für deinen Kommentar - du hast mich erst darauf gebracht, wie missverständlich der Titel "Testaufgaben" hier ist; vielleicht sollten wir das irgendwie besser machen.
Antwort abschicken