Bei dieser Aufgabe solltest du den Bruch zuerst vereinfachen und anschließend ableiten.

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Nun kannst du mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und der Faktorregel $f^{\prime }(x)$ bestimmen.

$f^{\prime }(x)=2\cdot 2x-1+0=4x-1$

Die Ableitung von $f(x)$ ist $f^{\prime }(x)=4x-1$.

Tipp: Ziehe den Faktor $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.

Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.

Umformung des Funktionsterms

$\begin{array}{rl}g(t)& =\frac{5t^3+2t-1}{4}\\ & =\frac{1}{4}\cdot (5t^3+2t-1)\end{array}$

Nun ziehst du $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.

Ableiten der Funktion

Die Ableitung $g\text{´}(t)$ lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.

Es ergibt sich

$\begin{array}{rl}g\text{´}(t)& =\frac{1}{4}\cdot (5\cdot 3t^2+2\cdot 1)\\ & =\frac{1}{4}\cdot (15t^2+2)\end{array}$

Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.

Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.

Die Ableitung von $g(t)$ ist $g\text{´}(t)=\frac{1}{4}\cdot (15t^2+2)$.

Tipp: Du kannst zuerst $\frac{1}{5\pi -1}$ vor den Bruch ziehen.

Bei dieser Aufgabe solltest du zuerst den Funktionsterm umformen und dann mithilfe der Ableitungsregeln $h^{\prime }(x)$ bestimmen.

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Wende nun die Faktorregel, die Summenregel und die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen an.

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{5\pi -1}}\cdot (2+6x)$

Schreibe $(2+6x)$ in den Zähler.

$\phantom{h^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2+6x}{5\pi -1}}$

Die Ableitung von $h(x)$ ist $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2+6x}{5\pi -1}}$.

Tipp: Kürze den Bruch zuerst mit 2 und ziehe dann $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.

Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.

Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$k^{\prime }(s)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot (9s^2+0)$

Schreibe $9s^2$ in den Zähler.

$\phantom{k^{\prime }(s)}={\displaystyle \frac{9s^2}{\sqrt{2}}}$

Alternativ kannst du auch zu Beginn ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$ vor den Bruch ziehen und dann ableiten.

Die Ableitung von $k(s)$ ist $k^{\prime }(s)={\displaystyle \frac{9s^2}{\sqrt{2}}}$.

Tipp: Wende die 1. binomische Formel im Zähler an und kürze anschließend.

Umformung des Funktionsterms

In dieser Aufgabe solltest du zuerst die beiden Brüche addieren, um anschließend im Zähler die 1. binomische Formel anwenden zu können. Danach kannst du durch Kürzen den Bruch weiter vereinfachen.

Ableiten der Funktion

Leite nun deinen vereinfachten Term ab.

$${\displaystyle l^{\prime }(x)=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}}$$

Die Ableitung von $${\displaystyle l(x)}$$ ist $${\displaystyle l^{\prime }(x)=\frac{2}{3}}$$.

Umformung des Funktionsterms

Bei dieser Aufgabe bietet es sich zunächst an, wenn du den Funktionsterm mithilfe der Potenzgesetze und zweiten binomischen Formel vereinfachst bevor du diesen anschließend ableitest.

Ableiten der Funktion

Die letzte Äquivalenzumformung erspart es dir, die Quotientenregel anwenden zu müssen und ermöglicht die Nutzung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und Faktorregel für die einzelnen Summanden.

Die Ableitung von $${\displaystyle m(z)}$$ ist $m^{\prime }(z)={\displaystyle \frac{2}{z^2}}\cdot (1-{\displaystyle \frac{1}{z}})$.