Sinus, Kosinus und Tangens

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen.

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert.

$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel $\alpha$ einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).

Die "Ankathete" wird hier im Bild mit einem $b$ , die "Gegenkathete" mit einem $a$ und die Hypotenuse mit einem $c$ bezeichnet.

Beachte: Die Seite $a$ liegt gegenüber dem Winkel $\alpha$ , $\beta$ gegenüber $b$ und $c$ gegenüber $\gamma$ . Wobei $\gamma$ in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.

Folgende Winkelbeziehungen ergeben sich daraus:

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

Wichtige Funktionswerte

Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:

$α$	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$
$\cos(\alpha)$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac12$	$0$
$\sin(\alpha)$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$1$
$\tan(\alpha)$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$

Achtung: Im Fall $\alpha=90^\circ$ entsteht kein Dreieck, da der $\tan(90^\circ)$ nicht definiert ist. Siehe dazu Trigonometrie am Einheitskreis.

Abhängigkeiten

Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.

rechtwinkliges Dreieck - Hypotenus, sin aplha mal Hypotenuse, cos alpha mal Hypotenuse

Hypotenuse $c$ ist gegeben.

rechtwinkliges Dreieck - Ankathete durch cos alpha, Ankathete mal tan alpha, Ankathete

Ankathete $b$ ist gegeben.

rechtwinkliges Dreieck - Gegenkathete geteilt durch sin alpha, Gegenkathete, Gegenkathete geteilt durch alpha

Gegenkathete $a$ ist gegeben.

Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach $b$ , $a$ und $c$ auflöst.

Im ersten Fall, wenn die Hypotenuse $c$ gegeben ist, geht das wie folgt.

$\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\Rightarrow a=\sin\alpha\cdot c$

$\cos\alpha=\dfrac b c \Rightarrow b=\cos \alpha\cdot c$

Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.

Beispiel

Von einem bei $C$ rechtwinkligen Dreieck $\bigtriangleup\mathrm{ABC}$ ist die Länge der Hypotenuse $c=4$ und der Winkel $\alpha=30^\circ$ bekannt (erstes Schaubild).

Dann lassen sich die Längen der Ankathete $b$ und der Gegenkathete $a$ mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:

$b\;=\;\cos(\alpha)\cdot c=\;\cos(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac{\sqrt3}2\cdot4\;=\;2\sqrt3$

$a\;=\;\sin(\alpha)\cdot c\;=\;\sin(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac12\cdot4\;=\;2$

Rechenregeln

Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,
der trigonometrische Pythagoras,
die Additionstheoreme.

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach nachrechnen:

$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{~~\dfrac{a}{c}~~}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a\cdot c}{c\cdot b}=\dfrac{a}{b}=\tan\alpha$

Trigonometrischer Pythagoras

Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

Eine ausführliche Erklärung findest du im Video weiter unten.

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{a}{c}\\[2ex]\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\\[2ex]\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

Weitere Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Im Artikel Beziehungen trigonometrischer Funktionen findest du weitere Beziehungen der Funktionen.

Trigonometrie am Einheitskreis

Die im Artikel dargestellten Winkelbeziehungen kannst du dir auch am Einheitskreis verdeutlichen. Mehr zu diesem Thema kannst du hier lesen: Trigonometrie am Einheitskreis.

Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion

Sinus, Kosinus und Tangens kannst du auch als Funktionen darstellen. Mehr dazu findest du im Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion oder Tangensfunktion.

Übungsaufgaben: Sinus, Kosinus und Tangens

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

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