Teil 2, Analysis I

$I)f(0)=0I)\; f(0)=0$

Der Graph verläuft also durch $P(0\mathrm{\mid }0)P(0|0)$, den Ursprung des Koordinatensystems.

$II)f^{\mathrm{\prime }}(0)=0II)f\text{'}(0)=0$

Die Steigung im Ursprung ist 0.

Insgesamt: Im Ursprung ist also eine Stelle mit waagerechter Tangente (Extrempunkt oder Terrassenpunkt)

$III)f(-3)=-3III)\; f(-3)=-3$

Der Graph verläuft durch den Punkt $Q(-3\mathrm{\mid }-3)Q(-3|-3)$.

$IV)f^{\mathrm{\prime }}(-3)=-1IV)\; f\text{'}(-3)=-1$

Der Graph hat also im Punkt $Q(-3\mathrm{\mid }-3)Q(-3|-3)$ die Steigung $m=-1m=-1$.

allgemeiner Funktionsterm

Da es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 ist und du nichts über die Symmetrie des zugehörigen Graphen weißt, ist der allgemeine Funtkionsterm:

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

Die Ableitungsfunktion ist somit:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+cf\text{'}(x)=3ax^2+2bx+c$

Bedingungsgleichungen

Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:

$I)a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=0\Rightarrow d=0I)\; a\backslash cdot\; 0^3+b\backslash cdot\; 0^2+c\backslash cdot\; 0+d=0\backslash Rightarrow\; d=0$

$II)3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c=0\Rightarrow c=0II)3a\backslash cdot\; 0^2+2b\backslash cdot\; 0+c=0\; \backslash Rightarrow\; c=0$

Verwende $c=0c=0$ und $d=0d=0$ direkt in den nächsten Bedingungsgleichungen:

$III)a\cdot (-3{)}^3+b\dot{(}-3{)}^2=-3III)a\backslash cdot(-3)^3+b\backslash dot\; (-3)^2=-3$

$III)-27a+9b=-3III)-27a+9b=-3$

und

$IV)3a\cdot (-3{)}^2+2b\cdot (-3)=-1IV)\; 3a\backslash cdot\; (-3)^2+2b\backslash cdot(-3)=-1$

$IV)27a-6b=-1IV)27a-6b=-1$

Gleichungssystem lösen

Löse das System zum Beispiel mit dem Additionsverfahren:

Setze $b=-\frac{4}{3}b=-\backslash frac\; 4\; 3$ in eine der beiden Gleichungen ein, um $aa$ zu berechnen.

Insgesamt ist der Term also, wie im Teilergebnis vorgegeben: $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{4}{3}{x}^{2}f(x)=-\backslash frac\; 1\; 3\; x^3-\backslash frac\; 4\; 3\; x^2$

Randextrempunkte

Da beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte:

$R_1(-\mathrm{4,5}\mathrm{\mid }g(-\mathrm{4,5}))R\_1(-4\{,\}5|g(-4\{,\}5))$ und $R_2(1\mathrm{\mid }g(1))R\_2(1|g(1))$

Bestimme die Funktionswerte durch einsetzen:

$g(-\mathrm{4,5})=\frac{27}{8}=\mathrm{3,375}g(-4\{,\}5)=\backslash frac\{27\}8=3\{,\}375$

$g(1)=-\frac{5}{3}\approx -\mathrm{1,67}g(1)=-\backslash frac\; 5\; 3\backslash approx\; -1\{,\}67$

Weitere Extrempunkte

Bestimme mithilfe der Nullstellen der 1. Ableitung die übrigen Extrempunkte:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2-\frac{8}{3}xg\text{'}(x)=-x^2-\backslash frac\; 8\; 3x$

und somit

Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es die beiden Nullstellen $x=0x=0$ und $x=-\frac{8}{3}\approx -\mathrm{2,67}x=-\backslash frac\; 8\; 3\backslash approx\; -2\{,\}67$.

Bei $x=0x=0$ ist eine Extremstelle von $gg$, da es eine einfache Nullstelle von $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ ist und dort somit ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Es ist $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2x-{\displaystyle \frac{8}{3}}g\text{'}\text{'}(x)=-2x-\backslash dfrac\{8\}\{3\}$ und

Der Hochpunkt liegt bei $HP(0\mathrm{\mid }0)HP(0|0)$, da aus der Aufgabenstellung bekannt ist, dass der Graph durch den Ursprung verläuft.

Für $x=-{\displaystyle \frac{8}{3}}x=-\backslash dfrac\{8\}\{3\}$ ist $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-2\cdot (-{\displaystyle \frac{8}{3}})-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}>0\Rightarrow TPg\text{'}\text{'}\backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash right)=-2\backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash right)-\backslash dfrac\{8\}\{3\}=\backslash dfrac\{8\}\{3\}>0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;TP$

$g(-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {(-{\displaystyle \frac{8}{3}})}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {(-{\displaystyle \frac{8}{3}})}^2=-{\displaystyle \frac{256}{81}}g\backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash right)=-\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash right)^3-\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash right)^2=-\backslash dfrac\{256\}\{81\}$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(-{\displaystyle \frac{8}{3}}\mid -{\displaystyle \frac{256}{81}})TP\backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash mid\; -\backslash dfrac\{256\}\{81\}\backslash right)$.

Wertemenge

Die beiden Extrempunkte $R_1(-\mathrm{4,5}\mid {\displaystyle \frac{27}{8}})R\_1\backslash left(-4\{,\}5\backslash mid\; \backslash dfrac\; \{27\}8\backslash right)$ und $TP(-{\displaystyle \frac{8}{3}}\mid -{\displaystyle \frac{256}{81}})TP\backslash left(-\backslash dfrac\{8\}\{3\}\backslash mid\; -\backslash dfrac\{256\}\{81\}\backslash right)$ bestimmen die Wertemenge. Verwende dazu den kleinsten und größten y-Wert:

$W=[-{\displaystyle \frac{256}{81}};{\displaystyle \frac{27}{8}}]W=\backslash left[-\backslash dfrac\{256\}\{81\};\backslash dfrac\{27\}8\backslash right]$

Leite die Ableitungsfunktion $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2-\frac{8}{3}xg\text{'}(x)=-x^2-\backslash frac\; 83x$ erneut ab:

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2x-\frac{8}{3}g\text{'}\text{'}(x)=-2x-\backslash frac\; 83$

Bestimme die Nullstelle von $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}g\text{'}\text{'}$:

Der Wert $x=-\frac{4}{3}\approx -\mathrm{1,33}x=-\backslash frac\; 4\; 3\backslash approx\; -1\{,\}33$ liegt in der Definitionsmenge.

Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, hat $G_{g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}G\_\{g\text{'}\text{'}\}$ dort einen Vorzeichenwechsel und es ist tatsächlich eine Wendestelle von $G_{g}G\_g$.

Durch Einsetzen in $gg$ erhältst du den zugehörigen Funktionswert:

$g(-\frac{4}{3})=-\frac{128}{81}\approx -\mathrm{1,58}g(-\backslash frac\; 4\; 3)=-\backslash frac\{128\}\{81\}\backslash approx\; -1\{,\}58$

Der Wendepunkt liegt also bei $W(-\frac{4}{3}\mid -\frac{128}{81})W\backslash left(-\backslash frac\; 4\; 3\backslash mid-\backslash frac\{128\}\{81\}\backslash right)$

Nullstellen bestimmen

Laut dem Satz vom Nullprodukt gibt es zwei Nullstellen: die doppelte Nullstelle $x=0x=0$ und die einfache Nullstelle $x=-4x=-4$. Beide liegen im Definitionsbereich.

Graph zeichnen

Du darfst nicht über die Grenzen des Definitionsbereichs hinweg zeichnen. Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite 0,5 wählen.

Mit dem bestimmten Integral kannst du den Flächeninhalt bestimmen:

Da das markierte Flächenstück komplett unterhalb der x-Achse liegt, entspricht der Betrag des bestimmten Integrals dem Flächeninhalt, also:

$A=\frac{64}{9}\mathrm{F}\mathrm{E}A=\backslash frac\{64\}9\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$

Ableiten

Bestimme die 1. Ableitung von $N(t)=2t^2\cdot e^{-\mathrm{0,5}t}N(t)=2t^2\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}5t\}$ mit der Produktregel und der Kettenregel.

Nullstellen bestimmen

Du suchst die Lösung der Gleichung $N^{\mathrm{\prime }}(t)=0\iff t(4-t)e^{-\mathrm{0,5}t}=0N\text{'}(t)=0\backslash Leftrightarrow\; t(4-t)e^\{-0\{,\}5t\}=0$.

Laut dem Satz vom Nullprodukt kann jeder Faktor einzeln betrachtet werden. Dabei ist $e^{f(x)}>0e^\{f(x)\}>0$ für jede Funktion $f(x)f(x)$, hat also nie den Wert 0.

Es gibt somit die Nullstellen $t=0t=0$ und $t=4t=4$.

Monotonietabelle

Lege mit diesen Werten eine Monotonietabelle an. Beachte, dass $t=0t=0$

zugleich der Rand des Definitionsbereichs ist und dort ein Randextrempunkt liegt:

Funktionswert berechnen

Da nur nach dem Maximum gefragt ist, musst du nur $N(4)N(4)$ bestimmen.

$N(4)=\frac{32}{e^2}\approx \mathrm{4,331}N(4)=\backslash frac\{32\}\{e^2\}\backslash approx\; 4\{,\}331$

Bedeutung im Sachkontext

Die Zahl der Neuerkrankungen ist laut Angabentext in Tausend.

Also liegt das Maximum der neu erkrankten Menschen nach 4 Wochen bei 4331 Neuerkrankungen.

Bestimme $li{m}_{t\to +\mathrm{\infty }}N(t)lim\_\{t\backslash to\; +\backslash infty\}N(t)$:

Da $tt$ die Zeit in Wochen beschreibt und $N(t)N(t)$ die Zahl der Neuerkrankungen, bedeutet der Grenzwert, dass sich die Zahl der Neuerkrankungen nach vielen Wochen auf 0 reduziert und es somit keine Neuerkrankungen mehr gibt.

Die Achsen beschriftest du zum Beispiel mit $tt$ und $N(t)N(t)$.

Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ einstellen.

Nachweis

Um die Ableitung zu bestimmen, brauchst du die Produktregel und die Kettenregel.

Und somit ist $GG$ eine Stammfunktion von $NN$.

Durchschnittliche Zahl der Neuerkrankungen

Mit dem Integral ${\int }_0^{8}N(t)dt\backslash int\_0^8N(t)dt$ kannst du die Zahl der insgesamt erkrankten Personen in den ersten acht Wochen bestimmen. Da der Zeitraum 8 Wochen umfasst, bekommst du die Zahl der durchschnittlichen Neuerkrankungen pro Woche, indem du diesen Wert durch 8 teilst:

In den ersten acht Wochen gab es durchschnittlich 3048 Neuerkrankungen pro Woche.