Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

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Bestimme die Schnittpunkte der angegebenen Graphen durch eine geeignete Zeichnung!
1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ und $y=4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst den Graphen $f(x)$ in ein Koordinatensystem ein. Suche dir dazu die Asymptoten und zeichne dann die Hyperbeläste ein.
  Die senkrechte Asymptote von $f(x)$ ist $x=0$ und die waagerechte Asymptote $y=0$ .
  Zeichne anschließend den Graphen $y=4$ in die Zeichnung ein.
  Lies die $x$ - und $y$ -Koordinate aus dem Bild ab.
  In diesem Fall ist $y=4$ und $x\approx0{,}25$ .
  Der abgelesene Schnittpunkt ist also: $S(0{,}25|4)$
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann $x$ - und $y$ -Koordinate des Schnittpunkts ab!
2. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+3}-1$ und $g(x)=-x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
  Die senkrechte Asymptote ist x=-3 und die waagerechte -1.
  Zeichne nun den Graph der linearen Funktion g(x) in das Koordinatensystem ein.
  Hier gibt es zwei Schnittpunkte! Der erste ist ungefähr bei $S_1(-2{,}75|2{,}75)$ und der zweite bei $S_2(0{,}75|-0{,}75)$ .
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!
3. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2$ und $x=1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Zeichne zunächst f(x) indem du die Asymptoten bestimmst und die Hyperbeläste einzeichnest.
  Die senkrechte Asymptote liegt bei x=-4 und die waagerechte bei y=-2.
  Zeichne anschließend eine senkrechte Gerade bei x=1 ein.
  Der abgelesene Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(1|-1{,}8)$ .
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  Zeichne ein Koordinatensystem und anschließend beide Graphen. Lies dann x- und y-Koordinate des Schnittpunkts ab!
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac3x$ und bestimme damit die Graphen von $g(x)=-\frac3x-2$ , $h(x)=\frac3{x+1{,}5}$ und $k(x)=\frac{1{,}5}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1$
$g(x)=-\frac3x-2$
$g(x)=-\frac3x-2$ $\rightarrow$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h(x)=\dfrac {3}{x+1{,}5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k(x)=\frac{1{,}5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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Bestimme bei den gegebenen Funktionen die Definitionslücke und gib den maximalen Definitionsbereich an. Deine Grundmenge sind die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ .
1. $f(x)=\frac{3}{x-2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Setze den Nenner gleich Null:
  Für $x=2$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=2$ eine Definitonslücke vorliegt.
  Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $f$ ist $x =2$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_f=\mathbb{Q}\backslash\{2\}$
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
2. $g(x)=\dfrac{5}{x+3}-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Setze den Nenner gleich Null:
  Für $x=-3$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-3$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-3$ eine Definitonslücke vorliegt.
  Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $g$ ist $x =-3$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_g=\mathbb{Q}\backslash\{-3\}$
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
3. $h(x)=-\dfrac{3}{x-\dfrac{1}{3}}-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Setze den Nenner gleich Null:
  Für $x=\dfrac{1}{3}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\dfrac{1}{3}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=\dfrac{1}{3}$ eine Definitonslücke vorliegt.
  Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $h$ ist $x =\dfrac{1}{3}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_h=\mathbb{Q}\backslash\{\dfrac{1}{3}\}$
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
4. $k(x)=\dfrac{1}{2x+2}-3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Setze den Nenner gleich Null:
  Für $x=-1$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $-1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-1$ eine Definitonslücke vorliegt.
  Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $k$ ist $x =-1$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_k=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}$
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
5. $l(x)=\dfrac{1{,}5}{5x-2}+3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Setze den Nenner gleich Null:
  Für $x=\dfrac{2}{5}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\dfrac{2}{5}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=\dfrac{2}{5}$ eine Definitonslücke vorliegt.
  Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $l$ ist $x =\dfrac{2}{5}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_l=\mathbb{Q}\backslash\{0{,}4\}$
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
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Lies aus den abgebildeten Graphen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Überprüfe rechnerisch deine Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
1. $f(x)=\dfrac{2}{x+2}+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\vert5)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(\textcolor{ff6600}{0}\vert\textcolor{009999}{5})$ :
  Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
  Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(-2{,}5\vert0)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(\textcolor{ff6600} {-2{,}5}\vert\textcolor{009999}0)$ :
  Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
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  Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .
2. $g(x)=\dfrac{4}{x-2}+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\vert2)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(\textcolor{ff6600}{0}\vert\textcolor{009999}{2})$ :
  Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
  Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(1\vert0)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(\textcolor{ff6600}1\vert\textcolor{009999}0 )$ :
  Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
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  Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .
3. $h(x)=-\dfrac{3}{x-3}-3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T(0\vert-2)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T(\textcolor{ff6600}0|\textcolor{009999}{-2})$ :
  Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
  Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N(2\vert0)$ .
  Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N(\textcolor{ff6600}2\vert\textcolor{009999}0)$ :
  Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
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  Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .
7
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionen mit den Koordinatenachsen.
1. $g(x)=\dfrac{2{,}5}{x+2{,}5}+5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $g(0)$ :
  Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\vert6)$ geschnitten.
  Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
  Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $g(x)=0$ .
  Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-3\vert0)$ geschnitten.
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $g(x)=0$ .
2. $h(x)=\dfrac{2}{x+1}+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h(0)$ :
  Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\vert4)$ geschnitten.
  Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
  Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h(x)=0$ .
  Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-2\vert0)$ geschnitten.
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $h(x)=0$ .
3. $k(x)=\dfrac{2}{x+2}-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
  Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $k(0)$ :
  Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\vert-3)$ geschnitten.
  Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $k(x)=0$ .
  Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-1{,}5\vert0)$ geschnitten.
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $k(x)=0$ .
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
1. Funktion $f_1(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_1(x)=\dfrac{1}{x+0}+2=\dfrac{1}{x}+2$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_1(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $c=2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_1(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_1(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
  Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ hat nun die Gleichung $y=2$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ ist weiterhin $x=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ( $b=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=2$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ .
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2. Funktion $f_2(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=-3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_2(x)=\dfrac{1}{x+0}-3=\dfrac{1}{x}-3$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_2(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $c=-3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_2(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_2(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ hat nun die Gleichung $y=-3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ ist weiterhin $x=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ( $b=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=-3$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ .
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3. Funktion $f_3(x)$ : $a=1$ , $b=1$ und $c=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_3(x)=\dfrac{1}{x+1}+0=\dfrac{1}{x+1}$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_3(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $b=1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_3(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_3(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ hat nun die Gleichung $x=-1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ ist weiterhin $y=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ( $c=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=-1$ .
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4. Funktion $f_4(x)$ : $a=1$ , $b=-2$ und $c=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_4(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $b=-2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_4(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_4(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ hat nun die Gleichung $x=2$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ ist weiterhin $y=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ( $c=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=2$ .
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9
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Verschiebe den Graphen der Funktion $g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3{,}5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h(x)$ .
1) Gib die Funktionsgleichung von $h(x)$ an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h(x)$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Der Graph der Funktion $g(x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ um $1$ Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g(x)$ um weitere $4$ Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion $h(x)$ muss also nun lauten: $x+1+4=x+5$ .
Der Graph der Funktion $g(x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ um $2{,}5$ Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g(x)$ um $3{,}5$ Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter $c$ lautet nun: $c=2{,}5-3{,}5=-1$ .
Antwort: Die Funktionsgleichung $h(x)$ lautet somit: $h(x)=\dfrac{2}{x+5}-1$
Teilaufgabe 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h(0)$ :
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\vert-0{,}6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h(x)=0$ .
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-3\vert0)$ geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der türkisfarbige Graph $G_g$ gehört zur Funktion $g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5$
Der lilafarbige Graph $G_h$ ist der um $4$ Einheiten nach links und um $3{,}5$ Einheiten nach unten verschobene Graph $G_g$ .
Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen $G_h$ die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $T(0\vert-0{,}6)$ und $N(-3\vert0)$ .
Teilaufgabe 1
Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter $c$ bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?
Teilaufgabe 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $h(0)$ . Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung $h(x)=0$ .
10
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g(x)=\dfrac{1}{x+b}+c$
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
1. Der Graph der Funktion $g_1(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\vert3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_1(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c=0$
  Der Wert für den Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
  Die Funktion $g_1(x)$ hat die Form:
  Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(0\vert3)$ in die Funktionsgleichung von $g_1(x)$ ein und löse nach $b$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}3&=&\dfrac{1}{0+b}&\\\\3&=&\dfrac{1}{b}&\vert\cdot b\\\\3b&=&1&\vert:3\\\\b&=&\dfrac{1}{3}&\end{array}$
  Antwort: Der Graph der Funktion $g_1(x)=\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{3}}$ schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\vert3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten.
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Überlege dir, wie du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
2. Der Graph der Funktion $g_2(x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\vert0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_2(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b=0$
  Der Wert für den Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
  Die Funktion $g_2(x)$ hat die Form:
  Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(-2\vert0)$ in die Funktionsgleichung von $g_2(x)$ ein und löse nach $c$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&\dfrac{1}{-2}+c&\\\\0&=&-\dfrac{1}{2}+c&\vert+\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2}&=&c&\end{array}$
  Antwort: Der Graph der Funktion $g_2(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\vert0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten.
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Überlege dir, wie du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
11
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_1$ , $P_2$ und $P_4$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_3$ und $P_5$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
1. $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$
  $P_1(-2\vert0{,}6);P_2(-1\vert0{,}4);P_3(1\vert0);P_4(4\vert3);P_5(3{,}5\vert4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{0{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}6}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-2}-3}+1&\\\\0{,}6&=&\dfrac{2}{-5}+1&\\\\0{,}6&=&-0{,}4+1&\\\\0{,}6&=&0{,}6&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_1$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{0{,}4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-1}-3}+1&\\\\0{,}4&=&\dfrac{2}{-4}+1&\\\\0{,}4&=&-0{,}5+1&\\\\0{,}4&=&0{,}5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_2$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{0})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{1}-3}+1&\\\\0&=&\dfrac{2}{-2}+1&\\\\0&=&-1+1&\\\\0&=&0&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{3})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{3}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{4}-3}+1&\\\\3&=&\dfrac{2}{1}+1&\\\\3&=&2+1&\\\\3&=&3&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{3{,}5}\vert\textcolor{009999}{4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{3{,}5}-3}+1&\\\\4&=&\dfrac{2}{0{,}5}+1&\\\\4&=&4+1&\\\\4&=&5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $1{,}3,4$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
2. $f(x)=\dfrac{-3}{x+1}-2$
  $P_1(-5\vert-1{,}1);P_2(-4\vert-1);P_3(-2\vert1);P_4(1\vert-3{,}5);P_5(4\vert-2{,}6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-5}\vert\textcolor{009999}{-1{,}1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-5}+1}-2&\\\\-1{,}1&=&\dfrac{-3}{-4}-2&\\\\-1{,}1&=&0{,}75-2&\\\\-1{,}1&=&-1{,}25&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-4}+1}-2&\\\\-1&=&\dfrac{-3}{-3}-2&\\\\-1&=&1-2&\\\\-1&=&-1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-2}+1}-2&\\\\1&=&\dfrac{-3}{-1}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-3{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3{,}5}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{1}+1}-2&\\\\-3{,}5&=&\dfrac{-3}{2}-2&\\\\-3{,}5&=&-1{,}5-2&\\\\-3{,}5&=&-3{,}5&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}6}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{4}+1}-2&\\\\-2{,}6&=&\dfrac{-3}{5}-2&\\\\-2{,}6&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}6&=&-2{,}6&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_5$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2{,}3,4{,}5$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
3. $f(x)=\dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$
  $P_1(-4\vert-2{,}5);P_2(-3\vert-3);P_3(-2\vert-5{,}5);P_4(-1\vert1);P_5(1\vert-1{,}3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-4}+1{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-2{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}5&=&-2{,}6&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-3}\vert\textcolor{009999}{-3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-3}+1{,}5}-2&\\\\-3&=&\dfrac{1{,}5}{-1{,}5}-2&\\\\-3&=&-1-2&\\\\-3&=&-3&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{-5{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-5{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-2}+1{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-0{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&-3-2&\\\\-5{,}5&=&-5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_3$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-1}+1{,}5}-2&\\\\1&=&\dfrac{1{,}5}{0{,}5}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-1{,}3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{1}+1{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&\dfrac{1{,}5}{2{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&0{,}6-2&\\\\-1{,}3&=&-1{,}4&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil $f(1) = -1{,}4 < -1{,}3$ gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2{,}4$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{3}{2+x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2-x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3\cdot(2-x)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(2+x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 2+x$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle : 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

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Setze den Nenner gleich Null:

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Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

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Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

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Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

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Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

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Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

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Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

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x-Wert mit $f(x)=-3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$