Aufgaben

%%\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}%%

%%E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}%%;

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%;

%%E_2:=\{\omega_3\}%%;

%%P\left(E_2\right)=0{,}5%%;

%%E_3:=\left\{\omega_4\right\}%%;

%%P\left(E_3\right)=0{,}5%%;

  1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

  2. Ändere %%P\left(E_3\right)%% so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

  3. Berechne %%P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)%% unter der Voraussetzung, dass %%\operatorname{\omega}_1%% mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie %%\operatorname{\omega}_2%%.

Teilaufgabe 1:

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer 1 betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie 1,2 beträgt.

Teilaufgabe 2:

Es muss gelten:

%%P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1%%

Löse nach %%P(E_3)%% auf.

%%1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)%%

Setze die Werte aus der Angabe ein.

%%1-0{,}2-0{,}5=0{,}3%%

%%\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3%%

Teilaufgabe 3:

Aus der Angabe ist bekannt:

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%

%%\operatorname{\omega}_2%% ist nur noch %%\frac13%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_2=\frac13\cdot0{,}2=\frac1{15}%%

%%\operatorname{\omega}_1%% hingegen entspricht %%\frac23%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_1=\frac23\cdot0{,}2=\frac2{15}%%

Gegeben: %%P\left(E_1\right)=0{,}4%%;    %%P\left(E_2\right)=0{,}7%%;    %%P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3%%

Berechne:

%%P\left({\overline E}_1\right);\;P\left({\overline E}_2\right)%%

%%P\left({\overline E}_1\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_1\right)%%.

%%P\left({\overline E}_1\right)+P\left(E_1\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_1\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_1\right)=1-P\left(E_1\right)%%

Für %%P\left(E_1\right)%% 0,4 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_1\right)=1-0{,}4=0{,}6%%

%%P\left({\overline E}_2\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_2\right)%%.

%%P\left({\overline E}_2\right)+P\left(E_2\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_2\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_2\right)=1-P\left(E_2\right)%%

Für %%P\left(E_2\right)%% den Wert 0,7 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_2\right)=1-0{,}7=0{,}3%%

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse %%E_1%% und %%E_2%% eintritt.

Verwendung der Formel: %%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P(B)-P\left(A\cap B\right)%%

%%\begin{array}{l}P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)\;\;\\=\;0{,}4\;+0{,}7-0{,}3\\ =\;0{,}8\end{array}%%

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)%%

Wir nennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir setzen die gegebenen Werte ein.

%%0{,}3+x=0{,}4%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=0{,}1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Wir lösen die Aufgabe über einen Umweg und berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit %%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir nennen die Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)%%

%%0{,}3+x=0{,}4%% (setze die Werte ein und löse nach %%x%% auf).

%%x=0{,}1%%

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Setze die entsprechenden Werte ein.

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6%%

Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis %%E%% := „entweder %%A%% oder %%B%%“ durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse %%A%%, %%B%% und %%A\cap B%% aus.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B\text{“})=%%

Das Ereignis „entweder %%A%% oder %%B%%“ bedeutet, dass nur das Ereignis %%A%% oder nur das Ereignis %%B%% eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.

%%=P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“})-P\left(\text{„}A\text{ und }B\text{ gleichzeitig“}\right)%%

%%=P\left(A\cup B\right)-P\left(A\cap B\right)%%

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

%%A:={}%%„Die Augensumme ist gerade“

%%B:={}%%„Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: %%P(A)=P(B)=0{,}5%%; %%P(A\cap B)=0{,}25%%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit von

             a)  „%%A%% oder %%B%%

             b)  „entweder %%A%% oder %%B%%“.

Teilaufgabe a)

%%P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)%%

Stelle die Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% auf.

%%P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%=0{,}5+0{,}5-0{,}25%%

%%=0{,}75%%

Teilaufgabe b)

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B“)=P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“}) - P(\text{„}A\text{ und }B\text{ gleichzeitig“})%%

Stelle die Gleichung auf.

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)-P(A\cap B)%%

Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% wurde in Teilaufgabe a) berechnet.

%%=0{,}75-0{,}25%%

%%=0{,}5%%

Gegeben ist:  %%P(A)=\frac15%%;   %%P(\overline B)=\frac13%%;    %%P\left(A\cap B\right)=\frac16%%.

Berechne:

%%P\left(A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=%%

Bilde das Gegenereignis %%P(B)%% von %%P(\overline B)=\frac13%%.

%%=\frac15+\left(1-\frac13\right)-\frac16%%

%%=\frac15+\frac23-\frac16%%

Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).

%%=\frac6{30}+\frac{20}{30}-\frac5{30}=\frac{21}{30}%%

%%P\left(\overline A\cap\overline B\right)%%

%%P\left(\overline A\cap\overline B\right)=%%

%%=P\left(\overline{A\cup B}\right)%%

Bilde das Gegenereignis.

%%=1-P\left(A\cup B\right)%%

%%P\left(A\cup B\right)=\frac{21}{30}%% ; siehe Teilaufgabe a)

%%=\frac9{30}=\frac3{10}=0{,}3%%

%%P\left(\overline A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(\overline A\cup B\right)=%%

Verwende die Formel %%P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)%%.

%%=P(\overline A)+P(B)-P(\overline A \cap B)%%

Ziehe vom Ereignis %%B%% das Ereignis, dass %%B%% eintritt und %%A%% nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass %%B%% und %%A%% eintreten.

%%=P(\overline A)+P(A \cap B)%%

%%=1-P(A)+P(A\cap B)%%

%%=1-\frac15+\frac16%%

Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)

%%=1-\frac6{30}+\frac5{30}%%

%%=1-\frac1{30}%%

%%=\frac{29}{30}%%

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