Viele Terme enthalten Klammern. In diesem Artikel erfährst du, wie du diese Terme vereinfachen kannst und wie du selbst Klammern in Termen setzen kannst.

Klammern auflösen

Klammern bei Summen oder Differenzen

Klammern bei Summen kannst du mithilfe des Assoziativgesetzes auflösen.

$$x+(y+3)=x+y+3$$

Bei einer Differenz, also mit einem %%\color{#cc0000}{\text{Minus}}%% vor der Klammer drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um!

$$x \color{#cc0000}{-}(y+3)=x\color{#cc0000}{-}y\color{#cc0000}{-}3$$

Beispielaufgabe:

%%2+x-(y+x-4)=%%

%%\;%%

%%2+x-y-x+4 =%%

%%2+4+x-x-y=%%

%%6-y%%

Löse zunächst die Klammer auf! Achte dabei auf das Minus vor der Klammer.

Ordne den Term so, dass gleiche Variablen beieinander stehen.

Vereinfache den Term.

Klammern bei Produkten

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie Klammern in einem Produkt vorkommen können.
Entweder, es gibt einen Faktor, der mit einer Klammer multipliziert wird:

%%a \cdot (b \cdot c)%% oder %%a \cdot (x+y)%%

oder es werden zwei Klammern miteinander multipliziert:

%%(x+y) \cdot (a+b)%%

Den einfachsten Fall hast du bei: %%a \cdot (b \cdot c)%%

Dort gilt wieder das Assoziativgesetz, du kannst (unter Beachtung der Vorzeichen) die Klammer einfach weglassen.

%%a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c%%

%%\hspace{1cm}%%

Beispielaufgabe:

%%3x\cdot(4\cdot7x)=%%

%%\;%%

%%3x\cdot4\cdot7x=%%

%%\;%%

%%3x\cdot7x\cdot4=%%

%%21x^2\cdot4=%%

%%84x^2%%

Wegen des Assoziativgesetzes kannst du die Klammern einfach weglassen.

Ordne den Term so, dass gleiche Variablen beieinander stehen.

%%\;%%

Multipliziere die einzelnen Faktoren von links nach rechts.

Ausmultiplizieren

Wenn nur ein Faktor vor einer Klammer steht, in der eine Summe oder Differenz steht, nennt man die Vereinfachung "ausmultiplizieren". Dabei wird das Distributivgesetz angewendet.

Beispielaufgabe:

%%2xy-4x \cdot (y+3x-2)=%%

Multipliziere die Klammer mit dem Faktor %%-4x%%.
Achte besonders auf das Minus vor dem Faktor!

%%2xy - 4x \cdot y + (-4x) \cdot 3x - (-4x) \cdot 2%%

%%2xy - 4xy-12x^2+8x=%%

Fasse nun die ersten beiden Summanden zusammen.

%%-2xy-12x^2+8x%%

Weiter kannst du diesen Term nicht vereinfachen

Klammern miteinander multiplizieren

Wenn du zwei Klammern, in denen Summen oder Differenzen stehen, miteinander multiplizieren willst, musst du dies komponentenweise tun. Achte dabei besonders auf Vorzeichen!

Beispielaufgabe

Vereinfache den Term so weit wie möglich!
%%(2x+y) \cdot (3y-7x)=%%

Multipliziere die Klammern komponentenweise, wie oben gezeigt.

%%2x \cdot 3y + 2x \cdot (-7x) +y \cdot 3y + y\cdot (-7x)=%%

Vereinfache nun die einzelnen Summanden, achte dabei auf die Vorzeichen!

%%6xy-14x^2+3y^2-7xy=%%

Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen nebeneinander stehen.

%%6xy-7xy -14x^2+3y^2=%%

Vereinfache den Term nun so weit wie möglich.

%%-xy-14x^2+3y^2%%

Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.

Klammern Setzen

Ausklammern

Ausklammern bezeichnet die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Durch diese Operation können Terme vereinfacht und organisiert werden.

Du hast also einen Term, bei dem in den einzelnen Summanden gleiche Faktoren vorkommen:

%%ax+ay=%%

Hier kannst du den Faktor %%a%% ausklammern:

%%a \cdot (x+y)%%

Beispielaufgabe

Vereinfache den Term: %%2xy+4x-6x^2y=%%

Hier kommt in jedem Summanden der Faktor %%2x%% vor: %%2x \cdot y + 2x \cdot 2 - 2x \cdot 3xy =%%

Diesen Faktor kannst du ausklammern:
%%2x \cdot (y+2-3xy)%%

Weiter kannst du diesen Term nicht vereinfachen.

Du kannst auch nur Teile des Terms so zusammenfassen, anschließend muss natürlich Punkt vor Strich beachtet werden!

$$ax+3ay+xy = a(x+3y)+xy$$

Ausklammern bei Bruchtermen

Besonders wichtig ist das Ausklammern bei Bruchtermen, da man diese so kürzen kann.

Beispiel:

$$\dfrac{2xy+4x-6x^2y}{4xy-8x-4x^3}=$$

Hier kannst du im Zähler %%2x%% und im Nenner %%4x%% ausklammern:

$$\dfrac{2x \cdot (y+2-3xy)}{4x\cdot (y-2-x^2)}=$$

Nun kann im Bruch %%2x%% gekürzt werden. Du erhältst:

$$\dfrac{y+2-3xy}{2 \cdot (y-2-x^2)}$$

Weiter ist dieser Bruch nicht kürzbar, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr besitzen.

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