$I)f(0)=0$

Der Graph verläuft also durch $P(0|0)$, den Ursprung des Koordinatensystems.

$II)f^{\prime }(0)=0$

Die Steigung im Ursprung ist 0.

Insgesamt: Im Ursprung ist also eine Stelle mit waagerechter Tangente (Extrempunkt oder Terrassenpunkt)

$III)f(-3)=-3$

Der Graph verläuft durch den Punkt $Q(-3|-3)$.

$IV)f^{\prime }(-3)=-1$

Der Graph hat also im Punkt $Q(-3|-3)$ die Steigung $m=-1$.

allgemeiner Funktionsterm

Da es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 ist und du nichts über die Symmetrie des zugehörigen Graphen weißt, ist der allgemeine Funtkionsterm:

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Die Ableitungsfunktion ist somit:

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

Bedingungsgleichungen

Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:

$I)a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=0\Rightarrow d=0$

$II)3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c=0\Rightarrow c=0$

Verwende $c=0$ und $d=0$ direkt in den nächsten Bedingungsgleichungen:

$III)a\cdot (-3{)}^3+b\dot{(}-3{)}^2=-3$

$III)-27a+9b=-3$

und

$IV)3a\cdot (-3{)}^2+2b\cdot (-3)=-1$

$IV)27a-6b=-1$

Gleichungssystem lösen

Löse das System zum Beispiel mit dem Additionsverfahren:

$\begin{array}{lccl}& -27a& +9b& =-3\\ +& 27a& -6b& =-1\\ & & 3b& =-4& |:3\\ & & b& =-\frac{4}{3}\end{array}$

Setze $b=-\frac{4}{3}$ in eine der beiden Gleichungen ein, um $a$ zu berechnen.

Insgesamt ist der Term also, wie im Teilergebnis vorgegeben: $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{4}{3}{x}^2$

Randextrempunkte

Da beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte:

$R_1(-\mathrm{4,5}|g(-\mathrm{4,5}))$ und $R_2(1|g(1))$

Bestimme die Funktionswerte durch einsetzen:

$g(-\mathrm{4,5})=\frac{27}{8}=\mathrm{3,375}$

$g(1)=-\frac{5}{3}\approx -\mathrm{1,67}$

Weitere Extrempunkte

Bestimme mithilfe der Nullstellen der 1. Ableitung die übrigen Extrempunkte:

$g^{\prime }(x)=-x^2-\frac{8}{3}x$

und somit

Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es die beiden Nullstellen $x=0$ und $x=-\frac{8}{3}\approx -\mathrm{2,67}$.

Bei $x=0$ ist eine Extremstelle von $g$, da es eine einfache Nullstelle von $g^{\prime }$ ist und dort somit ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Es ist $g^{\prime \prime }(x)=-2x-{\displaystyle \frac{8}{3}}$ und $g^{\prime \prime }(0)=-{\displaystyle \frac{8}{3}}<0\Rightarrow HP$

Der Hochpunkt liegt bei $HP(0|0)$, da aus der Aufgabenstellung bekannt ist, dass der Graph durch den Ursprung verläuft.

Für $x=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$ ist $g^{\prime \prime }(-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-2\cdot (-{\displaystyle \frac{8}{3}})-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}>0\Rightarrow TP$

$g(-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {(-{\displaystyle \frac{8}{3}})}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {(-{\displaystyle \frac{8}{3}})}^2=-{\displaystyle \frac{256}{81}}$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(-{\displaystyle \frac{8}{3}}|-{\displaystyle \frac{256}{81}})$.

Wertemenge

Die beiden Extrempunkte $R_1(-\mathrm{4,5}|{\displaystyle \frac{27}{8}})$ und $TP(-{\displaystyle \frac{8}{3}}|-{\displaystyle \frac{256}{81}})$ bestimmen die Wertemenge. Verwende dazu den kleinsten und größten y-Wert:

$W=[-{\displaystyle \frac{256}{81}};{\displaystyle \frac{27}{8}}]$

Leite die Ableitungsfunktion $g^{\prime }(x)=-x^2-\frac{8}{3}x$ erneut ab:

$g^{\prime \prime }(x)=-2x-\frac{8}{3}$

Bestimme die Nullstelle von $g^{\prime \prime }$:

Der Wert $x=-\frac{4}{3}\approx -\mathrm{1,33}$ liegt in der Definitionsmenge.

Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, hat $G_{g^{\prime \prime }}$ dort einen Vorzeichenwechsel und es ist tatsächlich eine Wendestelle von $G_g$.

Durch Einsetzen in $g$ erhältst du den zugehörigen Funktionswert:

$g(-\frac{4}{3})=-\frac{128}{81}\approx -\mathrm{1,58}$

Der Wendepunkt liegt also bei $W(-\frac{4}{3}|-\frac{128}{81})$

Nullstellen bestimmen

Laut dem Satz vom Nullprodukt gibt es zwei Nullstellen: die doppelte Nullstelle $x=0$ und die einfache Nullstelle $x=-4$. Beide liegen im Definitionsbereich.

Graph zeichnen

Du darfst nicht über die Grenzen des Definitionsbereichs hinweg zeichnen. Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite 0,5 wählen.

Mit dem bestimmten Integral kannst du den Flächeninhalt bestimmen:

Da das markierte Flächenstück komplett unterhalb der x-Achse liegt, entspricht der Betrag des bestimmten Integrals dem Flächeninhalt, also:

$A=\frac{64}{9}\mathrm{FE}$