Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Zeichne zunächst den Graphen $f(x)$ in ein Koordinatensystem ein. Suche dir dazu die Asymptoten und zeichne dann die Hyperbeläste ein.

Die senkrechte Asymptote von $f(x)$ ist $x=0$ und die waagerechte Asymptote $y=0$.

Zeichne anschließend den Graphen $y=4$ in die Zeichnung ein.

Lies die $x$- und $y$-Koordinate aus dem Bild ab.

In diesem Fall ist $y=4$ und $x\approx \mathrm{0,25}$.

Der abgelesene Schnittpunkt ist also: $S(\mathrm{0,25}|4)$

Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.

Die senkrechte Asymptote ist x=-3 und die waagerechte -1.

Zeichne nun den Graph der linearen Funktion g(x) in das Koordinatensystem ein.

Hier gibt es zwei Schnittpunkte! Der erste ist ungefähr bei $S_1(-\mathrm{2,75}|\mathrm{2,75})$ und der zweite bei $S_2(\mathrm{0,75}|-\mathrm{0,75})$.

Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.

Die senkrechte Asymptote liegt bei x=-4 und die waagerechte bei y=-2.

Zeichne anschließend eine senkrechte Gerade bei x=1 ein.

Der abgelesene Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(1|-\mathrm{1,8})$.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=2$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=2$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $f$ ist $x=2$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_f=\mathbb{Q}\backslash \{2\}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=-3$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-3$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-3$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $g$ ist $x=-3$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_g=\mathbb{Q}\backslash \{-3\}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $h$ ist $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_h=\mathbb{Q}\backslash \{{\displaystyle \frac{1}{3}}\}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x=-1$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-1$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $k$ ist $x=-1$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_k=\mathbb{Q}\backslash \{-1\}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze den Nenner gleich Null:

Für $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ eine Definitonslücke vorliegt.

Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $l$ ist $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_l=\mathbb{Q}\backslash \{\mathrm{0,4}\}$

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0|5)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0|5)$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(-\mathrm{2,5}|0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(-\mathrm{2,5}|0)$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0|2)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0|2)$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(1|0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(1|0)$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0|-2)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(0|-2)$:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(2|0)$.

Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(2|0)$:

Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $g(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0|6)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $g(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-3|0)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0|4)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-2|0)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $k(0)$:

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0|-3)$ geschnitten.

Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $k(x)=0$.

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-\mathrm{1,5}|0)$ geschnitten.

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x+0}}+2={\displaystyle \frac{1}{x}}+2$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_1(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Antwort: Der Parameter $c=2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_1(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_1(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.

Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ hat nun die Gleichung $y=2$. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ ist weiterhin $x=0$, da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ($b=0$).

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x+0}}-3={\displaystyle \frac{1}{x}}-3$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_2(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Antwort: Der Parameter $c=-3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_2(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_2(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ hat nun die Gleichung $y=-3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ ist weiterhin $x=0$, da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ($b=0$).

Teilaufgabe 1:

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+0={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2:

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_3(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Antwort: Der Parameter $b=1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_3(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$.

Teilaufgabe 3:

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_3(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ hat nun die Gleichung $x=-1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ ist weiterhin $y=0$, da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ($c=0$).

Teilaufgabe 1

Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$

Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:

Teilaufgabe 2

Vergleiche den Graphen der Funktion $f_4(x)$, die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Antwort: Der Parameter $b=-2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_4(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$.

Teilaufgabe 3

Die Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_4(x)$ ergeben haben.

Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ hat nun die Gleichung $x=2$. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ ist weiterhin $y=0$, da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ($c=0$).

Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c=0$

Der Wert für den Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.

Die Funktion $g_1(x)$ hat die Form:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(0|3)$ in die Funktionsgleichung von $g_1(x)$ ein und löse nach $b$ auf.

