Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Dieser Artikel erklärt an Beispielen:

  • wie man diese Funktionen berechnen kann,
  • was Gegenkathete, Hypotenuse und Ankathete sind,
  • welche Rechenregeln es gibt.

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert:

%%\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}%%

%%\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}%%

rechtwinkliges Dreieck - Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete

%%\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}%%

%%\cos(\alpha)=\dfrac{b}{c}%%

%%\tan(\alpha)=\dfrac{a}{b}%%

Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel %%\alpha%% einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).

Die "Ankathete" wird hier mit einem %%b%%, die "Gegenkathete" mit einem %%a%% und die Hypothenuse mit einem %%c%% bezeichnet.

Beachte: Die Seite %%a%% liegt gegenüber dem Winkel %%\alpha%%, %%\beta%% gegenüber %%b%% und %%c%% gegenüber %%\gamma%%. Wobei %%\gamma%% in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.

Wichtige Funktionswerte

Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:

%%\alpha%%

%%0^{\circ}%%

%%30^{\circ}%%

%%45^{\circ}%%

%%60^{\circ}%%

%%90^{\circ}%%

%%\cos(\alpha)%%

%%1%%

%%\dfrac{\sqrt3}2%%

%%\dfrac{\sqrt2}2%%

%%\dfrac12%%

%%0%%

%%\sin(\alpha)%%

%%0%%

%%\dfrac12%%

%%\dfrac{\sqrt2}2%%

%%\dfrac{\sqrt3}2%%

%%1%%

%%\tan(\alpha)%%

%%0%%

%%\dfrac{1}{\sqrt{3}}%%

%%1%%

%%\sqrt{3}%%

%%-%%

Achtung: Im Fall %%\tan\left(\alpha\right)% %% = 90° entsteht kein Dreieck.

Abhängigkeiten

Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mit Hilfe der Trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.

Hypotenuse %%c%% ist gegeben.

 Ankathete %%b%% ist gegeben.

Gegenkathete %%a%% ist gegeben.

rechtwinkliges Dreieck - Hypotenus, sin aplha mal Hypotenuse, cos alpha mal Hypotenuse

rechtwinkliges Dreieck - Ankathete durch cos alpha, Ankathete mal tan alpha, Ankathete

rechtwinkliges Dreieck - Gegenkathete geteilt durch sin alpha, Gegenkathete, Gegenkathete geteilt durch alpha

Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach %%b%%, %%a%% und %%c%% auflöst.

Im ersten Fall, wenn die Hypothenuse c gegeben ist, geht das wie folgt.

%%\sin\alpha=\dfrac a c \Rightarrow a=\sin\alpha \cdot c%%

%%\cos\alpha=\dfrac b c \Rightarrow b=\cos \alpha\cdot c%%

Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.

Beispiel

Von einem bei %%C%% rechtwinkligen Dreieck %%\bigtriangleup\mathrm{ABC}%% ist die Länge der Hypotenuse %%c=4%% und der Winkel %%\alpha=30^\circ%% bekannt (erstes Schaubild).

Dann lassen sich die Längen der Ankathete %%b%% und der Gegenkathete %%a%% mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:

%%b\;=\;\cos(\alpha)\cdot c=\;\cos(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac{\sqrt3}2\cdot4\;=\;2\sqrt3%%

%%a\;=\;\sin(\alpha)\cdot c\;=\;\sin(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac12\cdot4\;=\;2%%

Rechenregeln

Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:

  • Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,
  • der trigonometrische Pythagoras,
  • die Addiotionstheoreme.

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach Nachrechnen:

%%\dfrac {\sin\alpha}{\cos\alpha}= \dfrac {\dfrac a c} {\dfrac b c}= \dfrac {a\cdot c}{b \cdot c}= \dfrac a b = \tan\alpha%%

Trigonometrischer Pythagoras

Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:

$$\left(\sin \alpha\right)^2+\left(\cos \alpha\right)^2=1$$

Eine ausführliche Erklärung findest du im Video weiter unten.

