Aufgaben

%%\operatorname{\Omega}=\{\operatorname{\omega}_1,\operatorname{\omega}_2,\operatorname{\omega}_3,\operatorname{\omega}_4\}%%

%%E_1:=\{\operatorname{\omega}_1,\operatorname{\omega}_2\}%%;

%%P\left(E_1\right)=0,2%%;

%%E_2:=\{\operatorname{\omega}_3\}%%;

%%P\left(E_2\right)=0,5%%;

%%E_3:=\left\{\operatorname{\omega}_4\right\}%%;

%%P\left(E_3\right)=0,5%%;

  1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

  2. Ändere %%P\left(E_3\right)%% so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

  3. Berechne %%P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)%% unter der Voraussetzung, dass %%\operatorname{\omega}_1%% mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie %%\operatorname{\omega}_2%%.

Teilaufgabe 1:

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer 1 betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie 1,2 beträgt.

Teilaufgabe 2:

Es muss gelten:

%%P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1%%

Löse nach %%P(E_3)%% auf.

%%1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)%%

Setze die Werte aus der Angabe ein.

%%1-0,2-0,5=0,3%%

%%\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0,3%%

Teilaufgabe 3:

Aus der Angabe ist bekannt:

%%P\left(E_1\right)=0,2%%

%%\operatorname{\omega}_2%% ist nur noch %%\frac13%% von %%P\left(E_1\right)=0,2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_2=\frac13\cdot0,2=\frac1{15}%%

%%\operatorname{\omega}_1%% hingegen entspricht %%\frac23%% von %%P\left(E_1\right)=0,2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_1=\frac23\cdot0,2=\frac2{15}%%

Gegeben: %%P\left(E_1\right)=0,4%% ;    %%P\left(E_2\right)=0,7%% ;    %%P\left(E_1\cap E_2\right)=0,3%%

Berechne:

%%P\left({\overline E}_1\right);\;P\left({\overline E}_2\right)%%

%%P\left({\overline E}_1\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu  %%P\left(E_1\right)%%.

%%P\left({\overline E}_1\right)+P\left(E_1\right)=1%%

%%\left|-P\left(E_1\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_1\right)=1-P\left(E_1\right)%%

Für %%P\left(E_1\right)%% 0,4 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_1\right)=1-0,4\;=0,6%%

%%P\left({\overline E}_2\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_2\right)%%.

%%P\left({\overline E}_2\right)+P\left(E_2\right)=1%%

%%\left|-P\left(E_2\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_2\right)=1-P\left(E_2\right)%%

Für %%P\left(E_2\right)%% den Wert 0,7 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_2\right)=1-0,7\;=0,3%%

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse %%E_1%% und %%E_2%% eintritt.

Verwendung der Formel: %%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P(B)-P\left(A\cap B\right)%%

%%\begin{array}{l}P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)\;\;\\=\;0,4\;+0,7-0,3\\ =\;0,8\end{array}%%

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)%%

Wir nennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir setzen die gegebenen Werte ein.

%%0.3+x=0.4%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=0.1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0.1%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Wir lösen die Aufgabe über einen Umweg und berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit %%\mathrm P\left({\mathrm E}_1\cap{\overline E}_2\right)%%.

%%\mathrm P\left({\mathrm E}_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir nennen die Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)%%

%%0,3+x=0,4%%  (Setze die Werte ein und löse nach %%x%% auf)

%%x=0.1%%

%%\mathrm P\left(\mathrm A\cup\mathrm B\right)=\mathrm P\left(\mathrm A\right)+\mathrm P\left(\mathrm B\right)-\mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)%%

%%\mathrm P\left({\mathrm E}_1\cup{\overline{\mathrm E}}_2\right)=\mathrm P\left({\mathrm E}_1\right)+\mathrm P\left({\overline{\mathrm E}}_2\right)-\mathrm P\left({\mathrm E}_1\cap{\overline{\mathrm E}}_2\right)%%

Setze die entsprechenden Werte ein.

%%\mathrm P\left({\mathrm E}_1\cup{\overline{\mathrm E}}_2\right)=0,4+\left(1-0.7\right)-0,1=0.6%%

Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:= "Entweder A oder B" durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A,B und A %%\cap%% B aus.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit

%%P(\mathrm{"Entweder \;A \;oder\; B"})=%%

Das Ereignis "Entweder A oder B" bedeutet, dass nur das Ereignis A oder nur das Ereignis B eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.

%%=P(\mathrm{"A \;oder \;B"})-P\left(\mathrm{"A\;und\;B\;gleichzeitig"}\right)%%

%%=P\left(A\cup B\right)-P\left(A\cap B\right)%%

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

A: ="Die Augensumme ist gerade"

B: ="Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl"

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: P(A) = P(B) = 0,5; P(A %%\cap%% B) = 0,25.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten von

             a)  "A oder B"

             b)  "Entweder A oder B".

Teilaufgabe a)

%%\mathrm P(A%% oder %%\mathrm {B) = P( A \cup B)}%%

Stelle die Wahrscheinlichkeit für %%\mathrm P\left(\mathrm A\cup\mathrm B\right)%% auf.

%%\mathrm P\left(\mathrm A\cup\mathrm B\right)=\mathrm P\left(\mathrm A\right)+\mathrm P\left(\mathrm B\right)-\mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%=0,5+0,5-0,25%%

%%=0,75%%

Teilaufgabe b)

%%\mathrm{P(Entweder \;A \;oder \;B)=P(A \;oder \;B) - P(A \;und \;B \;gleichzeitig)}%%

Stelle die Gleichung auf.

%%\mathrm{P\left(Entweder\;A\;oder\;B\right)=P\left(A\cup B\right)-P\left(A\cap B\right)}%%

Wahrscheinlichkeit für  %%\mathrm P\left(\mathrm A\cup\mathrm B\right)%% wurde in Teilaufgabe a) berechnet.

%%=0,75-0,25%%

%%=0,5%%

Gegeben ist:  %%P(A)=\frac15%% ;   %%P(\overline B)=\frac13%% ;    %%P\left(A\cap B\right)=\frac16%% ;

Berechne:

%%P\left(A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=%%

Bilde das Gegenereignis %%P(B)%% von %%P(\overline B)=\frac13%%.

%%=\frac15+\left(1-\frac13\right)-\frac16%%

%%=\frac15+\frac23-\frac16%%

Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst.(Hauptnenner ist 30)

%%=\frac6{30}+\frac{20}{30}-\frac5{30}=\frac{21}{30}%%

%%P\left(\overline A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(\overline A\cup B\right)=%%

Verwende die Formel %%P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)%%

%%=P(\overline A)+P(B)-P(\overline A \cap B)%%

Ziehe vom Ereignis B das Ereignis, dass B eintritt und A nicht eintritt ab, so erhälst du das Ereignis, dass B und A eintreten.

%%=P(\overline A)+P(A \cap B)%%

%%=1-P\left(A\right)+P\left(A\cap B\right)%%

%%=1-\frac15+\frac16%%

Zum subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)

%%=1-\frac6{30}+\frac5{30}%%

%%=1-\frac1{30}%%

%%=\frac{29}{30}%%

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