Aufgaben zu funktionalen Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen (insbes. bei Flächenberechnungen)

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Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Koordinatenachsen und der Gerade $g:y=\frac23x+5$ eingeschlossen wird.
Schreibe dein Ergebnis ohne Flächeneinheiten in das Antwortfeld.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche
Dreiecksfläche
Da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als Grundlinie und Höhe der Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche benutzt werden.
Höhe ermittlen
g: $y=\frac23x+5$
Der y-Achsenabschnitt ist als t der Geradengleichung gegeben.
Die Gerade schneidet die y-Achse also in (0|5).
Mit der x-Achse als Grundline ergibt sich der Abstand des Punktes zum Ursprung als Höhe.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Höhe h = $\sqrt{5^2 - 0^2} = 5$
Grundlinie berechnen
Für die Angabe der Grundlinie muss der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet werden. Setze y dafür 0.
$0=\frac23x+5$
Nach x auflösen. $\left|{-5}\right.$
$\frac23x=-5$
$\left|{:\frac23}\right.$
$x=-\frac{15}2=-7{,}5$
Die Gerade schneidet die x-Achse also in (-7,5|0)
Der Abstand dieses Punktes zum Ursprung ist also die Länge der Grundlinie.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Grundlinie g ist $\sqrt{(-7{,}5)^2 +0^2}=7{,}5$ .
Fläche berechnen
Setze Grundlinie und Höhe in die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;A=\frac{5\cdot7{,}5}2=18{,}75\mathrm{FE}$
FE steht für "Flächeneinheiten".
Skizze zur Veranschaulichung
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Gerade durch $\mathrm P\left(2{,}5 |0\right)$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Dreieck
Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig. Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).
Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: $Q_1 (0|2{,}5)$ und $Q_2 (0| -2{,}5)$ . Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.
Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für $Q_1$ mit der Steigung $-1$ und eines für $Q_2$ mit der Steigung $1$ .
Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen $m_1=-1$ und $m_2=1$ auf.
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Ein Auto besitzt einen Treibstoffvorrat von 56 Liter Benzin. Auf 100km verbraucht es 7,5 Liter.
1. Erstelle eine Tabelle für den Verbrauch in Litern. Wähle eine Strecke von 0km bis 600km (100km Abstand)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Strecke
  0 km
  100 km
  200 km
  300 km
  400 km
  500 km
  600 km
  Verbrauch
  0 l
  7,5 l
  15 l
  22,5 l
  30 l
  37,5 l
  45 l
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2. Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Du kannst die Funktion in dein Koordinatensystem einzeichnen, indem du die Punkte aus der Tabelle aus Teilaufgabe $a)$ einträgst und diese anschließend mit einer Geraden verbindest.
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3. Nach wie viel km wäre der Benzinvorrat aufgebraucht? Bei einem Benzinvorrat von 5L soll der Fahrer tanken gehen. Nach wie viel km muss es erfolgen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Zuerst solltest du den Benzinverbrauch als Lineare Funktion darstellen. Diese hat die Form: $f(x)\ =\ mx\ +\ b$ und $x$ steht für die gefahrene Strecke, während $f(x)$ das verbrauchte Benzin angibt. Die Werte von $m$ und $b$ kannst du nun bestimmen, indem du zwei Punkte aus der Wertetabelle einsetzt.
  Die lineare Funktion, die den Benzinverbrauch für eine gewisse Anzahl gefahrener Kilometer angibt ist :
  Nach wie vielen Kilometern ist der Tank leer?
  In den Tank passen $56\,\text{Liter}$ Benzin, diesen Wert kannst du nun als $f(x)$ einsetzen und den zugehörigen $x$ -Wert berechnen:
  Der Tank ist also nach ungefähr $746\ \text{km}$ leer.
  Nach wie vielen Kilometern muss der Fahrer tanken?
  Der Fahrer soll tanken, wenn noch $5 \,\text{Liter}$ Benzin im Tank sind. Da am Anfang $56\,\text{Liter}$ im Tank sind werden also $51\,\text{Liter}$ verbraucht. Das kannst du so in die Funktion einsetzen wie gerade:
  Der Fahrer muss also nach $680 \,\text{km}$ zum tanken.
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Herr Breuer hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen:
Monatliche Grundgebühr 20€, Telefonkosten pro Minute 0,35€.
1. Wie hoch ist seine Monatsrechnung, wenn er 40, 80 oder 120 Minuten telefoniert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Grundgebühr: 20€
  Kosten pro Minute: 0,35€
  Monatsrechnung ist Grundgebühr plus Kosten für telefonierte Minuten.
  Monatsrechnung bei 40 Minuten
  Herr Breuer hat 40 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 40 Minuten.
  $40\cdot 0{,}35€=14€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+14€=34€$
  Herr Breuer zahlt 34€ wenn er 40 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 80 Minuten
  Herr Breuer hat 80 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 80 Minuten.
  $80\cdot 0{,}35€=28€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+28€=48€$
  Herr Breuer zahlt 48€ wenn er 80 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 120 Minuten
  Herr Breuer hat 120 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 120 Minuten.
  $120\cdot 0{,}35€=42€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+42€=62€$
  Herr Breuer zahlt 62€ wenn er 120 Minuten telefoniert.
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2. Erstelle einen Term für die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer in Minuten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Monatliche Kosten = Grundgebühr + Kosten für telefonierte Minuten.
  Sei $x$ Anzahl der telefonierten Minuten.
  Berechne damit die Kosten.
  Kosten = $20€+0{,}35€\cdot x$
  Drücke das als lineare Funktion aus.
  $f(x)=0{,}35\cdot x+20$
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3. Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $f(x)=0{,}35x+20$
  Diese Funktion hat den y-Achsenabschnitt $20$ , schneidet die $y$ -Achse also in $(0|20)$ . Ihre Steigung ist $0{,}35$ . Zeichne also einen Punkt bei z.B. $(10\;|\;20+10\cdot0{,}35)=(10\,|\,23{,}5)$ . Verbinde diese Punkte zur gesuchten Geraden.
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Strecke	0 km	100 km	200 km	300 km	400 km	500 km	600 km
Verbrauch	0 l	7,5 l	15 l	22,5 l	30 l	37,5 l	45 l

