Nullstellen bestimmen

Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. Also gilt:

Damit sind die Nullstellen: $x_1=0,x_2=3,x_3=6$

Funktion umformen

Um $f_a(x)$ leichter abzuleiten multiplizieren wir alle Klammern aus:

Ableitungen bilden

Mittels der Potenz- und Summenregel erhalten wir die ersten beiden Ableitungen:

Hochpunkt berechnen

Alle Extremstellen sind auch Nullstellen der ersten Ableitung. Wir lösen also:

Um dies zu lösen wenden wir die Mitternachtsformel mit $a=3$, $b=-18$ und $c=18$ an und erhalten:

Wir setzen nun $x_{\mathrm{1,2}}$ in $f_3^{\prime \prime }$ ein. Ist das Ergebnis negativ, so haben wir einen Hochpunkt gefunden:

Da $6\sqrt{3}>0$ ist, ist der einzige Hochpunkt bei $x_H=3-\sqrt{3}$. Nun rechnen wir noch die $y$-Koordinate des Hochpunkts aus:

Also ist der Hochpunkt von $f_3$ bei $(3-\sqrt{3}|6\sqrt{3})$.

Erste Steigung

Um die durchschnittliche Steigung von $f_a$ im Intervall $[-1;0]$ zu finden, nutzen wir den Differenzenquotienten und erhalten:

Zweite Steigung

Um die durchschnittliche Steigung von $f_3$ zu berechnen, setzen wir in die generelle Formel $a=3$ ein:

Gleichsetzen

Wir setzen nun die beiden Steigung gleich und lösen nach $a$:

Um dies nach $a$ zu lösen, nutzen wir die Mitternachtsformel:

Also ist $a_1={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$, was ein guter Konsistenzcheck ist. Damit ist der gesuchte Parameter: $a_2=-{\displaystyle \frac{18}{4}}=-\mathrm{4,5}$.

Ableitung

Wir formen zuerst $f_a$ um, damit wir die Ableitung leichter bilden können. Dazu multiplizieren wir alle Klammern aus:

Dann berechnen wir die Ableitung mit der Summen- und Potenzregel:

Parallelität

Die Steigung der Tangente zu $f_a$ bei $x=0$ ist $f_a^{\prime }(0)$. Dies können wir einfach ausrechnen: $m_a=f_a^{\prime }(0)=2a^2$. Analog ist die Steigung der Tangente zu $f_{-a}$ durch $f_{-a}^{\prime }(0)$ gegeben:

Also haben beide Tangenten die gleiche Steigung, sind also parallel.

Identisch

Da $x=0$ eine Nullstelle von $f_a$ und von $f_{-a}$ ist, gilt $f_a(0)=0=f_{-a}(0)$. Da die Tangenten zu $f_{\pm a}$ bei $x=0$ jeweils durch $f_{\pm a}(0)$ laufen, gehen beide durch den Punkt $(0|0)$. Insbesondere schneiden sich also beide Tangenten. Da sie außerdem parallel sind, müssen sie identisch sein.

Spiegelung um den Ursprung

Bei einer Spiegelung um den Ursprung wird ein beliebiger Punk $(a|b)$ auf den Punkt $(-a|-b)$ gespiegelt.

Anwendung auf den Graphen

Ein Punkt auf dem Graphen von $f_a$ hat die Form $(x|f_a(x))$. Wenn wir diesen um den Ursprung spiegeln, erhalten wir also den Punkt $(-x|-f_a(x))$. Dies ist aber auch der Graph der Funktion $-f_a(-x)$. Weiter gilt:

Also wird der Graph von $f_a$ durch eine Spiegelung um den Ursprung auf den Graphen von $f_{-a}$ abgebildet.

Beschreibung des Dreiecks

Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.

Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.

Steigung folgern

Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m=\pm 1$.

Parameter finden

Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_a$ bei $x=a$. Diese ist durch die Ableitung $f_a^{\prime }(a)$ gegeben. Also gilt:

Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{\mathrm{1,2}}=\pm 1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$:

Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m=1$ nicht erreicht werden und wir lösen:

Also ist das gebildete Dreieck für $a=\pm 1$ gleichschenklig.

Stammfunktion berechnen

Da wir im Laufe der Aufgabe das Integral von $f_a$ mehrfach ausrechnen müssen, berechnen wir die Stammfunktion einmal und wenden sie dann wiederholt an.

Zuerst multiplizieren wir $f_a$ aus und erhalten $f_a=x^3-3a{x}^2+2a^{2}x$. Dann ist die Stammfunktion nach der Summen- und Potenzregel:

Intervall auftrennen

Um die Fläche auszurechnen, müssen wir zuerst untersuchen, ob die Funktion im Intervall $]0;2[$ einen Vorzeichenwechsel hat. Da eine Funktion nur in Nullstellen ihr Vorzeichen wechseln kann, untersuchen wir die Nullstellen von $f_a$.

Diese sind bei $x_1=0,x_2=a,x_3=2a$.