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:

$$\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$$

Video zum Thema Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Kommentieren Kommentare

0286241383 2018-04-11 15:05:57
Im Film sind mir zwei Kleinigkeiten aufgefallen: 1. Es müsste heißen: sin ²Alpha + cos² Alpha gleich c² (nicht c auch wenn das hier dasselbe ist. 2. Das gilt nicht für die Winkel 90° und 270°, weil dort cos Alpha = 0 ist und deshalb ist auch der tan nicht definiert.
Im Übrigen hätte ich es begrüßt, wenn bei dem Video die Funktionen stärker in den Fokus gekommen wären, d.h.: Im 1. Quadranten kann man ja über das rechtwinklige Dreieck -wie geschehen- zeigen, dass die Punkte auf dem Einheitskreis die Koordinaten (cos A/ sin A) haben. Das weitet man auf den ganzen Einheitskreis aus und hat damit eine gute Ausgangsposition zur Erklärung von negativen Sin - und Kos - Werten, für die Periodizität der Funktionen, für die Periodenlängen, für die Zusammenhänge der Werte etc.
Mit freundlichem Gruß Heini
Nish 2018-04-11 22:49:50
Vielen Dank für deine Hinweise/dein Feedback, Heini! Freut uns sehr :) Ich leite es morgen an Sebastian Schmidt weiter und schaue mir bei Gelegenheit das Video auch mal etw. genauer an.
LG,
Nish
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GrischaGreuel 2018-03-04 10:49:16
Meine SchülerInnen waren sehr verwirrt durch das Verwenden der Großbuchstaben G,H und A.
man könnte auch g,h,a verwenden!?
LG
Nish 2018-03-04 14:45:42
Vielen Dank für dein (euer) sehr wertvolles Feedback! Ich finde auch Kleinbuchstaben im Allgmeinen sinnvoller und finde daher deinen Vorschlag sehr gut und nachvollziehbar.

Wir kümmern uns so schnell wie möglich um die Verbesserung! Über weitere Feedbacks deinerseits (eurerseits) würden wir uns natürlich sehr freuen :)

LG,
Nish
Digamma 2018-03-06 06:50:05
Ich würde es bei den Großbuchstaben belassen, denn es handelt sich hier nicht um mathematische Bezeichnungen für die Seiten (da würde man a, b und c nehmen), sondern um Abkürzungen für die Wörter "Ankathete", "Gegenkathete" und "Hypotenuse".
GrischaGreuel 2018-03-07 16:51:03
Das ist schon klar. Aber die mathematisch korrekte Syntax ist hier meinerseits unerlässlich!
Großbuchstaben für Punkte. Kleinbuchstaben für Strecken und Geraden. Und bei Dreiecken wird in der Regel a,b,c verwendet, was wiederum hilfreich dabei ist die Gegenkathete zu identifizieren, da die Seite a gegenüber dem Winkel alpha liegt, b gegenüber beta, und c gegenüber gamma.
Des weiteren ist anzumerken, dass die Bezeichnung mit a,b,c in Schulbüchern üblich ist.
Digamma 2018-03-07 20:36:10
OK, ich habe nicht weit genug gelesen. In den Formeln, wo damit gerechnet wird (also im Abschnitt "Abhängigkeiten"), haben A, G und H definitiv nichts zu suchen. Was anderes ist es meiner Meinung nach in der Definition, wo das als Eselsbrücke dienen kann. Allerdings kann man sicht dort genausogut auf die Version mit den ausgeschriebenen Wörtern beschränken.
Nish 2018-03-18 09:28:11
Hallo Digamma und hallo GrischaGreuel,

erstmal sry., dass ich mich nicht eher gemeldet habe (bin durch mein Studium und anderen Aufgaben bei Serlo nicht eher dazu gekommen, euch zu antworten...)! Bitte um Verständnis!

Schön, dass Ihr das ausdiskutiert habt. Ich bin mit eurem Endergebnis sehr zufrieden und schließe mich an. So hatte ich mir es auch vorgestellt, als ich meine Antwort an GrischaGreuel geschrieben habe.

