Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat

Setze $f(x)$ gleich null:

$0=x\cdot (8-5x)\cdot {(1-{\displaystyle \frac{x}{4}})}^2$

Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet:

Es ist $x=0$ oder $8-5x=0$ oder ${(1-{\displaystyle \frac{x}{4}})}^2=0$.

Also ist $x=0$ und/oder $x={\displaystyle \frac{8}{5}}=\mathrm{1,6}$ und/oder $x=4$.

Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten $6:00$ Uhr, $7:36$ Uhr und $10:00$ Uhr.

Die momentane Änderungsrate der Staulänge ist zu diesen Zeiten gleich null.

Begründung mit dem Funktionsterm

Die Funktion $f$ hat den Grad $4$, d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.

Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen.

$x=4$ ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen.

Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Maximale Änderungsrate

Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen der Funktion $f$.

Definiere auf dem GTR die Funktion $f(x)$.

Definiere die 1. Ableitung $t(x)={\displaystyle \frac{d}{dx}}(f(x))$.

Löse die Gleichung $t(x)=0$.

Dies muss man mehrfach durchführen und man erhält die Werte

$x_1=\mathrm{0,6202041},x_2=\mathrm{2,579796}$ und $x_3=4$.

Wo liegt die stärkste Zunahme?

Betrachte die Steigung links und rechts von $x=\mathrm{0,62}$(Vorzeichenwechselkriterium).

$f^{\prime }(0)=(5\cdot 0^2-16\cdot 0+8)\cdot (1-{\displaystyle \frac{0}{4}})=8$

$f^{\prime }(1)=(5\cdot 1^2-16\cdot 1+8)\cdot (1-{\displaystyle \frac{1}{4}})=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

Es findet also ein Vorzeichenwechsel von $+\to -$ statt.

Der gesuchte Hochpunkt liegt also bei $x=\mathrm{0,62}$.

Zu dem $x$-Wert $\mathrm{0,62}$ gehört die Uhrzeit $6:37$ Uhr.

Somit nimmt die Staulänge um $6:37$ Uhr am stärksten zu.

Wert der momentanen Änderungsrate zur Zeit der stärksten Zunahme

Berechne $f(\mathrm{0,62})=(8\cdot \mathrm{0,62}-5\cdot {\mathrm{0,62}}^2)\cdot {(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,62}}{4}})}^2\approx \mathrm{2,2}$

Der Wert der momentanen Änderungsrate beträgt etwa $\mathrm{2,2}$ $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Maximale Staulänge

Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion $f$ (die momentane Änderungsrate) die x-Achse schneidet. Hier wechselt $f$ vom Positiven ins Negative. Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist $x=\mathrm{1,6}$.

Um $7:36$ Uhr ist die Staulänge maximal.

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von $6:00$ Uhr bis $10:00$ Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

$s$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Somit gilt: $${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)dx=s(t)-s(0)}$$

Es gilt außerdem: $s^{\prime }(x)=f(x)$.

Weiterhin ist: $s(0)={\left({\displaystyle \frac{0}{4}}\right)}^2\cdot (4-0{)}^3=0\cdot 4^3=0$

Die Staulänge um $6:00$ Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.

Um $10:00$ Uhr ist $x=4$ und $s(4)={\left({\displaystyle \frac{4}{4}}\right)}^2\cdot (4-4{)}^3=1\cdot 0^3=0$, d.h. der Stau hat sich aufgelöst.

Somit kann die Staulänge durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Zunahme der Staulänge

Um $6:00$ Uhr ist $x=0$ und um $7:30$ Uhr ist $x=\mathrm{1,5}$.

Berechnet werden muss also das Integral:

Der Stau hat von $6:00$ Uhr bis $7:30$ Uhr um rund $\mathrm{2,2}\text{km}$ zugenommen.

Mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum

Berechne $${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,5}-0}}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}f(x)dx={\displaystyle \frac{s(\mathrm{1,5})-s(0)}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,197}}{\mathrm{1,5}}}\approx \mathrm{1,46}}$$

Die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund $\mathrm{1,5}{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}$.

Gleichsetzen der Funktionen

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $h_{k_1}=h_{k_2}$:

Diese Gleichung hat die Lösung $x_1=3$, denn $0^{k_1}=0^{k_2}$ für $k_1,k_2\in \{1;2;\mathrm{3...}\}$.

Der Funktionswert für $x=3$ ist $h_k(3)=(3-3{)}^k+1=0+1=1$

$\Rightarrow P_1(3|1)$

Für $x\ne 3$ folgt:

Es ist $k_1\ne k_2$:

Da $k_1\ne k_2$ kann der Exponent nicht null werden. Eine weitere Lösung findet man nur, wenn $x-3=1$ ist, da $1^{k_1-k_2}=1$ ist für $k_1,k_2\in \{1;2;\mathrm{3...}\}$ und $k_1=k_2+1$.

$x-3=1\Rightarrow x_2=4$

Gemeinsame Punkte

Der Funktionswert für $x=4$ ist $h_k(4)=(4-3{)}^k+1=1+1=2$

$\Rightarrow P_2(4|2)$

Es gibt also zwei Punkte $P_1(3|1)$ und $P_2(4|2)$, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Lösung

Die Funktion $h_5$ ist gegeben durch:

$h_5(x)=(x-3{)}^5+1$

Geradengleichung $g$

Die beiden Punkte $P(3|1)$ und $Q(4|2)$ liegen auf einer Geraden $g$.

$g(x)=m\cdot x+b$ mit $m={\displaystyle \frac{2-1}{4-3}}=1\Rightarrow g(x)=1\cdot x+b$

Setze den z. B. den Punkt $P(3|1)$ ein:

$1=1\cdot 3+b\Rightarrow b=-2$

Die Gerade hat die Gleichung $g(x)=x-2$.

Rotationsvolumen

Für die Volumenberechnung müssen die Schnittpunkte zwischen $h_5(x)$ und $g(x)$ bestimmt werden.

Setze $h_5(x)=g(x)$ und löse mit dem CAS die Gleichung $(x-3{)}^5+1=x-2$.

Es werden drei Lösungen angegeben: $x_1=2,x_2=3$ und $x_3=4$.

Somit kann der Rotationskörper berechnet werden.

Beachte jeweils, welche Funktion im Integrationsintervall größer ist.

Für $x\in ]2;3[$ ist $h_5(x)>g(x)$, denn $h_5(\mathrm{2,5})=(\mathrm{2,5}-3{)}^5+1\approx \mathrm{0,97}$ und $g(\mathrm{2,5})=\mathrm{2,5}-2=\mathrm{0,5}$.

Für $x\in ]3;4[$ ist $h_5(x)<g(x)$, denn $h_5(\mathrm{3,5})=(\mathrm{3,5}-3{)}^5+1\approx \mathrm{1,03}$ und

$g(\mathrm{3,5})=\mathrm{3,5}-2=\mathrm{1,5}$.

Allgemein gilt für den Rotationskörper: $$V=\pi {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx}$$

Somit erhält man:

Für das 1. Integral liefert der GTR-Rechner den gerundeten Wert $\mathrm{1,333}$ und für das 2. Integral erhält man $\mathrm{2,856}$.

Das Gesamtrotationsvolumen beträgt demnach:

$V_{ges}=\mathrm{1,333}+\mathrm{2,856}=\mathrm{4,189}\text{VE}\approx \mathrm{4,2}\text{VE}$

Wert von $k$⁣, für den der Graph von $h_k^{\prime }$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist

Berechne die erste Ableitung von $h_k$:

$h_k(x)=(x-3{)}^k+1$

$\Rightarrow h_k^{\prime }(x)=k\cdot (x-3{)}^{k-1}$

Wenn $h_k^{\prime }$ Tangente sein soll, dann muss der Graph von $h_k^{\prime }$ eine Gerade sein.

1. Fall

Die Gerade ist eine Parallele zur $x$-Achse $(m=0)$. Dann ist der Exponent von $h_k^{\prime }(x)$ gleich null. $\Rightarrow$$k-1=0$ bzw. $k=1$.

Die Funktion $h_1(x)=(x-3{)}^1+1=x-2$ ist ebenfalls eine Gerade mit der Steigung $m=1$.

$h_1^{\prime }(x)$ ist keine Tangente an den Graphen von $h_1$, da die Steigungen unterschiedlich sind.

2. Fall

Der Exponent von $h_k^{\prime }(x)$ ist gleich eins.

$\Rightarrow k-1=1$ bzw. $k=2$

Die Funktion $h_2(x)=(x-3{)}^2+1$ hat die Ableitungsfunktion $h_2^{\prime }(x)=2\cdot (x-3)=2x-6$ (Gerade mit der Steigung $2$).

Wenn der Graph von $h_2^{\prime }$ Tangente der Funktion $h_2(x)$ sein soll, müssen sich beide Graphen in einem Punkt schneiden und der Graph von $h_2$ müsste dort die Steigung $2$ haben.

Setze die Funktionsterme gleich:

$\Rightarrow (x-3{)}^2+1=2x-6$

Der GTR liefert als Lösung dieser Gleichung $x=4$.

Für $x=4$ erhält man den y-Wert $h_2^{\prime }(4)=2\cdot 4-6=2$.

Beide Graphen schneiden sich im Punkt $B(4|2)$ und die beiden Graphen haben für $x=4$ die gleiche Steigung $h_2^{\prime }(4)=2$.

$\Rightarrow h_2^{\prime }(x)$ ist Tangente an $h_2(x)$ im Punkt $B(4|2)$.

Da $k=2$ die einzige Lösung ist, gibt es also genau einen Wert von $k$⁣, für den der Graph von $h_k^{\prime }$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

Die Aussage ist also richtig.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.