Leite die folgenden Funktionen auf zwei verschiedene Weisen ab.
Variante 1
Nutze zunÀchst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor bleibt aufgrund der Faktorregel unverÀndert.
Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem verrechnen.
Variante 2
Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.
Fasse den Term weiter zusammen.
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden FĂ€llen ist.
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Tipp: Neben der Produktregel kannst du auch die Potenzgesetze anwenden, um dir das Ableiten zu vereinfachen.
Variante 1
Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
Variante 2
Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.
Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.
Vereinfache nun den ZĂ€hler noch weiter.
KĂŒrze den ZĂ€hler und Nenner mit .
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden FĂ€llen ist.
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Tipp: Die erste Möglichkeit ist, die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen zu verwenden. Andererseits kannst du aber auch die Potenzgesetze anwenden und anschlieĂend mit der Quotientenregel ableiten.
Vereinfache den Term noch weiter.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Variante 2
Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden fĂŒr sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.
Fasse die ZĂ€hler noch weiter zusammen.
KĂŒrze den ersten Bruch mit .
Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich (Nullfunktion).
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Tipp: Du kannst den Bruchterm erst kĂŒrzen und zusammenfassen und dann Ableiten, oder die Quotientenregel anwenden.
Variante 1
Im ZĂ€hler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.
Stelle den Term im ZÀhler zunÀchst in Klammerschreibweise dar.
Hier kannst du im ZĂ€hler und Nenner den Term kĂŒrzen.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Variante 2
Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den ZĂ€hler noch weiter zusammen:
Multipliziere die mit der .
Multipliziere die und jeweils in die Klammern.
Löse die Klammer auf.
Fasse und weiter zusammen.
Klammere im ZĂ€hler eine aus.
Im ZĂ€hler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.
Wenn du den Term im ZĂ€hler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und ZĂ€hler bis auf die vollstĂ€ndig kĂŒrzen.
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden FĂ€llen ist.
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Tipp: Du kannst die Aufgabe auf zwei Wegen lösen, entweder mit einer binomischen Formel oder der Quotientenregel.
Variante 1
Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.
Multipliziere in den ZĂ€hler des Bruchs und forme um.
KĂŒrze und schreibe als .
Verrechne beide .
Variante 2
Ăberlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunĂ€chst.
Schreibe als .
Multipliziere in den ZĂ€hler des Bruchs.
Bringe auf den selben Nenner.
Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.
Fasse den ZĂ€hler noch weiter zusammen.
Schreibe als .
Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden FĂ€llen ist.
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Tipp: Du kannst diese Funktion entweder mithilfe der Produktregel und Summenregel ableiten, oder sie zuerst mithilfe der Beziehungen zwischen Tangens, Sinus und Kosinus.
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