Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.

$f(z)=-2\cdot z^4\cdot zf(z)=-2\backslash cdot\; z^4\backslash cdot\; z$

$\phantom{g(x)}=-2z^5\backslash phantom\{g(x)\}=-2\; z^5$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor $-2-2$ bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.

Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem $z^{4}z^4$ verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.

$f^{\mathrm{\prime }}(z)=-2\cdot 4\cdot z^3\cdot z+(-2)\cdot z^4\cdot 1f\text{'}(z)=-2\backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; z^3\; \backslash cdot\; z+(-2)\; \backslash cdot\; z^4\; \backslash cdot\; 1$

Fasse den Term weiter zusammen.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=-8z^4-2z^4\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=-8\; z^4-2\; z^4$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=-10z^4\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=-10z^4$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $f^{\mathrm{\prime }}(z)=-10z^{4}f\text{'}(z)=-10z^4$ ist.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3}=-16\cdot t^{-3}g\text{'}(t)=8\backslash cdot\; (-2)\backslash cdot\; t^\{-3\}\; =\; -16\; \backslash cdot\; t^\{-3\}$

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.

$g(t)=8\cdot t^{-2}={\displaystyle \frac{8}{t^2}}g(t)=8\backslash cdot\; t^\{-2\}=\backslash dfrac\{8\}\{t^2\}$

Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.

$g^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{t^2\cdot 0-2\cdot t\cdot 8}{t^4}}g\text{'}(t)=\backslash dfrac\{t^2\; \backslash cdot\; 0-2\; \backslash cdot\; t\; \backslash cdot\; 8\}\{t^4\}$

Vereinfache nun den Zähler noch weiter.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{-16t}{t^4}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\; \backslash dfrac\{-16\; t\}\{t^4\}$

Kürze den Zähler und Nenner mit $tt$.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle -\frac{16}{t^3}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\backslash displaystyle\; -\backslash frac\{16\}\{t^3\}$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $g^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{16}{t^3}=-16\cdot t^{-3}g\text{'}(t)=-\backslash frac\{16\}\{t^3\}\; =\; -16\; \backslash cdot\; t^\{-3\}$ ist.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit $x^{2}x^2$.

Vereinfache den Term noch weiter.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h^{\mathrm{\prime }}(u)=0h\text{'}(u)=0$

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.

$h^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{u^3\cdot 2\cdot u-u^2\cdot 3\cdot u^2}{u^6}}+0-{\displaystyle \frac{u\cdot 0-1\cdot 1}{u^2}}h\text{'}(u)=\backslash dfrac\{u^3\backslash cdot2\backslash cdot\; u-u^2\backslash cdot3\backslash cdot\; u^2\}\{u^6\}+0-\backslash dfrac\{u\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; \backslash cdot\; 1\}\{u^2\}$

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2u^4-3u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\; u^4-3\; u^4\}\{u^6\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}$

Fasse die Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}=-{\displaystyle \frac{u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=-\backslash dfrac\{u^4\}\{u^6\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}$

Kürze den ersten Bruch mit $u^{4}u^4$.

$\phantom{f^{\mathrm{\prime }}(x)}=-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}=0\backslash phantom\{f\text{'}(x)\}=-\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}+\backslash dfrac\{1\}\{u^2\}=0$

Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich $00$ (Nullfunktion).

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.

Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.

$k(x)={\displaystyle \frac{4x^2-1}{2x-1}}k(x)=\backslash displaystyle\backslash frac\{4x^2-1\}\{2x-1\}\backslash \backslash$

$\phantom{i(x)}\backslash phantom\{i(x)\}$$\phantom{f(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (2x+1)}{2x-1}}\backslash phantom\{f(x)\}=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot(2x+1)\}\{2x-1\}$

Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term $2x-1\{2x-1\}$ kürzen.