Die verschiedenen Fälle sind also:

• $a\le 0$: Keine der Nullstellen liegt in $]0;2[$

• $0<a<1$: Die Nullstellen $a$ und $2a$ liegen in $]0;2[$

• $1\le a<2$: Nur die Nullstelle $a$ liegt in $]0;2[$

• $2\le a$: Keine der Nullstellen liegen in $]0;2[$

Da die anderen Fälle nicht leicht abzuschätzen sind, berechnen wir diese direkt.

Integrale berechnen

• $0<a<1$:

In diesem Fall trennen wir das Intervall zu $]0;a[\cup ]a;2a[\cup ]2a;2[$ auf. Dementsprechend müssen wir drei Integrale ausrechnen:

Also ist die Fläche im Fall $0<a<1$:

• $1\le a<2$:

Wir trennen das Intervall zu $]0;a[\cap ]a,2[$ auf.

Um nun die Fläche auszurechnen, müssen wir überprüfen, ob die Integrale positiv oder negativ sind. Das erste Integral ist offensichtlich nicht-negativ, da $a^4$ nicht-negativ ist. Das zweite Integral ist etwas komplizierter. Wir berechnen zuerst den Wert des Integrals für $a=1$:

Da wir unsere Intervalle so gewählt haben, dass die Funktion auf ihnen konstant negativ oder positiv ist, muss also $I_2^{\prime }<0$ für das gesamte Intervall, also $1\le a<2$, gelten. Also ist:

Lösen nach $a$

Wir setzen nun die Formeln der Fläche gleich $1$ und lösen nach $a$. Da wir Polynome vom Grad $4$ nicht per Hand lösen können, lassen wir den Taschenrechner für uns rechnen. Nutze dazu den Befehl "nSolve".

Im ersten Fall liefert das: $a_1\approx \mathrm{0,508}$ und $a_2\approx \mathrm{1,158}$.

Da wir im ersten Fall aber $0<a<1$ haben, ist der gesuchte Wert $a_1\approx \mathrm{0,51}$.

Im zweiten Fall liefert der Rechner: $a_1\approx -\mathrm{3,629}$ und $a_2\approx \mathrm{1,267}$. Da wir hier $1\le a<2$ haben, ist der gesuchte Wert $a_2\approx \mathrm{1,27}$.

Also sind die Werte für $a$, sodass die Fläche zwischen $f_a$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;2]$ die Größe $1$ hat: $a_1\approx \mathrm{0,51}$ und $a_2\approx \mathrm{1,27}$.

Ableitungen bilden

Wir multiplizieren die Funktion aus und berechnen die Ableitungen mit der Summen- und Potenzregel:

Extremstellen finden

Extremstellen sind immer Nullstellen der ersten Ableitung. Diese Nullstellen finden wir mit der Mitternachtsformel:

Tiefpunkt finden

Bei einem Tiefpunkt ist die zweite Ableitung positiv. Wir setzen also unsere Extremstellen in $f_a^{\prime \prime }(x)$ ein und testen, ob $f_a^{\prime \prime }$ positiv ist.

Genau gleich erhält man für $f_a^{\prime \prime }(x_2)=-2\sqrt{3}a$

Für $a<0$ ist also $x_2$ die gesuchte Stelle, bei $a>0$ ist es $x_1$.

Werte ausrechnen

Um die $y$-Koordinaten auszurechnen, setzen wir $x_{\mathrm{1,2}}$ in die Funktion ein:

Für $f(x_2)$ ergibt der gleiche Rechenweg $f_a(x_2)=\frac{2}{3\sqrt{3}}{a}^3$.

Also ist der Tiefpunkt von $f_a(x)$ bei $TP(a+\frac{a}{\sqrt{3}}|-\frac{2}{3\sqrt{3}}{a}^3)$ falls $a>0$. Für $a<0$ liegt er bei $TP(a-\frac{a}{\sqrt{3}}|\frac{2}{3\sqrt{3}}{a}^3)$.

Tangente finden

In der vorherigen Teilaufgabe haben wir bereits den Tiefpunkt von $f_a$ gefunden. Wir müssen also nur $a=3$ setzen und erhalten:

Da die Stelle des Tiefpunkts eine Nullstelle der ersten Ableitung ist, ist die Steigung der Tangente einfach $0$.

Da die Tangente durch den Tiefpunkt gehen muss, ist sie einfach die konstante Funktion: $t(x)=-6\sqrt{3}$.

Schnittpunkte finden

Um die Schnittpunkte zu finden, setzen wir die Funktionen gleich:

Erste Fläche berechnen

Zweite Fläche berechnen

Da die Nullstellen von $f_3$ nicht im Intervall $]\mathrm{0,3}[$ liegen, müssen wir das Integral nicht auftrennen.

Verhältnis ausrechnen

Das Verhältnis ist:

Also ist die Fläche zwischen $f_3$ und $t$ $3$-mal so groß, wie die Fläche unter $f_3$ im Intervall $[\mathrm{0,3}]$.