Ein Lieferwagen, der mit 1,2 t beladen ist, transportiert x Stücke zu je $25\;kg$ und y Kisten zu je $150\;kg$ .

Stelle den Zusammenhang zwischen x und y in einem Diagramm dar.
Welche Punkte $\left(x;\;y\right)$ sind möglich, wenn der Lieferwagen maximal 1,2 t beladen ist?

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Zeitschrift, die zum Preis von $2{,}20$  € zu kaufen ist, hat eine Auflage von $120\, 000$ Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um $0{,}20$  € pro Zeitschrift um $5000$ Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung von $0{,}20$  € verliert man $5000$ Käufer.
1. Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Anstieg auf 140 000 Exemplare
  Bestimme, um wieviel sich die Auflage verändert hat.
  $\Delta N=140\,000-120\;000=20\,000$
  Bestimme die Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte, dass dabei die bekannte Änderung (N) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta p}{\Delta N}=\frac{-0{,}2}{5000}=-0{,}00004$
  Bestimme daraus die Preisänderung.
  $\Delta p = a\cdot \Delta N=-0{,}00004\cdot 20\, 000=-0{,}8$
  Berechne damit den neuen Preis.
  $p_{neu}=p_{alt}+\Delta p=2{,}2-0{,}8=1{,}4$
  Bei einer Auflage von 140 000 beträgt der Preis also 1,40€.
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2. Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50€ senkt?
  Stück
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Der Preis ist auf 1,50€ gefallen.
  Bestimme die Preisänderung.
  $\Delta p=p_{neu}-p_{alt}=1{,}5-2{,}2=-0{,}7$
  Bestimme Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte dabei, dass die bekannte Änderung (p) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta N}{\Delta p}=\frac{-5000}{0{,}2}=-25\,000$
  Bestimme damit die Änderung der Auflage.
  $\Delta N=a\cdot \Delta p=(-25\,000) \cdot (-0{,}7)=17\,500$
  Bestimme die neue Auflage.
  $N_{neu}=N_{alt}+\Delta N=120\,000+17\,500=137\,500$
  Bei einem Preis von 1,50€ ist die Auflage also 137 500 Stück.
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7
“Es ist eine ganz langsam verlaufende völlig undramatische Trennungsgeschichte, Schritt für Schritt: Zwei Zentimeter pro Jahr entfernt sich die Eurasische Kontinentalplatte von der Nordamerikanischen Platte. Würde man heute dem Kurs von Kolumbus folgen, der von Andalusien in die Neue Welt fuhr, müsste man circa ___ Meter mehr an Strecke überwinden. Das bringt einen Kapitän von heute auf der mehr als 6.000 Kilometer langen Fahrt zwischen Europa und Amerika wohl kaum aus der Ruhe.”
1. Um wie viele Meter hat sich die Strecke verlängert?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Tipp: Kolumbus entdeckte 1492 den Kontinent Amerika.
  Diese Lösung bezieht sich auf das Erstellungsjahr 2018 und muss gegebenenfalls angepasst werden. Zunächst berechnen wir den Zeitraum, der seit der Entdeckung von Amerika im Jahr 1492 vergangen ist:
  $2018-1492=526$
  Berechnung der Strecke in Zentimeter
  $2\,\text{cm}\cdot526=1052\,\text{cm}$
  Umrechnen von $\mathrm{cm}$ in $\mathrm m$
  $1052\,\text{cm}\cdot10^{-2}=10{,}52\,\text{m}$
  Die Strecke hat sich bereits um $10{,}52\,\mathrm m$ verlängert.
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2. In wie vielen Jahren kommen weitere 5 Meter Distanz zwischen den Kontinentalplatten hinzu?
  Jahren
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Umrechnen von $\mathrm m$ in $\mathrm{cm}$ .
  $5{,}00\,\mathrm m\cdot10^2=500\,\mathrm{cm}$
  Berechnung der Jahre.
  $500\,\mathrm{cm}/2\,\mathrm{cm}=250$
  In 250 Jahren kommen weitere $5{,}0\ m$ Distanz zwischen den Kontinentalplatten hinzu.
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8
Ein Patient erhält eine Infusion. Eine volle Flasche enthält dabei 40ml Infussionsflüssigkeit. Die Tropfgeschwindigkeit wird so eingestellt, dass 3ml der Flüssigkeit pro Minute durchlaufen. Sobald weniger als 5ml in der Flasche sind, muss diese ausgetauscht werden. Nach welcher Zeit ist dies notwendig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Lineare Gleichungen
Am Anfang musst du die Infusionsflüssigkeit ermitteln, welche maximal aus der Flasche heraustropfen darf.
$40\text{ml}-5\text{ml}=35\text{ml}$
Du musst von den $40$ ml aus der Infusionsflasche $5$ ml abziehen, da diese beim Wechsel der Flasche noch enthalten sein müssen.
$\dfrac{35\text{ml}}{3\text{ml}}=\dfrac{35}{3}$
Jetzt kannst du die ml kürzen.
$\dfrac{35}{3}=11\dfrac{2}{3}$
Den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln.
$\dfrac{2}{3}\cdot60\text{sec}=40\text{sec}$