$\phantom{f(x)}=2x+1\backslash phantom\{f(x)\}=2x+1$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$k^{\mathrm{\prime }}(x)=2k\text{'}(x)=2$

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:

$k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}k\text{'}(x)=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; x-2\backslash cdot(4x^2-1)\}\{(2x-1)^2\}$

Multipliziere die $22$ mit der $44$.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 8x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{(2x-1)\backslash cdot\; 8\; x-2\backslash cdot(4x^2-1)\}\{(2x-1)^2\}$

Multipliziere die $8x8x$ und $22$ jeweils in die Klammern.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-(8x^2-2)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{16\; x^2-8\; x\backslash color\{green\}-(8x^2-2)\}\{(2x-1)^2\}$

Löse die Klammer auf.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-8x^2+2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{16\; x^2-8\; x-8x^2+2\}\{(2x-1)^2\}$

Fasse $16x^{2}16\; x^2$ und $-8x^2-8x^2$ weiter zusammen.

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{8x^2-8x+2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{8\; x^2-8\; x+2\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (4\; x^2-4\; x+1)\}\{(2x-1)^2\}$

Klammere im Zähler eine $22$ aus.

Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.

Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die $22$ vollständig kürzen.

$k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}k\text{'}(x)=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (4\; x^2-4\; x+1)\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (2x-1{)}^2}{(2x-1{)}^2}}\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; (2x-1)^2\}\{(2x-1)^2\}$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}=2\cdot 1\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=2\backslash cdot\; 1$

$\phantom{i^{\mathrm{\prime }}(x)}=2\backslash phantom\{i\text{'}(x)\}=2$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $k^{\mathrm{\prime }}(x)=2k\text{'}(x)=2$ ist.

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Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.

$l^{\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(v)}}\cdot \sin (v)+\tan (v)\cdot \cos (v)-\sin (v)l\text{'}(v)=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos^2(v)\}\backslash cdot\backslash sin(v)+\backslash tan(v)\backslash cdot\backslash cos(v)-\backslash sin(v)$

Multipliziere $\sin (v)\backslash sin(v)$ in den Zähler des Bruchs und forme $\tan (v)\backslash tan(v)$ um.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}+{\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \cos (v)-\sin (v)\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos^2(v)\}+\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}\backslash cdot\backslash cos(v)-\backslash sin(v)$

Kürze $\cos (v)\backslash cos(v)$ und schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ als $\tan (v)\backslash tan(v)$.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}+\sin (v)-\sin (v)\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash sin(v)-\backslash sin(v)$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Verrechne beide $\sin (v)\backslash sin(v)$.

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.

$l(v)=\tan (v)\cdot \sin (v)+\cos (v)l(v)=\backslash tan(v)\backslash cdot\; \backslash sin(v)+\backslash cos(v)$

Schreibe $\tan (v)\backslash tan(v)$ als ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \sin (v)+\cos (v)\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}\backslash cdot\; \backslash sin(v)+\backslash cos(v)$

Multipliziere $\sin (v)\backslash sin(v)$ in den Zähler des Bruchs.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+\cos (v)\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash cos(v)$

Bringe $\cos (v)\backslash cos(v)$ auf den selben Nenner.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}+\backslash dfrac\{\backslash cos^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Addiere beide Brüche.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)+{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin^2(v)+\backslash cos^2(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{1}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash cos(v)\}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

$l^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\cos (v)\cdot 0-(-\sin (v))\cdot 1}{{\cos }^2(v)}}l\text{'}(x)=\backslash dfrac\{\backslash cos(v)\backslash cdot0-(-\backslash sin(v))\backslash cdot1\}\{\backslash cos^2(v)\}$

Fasse den Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos^2(v)\}$

$\phantom{k^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}\backslash phantom\{k\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$

Schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\backslash dfrac\{\backslash sin(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ als $\tan (v)\backslash tan(v)$.

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $l^{\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}l\text{'}(v)=\backslash dfrac\{\backslash tan(v)\}\{\backslash cos(v)\}$ ist.

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