Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

\displaystyle f(x)=\frac{6x^2-3x+9}{3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen
Tipp: Ziehe den Faktor $\frac {1}{4}$ vor den Bruch.
Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.
Umformung des Funktionsterms
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} g(t) &= \frac{5t^3 + 2t - 1}{4} \\&= \frac{1}{4} \cdot (5t^3 + 2t - 1) \end{aligned}$
Nun ziehst du $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Die Ableitung $g´(t)$ lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} g´(t) &= \frac{1}{4} \cdot (5\cdot 3t^2 + 2\cdot1)\\&= \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2) \end{aligned}$
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von $g(t)$ ist $g´(t) = \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2)$ .
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\displaystyle f(x)=\frac{6x^2-3x+9}{3}

\displaystyle f(x)=\frac{6x^2-3x+9}{3}

$\displaystyle l(x)= \frac{4x^2}{3 \cdot (2x+1)}+\frac{4x+1}{3 \cdot (2x+1)}$

$m(z) = \left(\dfrac{z-1}{z}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen

Umformung des Funktionsterms

Bei dieser Aufgabe bietet es sich zunächst an, wenn du den Funktionsterm mithilfe der Potenzgesetze und zweiten binomischen Formel vereinfachst bevor du diesen anschließend ableitest.

$\displaystyle m\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-1}{z}\right)^2$
	↓	Ziehe den gemeinsamen Exponenten in den Zähler und Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(z-1\right)^2}{z^2}$
	↓	Wende die zweite binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2-2z+1}{z^2}$
	↓	Spalte den Bruch in mehrere Summanden auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2}{z^2}-\frac{2z}{z^2}+\frac{1}{z^2}$
	↓	Kürze die ersten beiden Summanden.
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{2}{z}+\frac{1}{z^2}$
	↓	Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um.
	$=$	$\displaystyle 1-2z^{-1}+z^{-2}$

Ableiten der Funktion

Die letzte Äquivalenzumformung erspart es dir, die Quotientenregel anwenden zu müssen und ermöglicht die Nutzung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und Faktorregel für die einzelnen Summanden.

$\displaystyle m\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 1-2z^{-1}+z^{-2}$
$\displaystyle m´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 2z^{-2}-2z^{-3}$
	↓	Schreibe die Potenzen mit negativen Exponenten als Brüche um.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{z^2}-\frac{2}{z^3}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor $\dfrac{2}{z^2}$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{z^2}\cdot\left(1-\frac{1}{z}\right)$

Die Ableitung von $\displaystyle m(z)$ ist $m'(z) = \dfrac{2}{z^2}\cdot \left( 1 - \dfrac{1}{z}\right)$ .

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6x^2-3x+9}{3}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot\left(2x^2-x+3\right)}{3}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\displaystyle 2x^2-x+3$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x+3x^2}{5\pi-1}$
	↓	Ziehe $\dfrac{1}{5\pi-1}$ vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5\pi-1}\cdot\left(2x+3x^2\right)$

$\displaystyle k\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\left(3s^2+2\right)}{2\sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(3s^3+2\right)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(3s^3+2\right)$

$\displaystyle l\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4x^2}{3\cdot\left(2x+1\right)}+\frac{4x+1}{3\cdot\left(2x+1\right)}$
	↓	Addiere die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{4x^2+4x+1}{3\cdot\left(2x+1\right)}$
	↓	Wende nun die 1. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2x+1\right)^2}{3\cdot\left(2x+1\right)}$
	↓	Kürze den Term in Klammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2x+1\right)}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor $\dfrac{1}{3}$ vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$