Hier musst du die $\dfrac{2}{3}$ in Sekunden umwandeln.
$11\text{min}+40\text{sec}=11\text{min}\,40\text{sec}$
Zum Schluss werden nur die Minuten mit den Sekunden zusammengefasst.
Die Infusionsflasche muss spätestens nach $11$ Minuten und $40$ Sekunden ausgewechselt werden.
9
Jonathan und Hannes steigen auf die Zugspitze. Jonathan beginnt seine Wanderung auf Meereshöhe ( $0\;\text{m}$ ), Hannes startet auf dem Zugspitzplatt ( $2500\;\text{m}$ ). Beide steigen mit $500\;\text{m}$ pro $h$ auf. Der Funktionsterm, mit dem Jonathans Aufstieg beschrieben wird, ist $j(x) = 500x$ Entscheide, welcher Funktionsterm zum Aufstieg von Hannes passt!
$h(x) = 500x + 2500$
$h(x)=2500x$
$h(x)=500x-2500$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Aufstieg von Hannes
Um den richtigen Funktionsterm auszuwählen, musst du die Steigung und den $y$ -Achsenabschnitt mit den Werten aus der Angabe vergleichen.
Da Jonathan und Hannes mit derselben Geschwindigkeit aufsteigen, muss der Funktionsterm von Hannes Aufstieg die gleiche Steigung wie der Funktionsterm von Jonathans Aufstieg haben. Jonathans Aufstieg wird mit dem Funktionsterm $j(x)=500x$ beschrieben.
Daraus folgt, dass die Steigung $500$ ist. Der mögliche Term $h(x)=2500x$ für Hannes Aufstieg scheidet dadurch schon mal aus. Die Steigung stimmt nicht!
Jetzt bleiben noch zwei Funktionsterme mit der richtigen Steigung, aber unterschiedlichen $y$ -Achsenabschnitten. Welcher der Terme ist richtig? Vergleiche nun die beiden $y$ -Achsenabschnitte.
Diese sind $+2500$ und $-2500$ . Du kannst schnell erkennen, dass $+2500$ richtig sein muss, da Hannes über Jonathan startet und somit am Anfang ( $x=0$ ) bei $h(0)=2500$ sein muss und nicht bei $h(0)=-2500$ .
Du erhältst also für die Steigung einen Wert von $500$ und für den $y$ -Achsenabschnitt einen Wert von $+2500$ .
Der richtige Funktionsterm für Hannes Aufstieg ist $h(x)=500x+2500$ .
10
Max und Jana machen einen Ausflug in den Wildpark "Tierisches Glück" in Tierhausen. Der Eintritt in den Wildpark kostet dabei $5€$ . Im Wildpark hat man an jedem Gehege zusätzlich die Möglichkeit für $1€$ ein spezielles Tierfutter zu kaufen, um damit die Tiere zu füttern.
(a) Bestimme wie viel Max und Jana für ihren Ausflug insgesamt ausgeben müssen, wenn sie im Wildpark $5$ , $10$ bzw. $20$ Tierfutter kaufen wollen. Erstelle aus diesen Werte eine Wertetabelle.
(b) Erstelle einen Term für die Kosten des Ausflugs in Abhängigkeit der Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen.
(c) Stelle den Zusammenhang aus Teilaufgabe (b) graphisch dar.
(d) Max und Jana haben zu Beginn ihres Ausflugs $14€$ dabei. Lese aus dem Graphen ab, wie viel Tierfutter die beiden damit kaufen können.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
(a) Wenn Max und Jana $5$ Tierfutter kaufen, dann müssen sie neben den $5€$ Eintritt noch fünfmal $1€$ für das Tierfutter bezahlen. Insgesamt bezahlen die beiden also:
Bei $10$ bzw. $20$ Tierfutter, müssen die beiden dagegen
bzw.
bezahlen. Als Wertetabelle ergibt sich:
Anzahl der Tierfutter
5
10
20
Gesamtkosten
10€
15€
25€
(b) Ist $x$ die Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen, dann müssen die beiden zusammen gerechnet $x\cdot1€$ für das Futter bezahlen. Mit dem Eintritt von $5€$ ergibt sich für die Gesamtkosten des Ausflugs:
(c)
(d) Um den gesuchten Wert abzulesen, gehst du waagrecht von $y$ -Achse beim Wert $14€$ los bis du an dem Funktionsgraphen angekommen bist.
Von diesem Punkt auf dem Graphen gehst du anschließend senkrecht nach unten, bis du auf der $x$ -Achse angelangt bist. Du landest in diesem Fall bei dem $x$ -Wert $9$ .
Dieser $x$ -Wert $9$ entspricht dann der gesuchten Anzahl. Max und Jana können also $9$ Tierfutter von den $14€$ kaufen
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Die NASA ist eine Luft- und Raumfahrt Behörde, die Raketen in das Weltall befördert. Dafür muss zunächst (einmalig) eine Startrampe gebaut werden, die die NASA eine Million US-Dollar kostet. Der Bau einer Rakete selbst kostet dagegen eine halbe Million Dollar.
(a) Berechne wie viel die NASA insgesamt ausgibt, wenn sie $4$ , $6$ bzw. $10$ Raketen ins All schießt. Fertige daraus eine Wertetabelle an.
(b) Stelle einen Term auf, der die Gesamtkosten der NASA in Abhängigkeit der Raketen angibt, die ins All gebracht werden.
(c) Stelle den Zusammenhang aus der Teilaufgabe (b) grafisch dar. Verwende als Skalierungseinheit auf der $y$ -Achse eine Million US-Dollar.
(d) Bestimme wie viele Raketen die NASA mit 10 Millionen US-Dollar ins All schicken kann.