$\begin{array}{rcll}3& =& {\displaystyle \frac{1}{0+b}}& \\ & & & \\ 3& =& {\displaystyle \frac{1}{b}}& |\cdot b\\ & & & \\ 3b& =& 1& |:3\\ & & & \\ b& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $g_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$schneidet die y-Achse im Punkt $T(0|3)$. Die x-Achse wird nicht geschnitten.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b=0$

Der Wert für den Parameter $c$, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.

Die Funktion $g_2(x)$ hat die Form:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(-2|0)$ in die Funktionsgleichung von $g_2(x)$ ein und löse nach $c$ auf.

$\begin{array}{rcll}0& =& {\displaystyle \frac{1}{-2}}+c& \\ & & & \\ 0& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}+c& |+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & & & \\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& =& c& \end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $g_2(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2|0)$. Die y-Achse wird nicht geschnitten.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze $P_1(-2|\mathrm{0,6})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,6}& =& {\displaystyle \frac{2}{-2-3}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& {\displaystyle \frac{2}{-5}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& -\mathrm{0,4}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,6}& =& \mathrm{0,6}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_1$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_2(-1|\mathrm{0,4})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,4}& =& {\displaystyle \frac{2}{-1-3}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& {\displaystyle \frac{2}{-4}}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& -\mathrm{0,5}+1& \\ & & & \\ \mathrm{0,4}& =& \mathrm{0,5}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_2$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(1|0)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}0& =& {\displaystyle \frac{2}{1-3}}+1& \\ & & & \\ 0& =& {\displaystyle \frac{2}{-2}}+1& \\ & & & \\ 0& =& -1+1& \\ & & & \\ 0& =& 0& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_4(4|3)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}3& =& {\displaystyle \frac{2}{4-3}}+1& \\ & & & \\ 3& =& {\displaystyle \frac{2}{1}}+1& \\ & & & \\ 3& =& 2+1& \\ & & & \\ 3& =& 3& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_5(\mathrm{3,5}|4)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-3}}+1$ ein:

$\begin{array}{rcll}4& =& {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{3,5}-3}}+1& \\ & & & \\ 4& =& {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}}}+1& \\ & & & \\ 4& =& 4+1& \\ & & & \\ 4& =& 5& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{1,3,4}$

Setze $P_1(-5|-\mathrm{1,1})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{1,1}& =& {\displaystyle \frac{-3}{-5+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& {\displaystyle \frac{-3}{-4}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& \mathrm{0,75}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{1,1}& =& -\mathrm{1,25}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_2(-4|-1)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-4+1}}-2& \\ & & & \\ -1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-3}}-2& \\ & & & \\ -1& =& 1-2& \\ & & & \\ -1& =& -1& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(-2|1)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-2+1}}-2& \\ & & & \\ 1& =& {\displaystyle \frac{-3}{-1}}-2& \\ & & & \\ 1& =& 3-2& \\ & & & \\ 1& =& 1& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_4(1|-\mathrm{3,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{3,5}& =& {\displaystyle \frac{-3}{1+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& {\displaystyle \frac{-3}{2}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& -\mathrm{1,5}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{3,5}& =& -\mathrm{3,5}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_5(4|-\mathrm{2,6})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x+1}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{2,6}& =& {\displaystyle \frac{-3}{4+1}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& {\displaystyle \frac{-3}{5}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& -\mathrm{0,6}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,6}& =& -\mathrm{2,6}& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_5$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $\mathrm{2,3,4,5}$

Setze $P_1(-4|-\mathrm{2,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-4+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-\mathrm{2,5}}}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& -\mathrm{0,6}-2& \\ & & & \\ -\mathrm{2,5}& =& -\mathrm{2,6}& \end{array}$

Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$.

Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.

Setze $P_2(-3|-3)$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein:

$\begin{array}{rcll}-3& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-3+\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -3& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{-\mathrm{1,5}}}-2& \\ & & & \\ -3& =& -1-2& \\ & & & \\ -3& =& -3& ✓\end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Setze $P_3(-2|-\mathrm{5,5})$ in $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{x+\mathrm{1,5}}}-2$ ein: