Teil 2, Analysis I - lernen mit Serlo!

Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion $\mathrm{N}$ mit der Funktionsgleichung $\mathrm{N}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ mit $\mathrm{t} \in \mathbb{R}_{0}^{+}$ beschrieben werden.

Dabei bedeutet die Variable $t$ die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ . Der Funktionswert $N (t)$ gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.

Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt $t_{\max }$ die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.

[Teilergebnis: $\dot{\mathrm{N}}(\mathrm{t})=\left(4 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ ] (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Ableiten

Bestimme die 1. Ableitung von $N(t)=2t^2\cdot e^{-0{,}5t}$ mit der Produktregel und der Kettenregel.

$\displaystyle N'\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 4t\cdot e^{-0{,}5t}+2t^2\cdot\left(-0{,}5\right)e^{-0{,}5t}$
	↓	Verrechne.
	$=$	$\displaystyle 4t\cdot e^{-0{,}5t}-t^2\cdot e^{-0{,}5t}$
	↓	Klammere $t\cdot e^{-0{,}5t}$ aus.
	$=$	$\displaystyle t\cdot e^{-0{,}5t}\left(4-t\right)$
	↓	Reine Ästhetik:
	$=$	$\displaystyle t\left(4-t\right)e^{-0{,}5t}$

Nullstellen bestimmen

Du suchst die Lösung der Gleichung $N'(t)=0\Leftrightarrow t(4-t)e^{-0{,}5t}=0$ .

Laut dem Satz vom Nullprodukt kann jeder Faktor einzeln betrachtet werden. Dabei ist $e^{f(x)}>0$ für jede Funktion $f (x)$ , hat also nie den Wert 0.

Es gibt somit die Nullstellen $t = 0$ und $t = 4$ .

Monotonietabelle

Lege mit diesen Werten eine Monotonietabelle an. Beachte, dass $t = 0$

zugleich der Rand des Definitionsbereichs ist und dort ein Randextrempunkt liegt:

t	t=0	0<t<4	t=4	t<4
Vorzeichen $N^{'} (t)$	0	+	0	-
Verlauf $G_{N}$	$R T I P$	$\nearrow$	$H O P$	$\searrow$

Funktionswert berechnen

Da nur nach dem Maximum gefragt ist, musst du nur $N (4)$ bestimmen.

$N(4)=\frac{32}{e^2}\approx 4{,}331$

Bedeutung im Sachkontext

Die Zahl der Neuerkrankungen ist laut Angabentext in Tausend.

Also liegt das Maximum der neu erkrankten Menschen nach 4 Wochen bei 4331 Neuerkrankungen.

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Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte $N (t)$ für $t \rightarrow \infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
Bestimme $lim_{t\to +\infty}N(t)$ :
$\displaystyle \lim_{t\to+\infty}\underbrace{2t^2}_{\to +\infty}\cdot \underbrace{e^{\overbrace{-0{,}5t}^{\to -\infty}}}_{\to0^+}=0^+$
Da $t$ die Zeit in Wochen beschreibt und $N (t)$ die Zahl der Neuerkrankungen, bedeutet der Grenzwert, dass sich die Zahl der Neuerkrankungen nach vielen Wochen auf 0 reduziert und es somit keine Neuerkrankungen mehr gibt.
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Bestimme den Grenzwert nachvollziehbar, indem du den Term geeignet in Bausteine zerlegst.
Für die Interpretation im Sachkontext ist wichtig, für was t und N(t) steht.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im Bereich $0 \leq t \leq 10$ in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: $1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm}$ (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Die Achsen beschriftest du zum Beispiel mit $t$ und $N (t)$ .
Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite $0,5$ einstellen.
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Fertige eine Wertetabelle an.
Vergiss nicht, die Achsen der Situation entsprechend zu beschriften.

Gegeben ist die Funktion $\mathrm{G}: \mathrm{t} \mapsto\left(-4 \mathrm{t}^{2}-16 \mathrm{t}-32\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ mit der Definitionsmenge $D_{G}=\R_{0}^{+}$ . Zeigen Sie, dass die Funktion $G$ eine mögliche Stammfunktion von $N$ ist. Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle. (5 BE)

$\displaystyle G'\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-8t-16\right)\cdot e^{-0{,}5t}+\left(-4t^2-16t-32\right)\cdot\left(-0{,}5\right)\cdot e^{-0{,}5t}$
	$=$	$\displaystyle \left(-8t-16\right)\cdot e^{-0{,}5t}+\left(2t^2+8t+16\right)\cdot e^{-0{,}5t}$
	↓	Klammere $e^{-0{,}5t}$ aus.
	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}5t}\left(-8t-16+2t^2+8t+16\right)$
	$=$	$\displaystyle 2t^2e^{-0{,}5t}$
	$=$	$\displaystyle N\left(t\right)$

$\displaystyle \frac{1}{8}\int_0^8N\left(t\right)dt$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}\left[G\left(t\right)\right]_0^8$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}\left(G\left(8\right)-G\left(0\right)\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}\left(-\frac{416}{e^4}-\left(-32\right)\right)$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \frac{1}{8}\cdot24{,}38$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}048$

Ableiten

Nullstellen bestimmen

Monotonietabelle

Funktionswert berechnen

Bedeutung im Sachkontext

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Nachweis

Durchschnittliche Zahl der Neuerkrankungen

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