Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Zeichne zunächst den Graphen $f(x)f(x)$ in ein Koordinatensystem ein. Suche dir dazu die Asymptoten und zeichne dann die Hyperbeläste ein.

Die senkrechte Asymptote von $f(x)f(x)$ ist $x=0x=0$ und die waagerechte Asymptote $y=0y=0$.

Zeichne anschließend den Graphen $y=4y=4$ in die Zeichnung ein.

Lies die $xx$- und $yy$-Koordinate aus dem Bild ab.

In diesem Fall ist $y=4y=4$ und $x\approx \mathrm{0,25}x\backslash approx0\{,\}25$.

Der abgelesene Schnittpunkt ist also: $S(\mathrm{0,25}\mathrm{\mid }4)S(0\{,\}25|4)$

Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.

Die senkrechte Asymptote ist x=-3 und die waagerechte -1.

Zeichne nun den Graph der linearen Funktion g(x) in das Koordinatensystem ein.

Hier gibt es zwei Schnittpunkte! Der erste ist ungefähr bei $S_1(-\mathrm{2,75}\mathrm{\mid }\mathrm{2,75})S\_1(-2\{,\}75|2\{,\}75)$ und der zweite bei $S_2(\mathrm{0,75}\mathrm{\mid }-\mathrm{0,75})S\_2(0\{,\}75|-0\{,\}75)$.

Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.

Die senkrechte Asymptote liegt bei x=-4 und die waagerechte bei y=-2.

Zeichne anschließend eine senkrechte Gerade bei x=1 ein.

Der abgelesene Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(1\mathrm{\mid }-\mathrm{1,8})S(1|-1\{,\}8)$.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=2x=2$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $22$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=2x=2$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $ff$ ist $x=2x\; =2$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_f=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{2\}D\_f=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{2\backslash \}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=-3x=-3$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-3-3$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-3x=-3$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $gg$ ist $x=-3x\; =-3$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_g=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-3\}D\_g=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{-3\backslash \}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x={\displaystyle \frac{1}{3}}x=\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x={\displaystyle \frac{1}{3}}x=\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $hh$ ist $x={\displaystyle \frac{1}{3}}x\; =\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_h=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{{\displaystyle \frac{1}{3}}\}D\_h=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash \}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=-1x=-1$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-1-1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-1x=-1$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $kk$ ist $x=-1x\; =-1$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_k=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-1\}D\_k=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{-1\backslash \}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x={\displaystyle \frac{2}{5}}x=\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x={\displaystyle \frac{2}{5}}x=\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $ll$ ist $x={\displaystyle \frac{2}{5}}x\; =\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_l=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{\mathrm{0,4}\}D\_l=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0\{,\}4\backslash \}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\mathrm{\mid }5)T(0\backslash vert5)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0\mathrm{\mid }5)T(\backslash textcolor\{ff6600\}\{0\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{5\})$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(-\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }0)N(-2\{,\}5\backslash vert0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(-\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }0)N(\backslash textcolor\{ff6600\}\; \{-2\{,\}5\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}0)$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\mathrm{\mid }2)T(0\backslash vert2)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0\mathrm{\mid }2)T(\backslash textcolor\{ff6600\}\{0\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{2\})$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(1\mathrm{\mid }0)N(1\backslash vert0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(1\mathrm{\mid }0)N(\backslash textcolor\{ff6600\}1\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}0\; )$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\mathrm{\mid }-2)T(0\backslash vert-2)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0\mathrm{\mid }-2)T(\backslash textcolor\{ff6600\}0|\backslash textcolor\{009999\}\{-2\})$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(2\mathrm{\mid }0)N(2\backslash vert0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(2\mathrm{\mid }0)N(\backslash textcolor\{ff6600\}2\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}0)$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $TT$ mit der y-Achse ist $g(0)g(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\mathrm{\mid }6)T(0\backslash vert6)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0y=0$

Den x-Wert des Schnittpunktes $NN$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $g(x)=0g(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-3\mathrm{\mid }0)N(-3\backslash vert0)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $TT$ mit der y-Achse ist $h(0)h(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\mathrm{\mid }4)T(0\backslash vert4)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0y=0$

Den x-Wert des Schnittpunktes $NN$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h(x)=0h(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-2\mathrm{\mid }0)N(-2\backslash vert0)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $TT$ mit der y-Achse ist $k(0)k(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\mathrm{\mid }-3)T(0\backslash vert-3)$ geschnitten.

Den x-Wert des Schnittpunktes $NN$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $k(x)=0k(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-\mathrm{1,5}\mathrm{\mid }0)N(-1\{,\}5\backslash vert0)$ geschnitten.

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x+0}}+2={\displaystyle \frac{1}{x}}+2\backslash Rightarrow\; f\_1(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x+0\}+2=\backslash dfrac\{1\}\{x\}+2$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_1(x)f\_1(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$.

Antwort: Der Parameter $c=2c=2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_1(x)f\_1(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1a=1$ und $b=0b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}G\_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_1(x)f\_1(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.

Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_1(x)f\_1(x)$ hat nun die Gleichung $y=2y=2$. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_1(x)f\_1(x)$ ist weiterhin $x=0x=0$, da keine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ in x-Richtung erfolgt ($b=0b=0$).

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x+0}}-3={\displaystyle \frac{1}{x}}-3\backslash Rightarrow\; f\_2(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x+0\}-3=\backslash dfrac\{1\}\{x\}-3$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_2(x)f\_2(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$.

Antwort: Der Parameter $c=-3c=-3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_2(x)f\_2(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1a=1$ und $b=0b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}G\_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_2(x)f\_2(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_2(x)f\_2(x)$ hat nun die Gleichung $y=-3y=-3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_2(x)f\_2(x)$ ist weiterhin $x=0x=0$, da keine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ in x-Richtung erfolgt ($b=0b=0$).

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+0={\displaystyle \frac{1}{x+1}}\backslash Rightarrow\; f\_3(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x+1\}+0=\backslash dfrac\{1\}\{x+1\}$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_3(x)f\_3(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$.

Antwort: Der Parameter $b=1b=1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_3(x)f\_3(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1a=1$ und $c=0c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}G\_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_3(x)f\_3(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0x=0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_3(x)f\_3(x)$ hat nun die Gleichung $x=-1x=-1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_3(x)f\_3(x)$ ist weiterhin $y=0y=0$, da keine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ in y-Richtung erfolgt ($c=0c=0$).

Teilaufgabe 1

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow \backslash Rightarrow$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_4(x)f\_4(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}G\_f$der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$.

Antwort: Der Parameter $b=-2b=-2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_4(x)f\_4(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1a=1$ und $c=0c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}G\_f$.

Teilaufgabe 3

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$hat die waagerechte Asymptote $y=0y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_4(x)f\_4(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}G\_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0x=0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_4(x)f\_4(x)$ hat nun die Gleichung $x=2x=2$. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_4(x)f\_4(x)$ ist weiterhin $y=0y=0$, da keine Verschiebung von $G_{f}G\_f$ in y-Richtung erfolgt ($c=0c=0$).

Wenn du den Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $cc$, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c=0\backslash Rightarrow\; c=0$

Der Wert für den Parameter $bb$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.

Die Funktion $g_1(x)g\_1(x)$ hat die Form:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(0\mathrm{\mid }3)T(0\backslash vert3)$ in die Funktionsgleichung von $g_1(x)g\_1(x)$ ein und löse nach $bb$ auf.

Antwort: Der Graph der Funktion $g_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}g\_1(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x+\backslash dfrac\{1\}\{3\}\}$schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\mathrm{\mid }3)T(0\backslash vert3)$. Die x-Achse wird nicht geschnitten.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wenn du den Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $bb$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b=0\backslash Rightarrow\; b=0$

Der Wert für den Parameter $cc$, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.

Die Funktion $g_2(x)g\_2(x)$ hat die Form:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(-2\mathrm{\mid }0)N(-2\backslash vert0)$ in die Funktionsgleichung von $g_2(x)g\_2(x)$ ein und löse nach $cc$ auf.

Antwort: Der Graph der Funktion $g_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}g\_2(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}+\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\mathrm{\mid }0)N(-2\backslash vert0)$. Die y-Achse wird nicht geschnitten.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze $P_1(-2\mathrm{\mid }\mathrm{0,6})P\_1(\backslash textcolor\{ff6600\}\{-2\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{0\{,\}6\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{x-3\}+1$ ein:

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{1}P\_1$ liegt auf dem Graphen von $ff$.

Setze $P_2(-1\mathrm{\mid }\mathrm{0,4})P\_2(\backslash textcolor\{ff6600\}\{-1\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{0\{,\}4\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{x-3\}+1$ ein:

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{2}P\_2$ liegt nicht auf dem Graphen von $ff$.

Setze $P_3(1\mathrm{\mid }0)P\_3(\backslash textcolor\{ff6600\}\{1\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{0\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{x-3\}+1$ ein:

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}P\_3$ liegt auf dem Graphen von $ff$.

Setze $P_4(4\mathrm{\mid }3)P\_4(\backslash textcolor\{ff6600\}\{4\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{3\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{x-3\}+1$ ein:

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}P\_4$ liegt auf dem Graphen von $ff$.

Setze $P_5(\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }4)P\_5(\backslash textcolor\{ff6600\}\{3\{,\}5\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{4\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{x-3\}+1$ ein:

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}P\_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $ff$.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{1,3},41\{,\}3,4$

Setze $P_1(-5\mathrm{\mid }-\mathrm{1,1})P\_1(\backslash textcolor\{ff6600\}\{-5\}\backslash vert\backslash textcolor\{009999\}\{-1\{,\}1\})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2f(x)\; =\; \backslash dfrac\{-3\}\{x+1\}-2$ ein: