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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion N\mathrm{N} mit der Funktionsgleichung N(t)=2t2⋅e−0,5t\mathrm{N}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} mit t∈R0+\mathrm{t} \in \mathbb{R}_{0}^{+}beschrieben werden.

Dabei bedeutet die Variable tt die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt t0=0t_{0}=0. Der Funktionswert N(t)N(t) gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.

Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

  1. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt tmax⁡t_{\max } die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.

    [Teilergebnis: N˙(t)=(4t−t2)⋅e−0,5t\dot{\mathrm{N}}(\mathrm{t})=\left(4 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} ] (7 BE)

  2. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte N(t)N(t) für t→∞t \rightarrow \infty und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE)

  3. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion NN im Bereich 0≤t≤100 \leq t \leq 10 in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: 1LE=1 cm1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm} (3 BE)

  4. Gegeben ist die Funktion G:t↦(−4t2−16t−32)⋅e−0,5t\mathrm{G}: \mathrm{t} \mapsto\left(-4 \mathrm{t}^{2}-16 \mathrm{t}-32\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} mit der Definitionsmenge DG=R0+D_{G}=\R_{0}^{+}. Zeigen Sie, dass die Funktion GG eine mögliche Stammfunktion von NN ist. Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle. (5 BE)