Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.

$f(z)=-2\cdot z^4\cdot z$

$\phantom{g(x)}=-2 z^5$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor $-2$ bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f'(z)&=-2\cdot 5 \cdot z^4\\\\&=-10 z^4\end{aligned}$

Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem $z^4$ verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.

$f'(z)=-2\cdot 4 \cdot z^3 \cdot z+(-2) \cdot z^4 \cdot 1$

Fasse den Term weiter zusammen.

$\phantom{g'(x)}=-8 z^4-2 z^4$

$\phantom{g'(x)}=-10z^4$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $f'(z)=-10z^4$ ist.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$g'(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3} = -16 \cdot t^{-3}$

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.

$g(t)=8\cdot t^{-2}=\dfrac{8}{t^2}$

Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.

$g'(t)=\dfrac{t^2 \cdot 0-2 \cdot t \cdot 8}{t^4}$

Vereinfache nun den Zähler noch weiter.

$\phantom{f'(x)}= \dfrac{-16 t}{t^4}$

Kürze den Zähler und Nenner mit $t$.

$\phantom{f'(x)}=\displaystyle -\frac{16}{t^3}$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $g'(t)=-\frac{16}{t^3} = -16 \cdot t^{-3}$ ist.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit $x^2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} h(u) &=&\frac{u^2}{u^3}+ 1 - \frac{1}{u}\\&=& \frac{1}{u}+ 1 - \frac{1}{u} \\ & =&1 \end{array}$

Vereinfache den Term noch weiter.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h'(u)=0$

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.

$h'(u)=\dfrac{u^3\cdot2\cdot u-u^2\cdot3\cdot u^2}{u^6}+0-\dfrac{u \cdot 0 - 1 \cdot 1}{u^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2 u^4-3 u^4}{u^6}+\dfrac{1}{u^2}$

Fasse die Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{f'(x)}=-\dfrac{u^4}{u^6}+\dfrac{1}{u^2}$

Kürze den ersten Bruch mit $u^4$.

$\phantom{f'(x)}=-\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{u^2}=0$

Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich $0$ (Nullfunktion).

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Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.

Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.

$k(x)=\displaystyle\frac{4x^2-1}{2x-1}\\$

$\phantom{i(x)}$$\phantom{f(x)}=\dfrac{(2x-1)\cdot(2x+1)}{2x-1}$

Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term ${2x-1}$ kürzen.

$\phantom{f(x)}=2x+1$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$k'(x)=2$

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:

$k'(x)=\dfrac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot(4x^2-1)}{(2x-1)^2}$

Multipliziere die $2$ mit der $4$.

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{(2x-1)\cdot 8 x-2\cdot(4x^2-1)}{(2x-1)^2}$

Multipliziere die $8x$ und $2$ jeweils in die Klammern.

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{16 x^2-8 x\color{green}-(8x^2-2)}{(2x-1)^2}$

Löse die Klammer auf.

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{16 x^2-8 x-8x^2+2}{(2x-1)^2}$

Fasse $16 x^2$ und $-8x^2$ weiter zusammen.

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{8 x^2-8 x+2}{(2x-1)^2}$

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{2\cdot (4 x^2-4 x+1)}{(2x-1)^2}$

Klammere im Zähler eine $2$ aus.

Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.

Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die $2$ vollständig kürzen.

$k'(x)=\dfrac{2\cdot (4 x^2-4 x+1)}{(2x-1)^2}$

$\phantom{i'(x)}=\dfrac{2\cdot (2x-1)^2}{(2x-1)^2}$

$\phantom{i'(x)}=2\cdot 1$

$\phantom{i'(x)}=2$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $k'(x)=2$ ist.

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Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.

$l'(v)=\dfrac{1}{\cos^2(v)}\cdot\sin(v)+\tan(v)\cdot\cos(v)-\sin(v)$

Multipliziere $\sin(v)$ in den Zähler des Bruchs und forme $\tan(v)$ um.

$\phantom{k'(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos^2(v)}+\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}\cdot\cos(v)-\sin(v)$

Kürze $\cos(v)$ und schreibe $\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$ als $\tan(v)$.

$\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}+\sin(v)-\sin(v)$

$\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}$

Verrechne beide $\sin(v)$.

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.

$l(v)=\tan(v)\cdot \sin(v)+\cos(v)$

Schreibe $\tan(v)$ als $\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$.

$\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}\cdot \sin(v)+\cos(v)$

Multipliziere $\sin(v)$ in den Zähler des Bruchs.

$\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)}{\cos(v)}+\cos(v)$

Bringe $\cos(v)$ auf den selben Nenner.

$\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)}{\cos(v)}+\dfrac{\cos^2(v)}{\cos(v)}$

Addiere beide Brüche.

$\phantom{k(x)}=\dfrac{\sin^2(v)+\cos^2(v)}{\cos(v)}$

$\phantom{k(x)}=\dfrac{1}{\cos(v)}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

$l'(x)=\dfrac{\cos(v)\cdot0-(-\sin(v))\cdot1}{\cos^2(v)}$

Fasse den Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{k'(x)}=\dfrac{\sin(v)}{\cos^2(v)}$

$\phantom{k'(x)}=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}$

Schreibe $\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$ als $\tan(v)$.

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $l'(v)=\dfrac{\tan(v)}{\cos(v)}$ ist.

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