Ich fange heute mal mit der Überarbeitung an und würde mich freuen, wenn ihr beide nochmal drüberschauen und mir Feedback geben könntet.
@GrischaGreuel: Vllt. kannst du diesen Artikel nochmal mit deinen Schülern testen. Würde mich sehr freuen!

LG und noch ein schönes Restwochende,
Nish
Nish 2018-03-18 11:10:28
Ich habe eben alles umgesetzt, was ich umsetzen wollte :) Bin gespannt auf euer Feedback ;)
Digamma 2018-03-19 18:38:59
Ich finde es gut so. Eine Kleinigkeit: Bei den Bildern unter "Abhängigkeit" werden kursive und aufrechte Buchstaben gemischt.
Nish 2018-03-21 17:57:16
Vielen Dank, Digamma! Ich bessere es entweder morgen oder über's WE aus. Mir ist auch ein weiterer Fehler im ersten Bild aufgefallen (Hypot*h*enuse) :)
Nish 2018-03-23 09:53:00
Hab es eben ausgebessert. Danke nochmal!
Digamma 2018-03-24 07:50:15
Vielen Dank. Aber im mittleren Bild ist immer noch das "b" der unteren Kathete kursiv. Ehrlich gesagt hätte ich es besser gefunden, alle Bezeichnungen kursiv zu setzen (damit auch bei den Bildern oben bei der Definition) wie im Text.
Nish 2018-03-25 15:49:20
Danke auch dir für deine große Aufmerksamkeit! Finde deinen Vorschlag sehr gut und kümmere mich noch um die Umsetzung ;)
LG,
Nish
Nish 2018-03-25 16:05:07
Hoffe es passt jetzt :) Ansonsten einfach wieder Bescheid geben. Das Bild in der Mitte (unten) war leider noch das Alte. Habe alle neu gemacht und auch oben die Bezeichnungen in Formelumgebung gepackt.
Digamma 2018-03-29 19:51:55
Super. Danke.
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Rebi 2017-12-03 14:55:43
Hier fehlt die Information, dass tan=sin/cos ist.
LG Rebi
Special 2017-12-04 18:58:25
Ich hab die Beziehung unten bei den Rechenregeln hinzugefügt. Eventuell wäre es aber sinnvoller, diese schon oben bei der Definition einzuführen. Was meinen die anderen?
Viele Grüße
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Bernhard-Strauss 2017-11-29 14:30:05
Schön wäre auch zu zeigen, wie man mit dem Taschenrechner die Werte berechnet und vor allem auch wie man aus z.B. cos (alpha) = x das "alpha" berechnen kann (cos^(-1)) :-)
alpha 2018-04-02 09:54:33
Es gibt eine Taste am Taschenrechner(arcustangens bzw. arcusinus und arcuscosinus die man mit der secondfunction (2^nd)Taste aktivieren kann
somit kann man den zugehörigen Winkel berechnen falls man den cosinus. sinus bzw tangens wert kennt
alpha 2018-04-02 09:54:34
Es gibt eine Taste am Taschenrechner(arcustangens bzw. arcusinus und arcuscosinus die man mit der secondfunction (2^nd)Taste aktivieren kann
somit kann man den zugehörigen Winkel berechnen falls man den cosinus. sinus bzw tangens wert kennt
alpha 2018-04-02 09:55:55
das ist nämlich die Umkehrfunktion ;)
Nish 2018-04-02 16:29:28
Danke für deinen wertvollen Input, alpha! Noch hat sich wohl niemand gefunden, der diese Änderung in den Artikel einbauen will. Ich finde deinen und Bernhard's Input sehr sinnvoll und hoffe, es kümmert sich bald jdn. darum :) Ich kann leider mich momentan nicht darum kümmern.

Falls du selber Lust bzw. Zeit hast, was zu machen, sag mir einfach Bescheid ;) Ich helfe dir gerne weiter, dich mit unserem Editiersystem auseinanderzusetzen.

LG,
Nish
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