Anzahl der Tierfutter	5	10	20
Gesamtkosten	10€	15€	25€

In einer Höhe von 5000 m über Trübsalhausen ziehen dunkle Wolken auf und es fängt an zu regnen. Die Regentropfen fallen in einer Minute 500 m weit nach unten.

(Bildquelle: https://pixnio.com/de/landschaften/regen/regentropfen-wasser#)

(a) Berechne, welche Höhe die Regentropfen nach einer, zwei bzw. fünf Minuten über dem Boden haben. Fertige daraus eine Wertetabelle an.

(b) Stelle einen Term auf, der die Höhe der Regentropfen (Einheit $\operatorname{km}$ ) in Abhängigkeit der Fallzeit in Minuten angibt. Du kannst dabei vernachlässigen, dass die Tropfen nach der Ankunft am Boden nicht mehr weiter fallen.

(d) Bestimme, nach wie vielen Minuten die Regentropfen am Boden angekommen sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion

(a) Wenn ein Regentropfen in $5000 \m$ Höhe anfängt zu fallen und er in einer Minute $500 \m$ fällt, dann ist er nach einer Minute noch $4500 \m$ über Trübsalhausen.

Berechnen kann man dies auch mit:

$5000\m-1\cdot500\m=4500\m$

Für zwei Minuten ändert sich die Rechnung:

$5000\m-2\cdot500\m=4000\m$

Nach fünf Minuten:

$5000\m-5\cdot500\m=1500\m$

Als Wertetabelle ergibt sich:

Minuten	0	1	2	5
Höhe	$5000\m$	$4500\m$	$4000\m$	$1500\m$

(b) In Aufgabe (a) sieht man sehr gut den Unterschied in den drei Formeln. Sie unterscheiden sich nur durch die Zahl vor den $500 \m$ . Diese Zahl ist die Veränderliche, also $x$ . Dann kann man die Höhe eines Tropfens durch folgenden Term ermitteln.

$5000\m-x\cdot500\m$

Da in der Aufgabenstellung aber die Einheit $\km$ verlangt wird, ist der Term:

$5-x\ \cdot0{,}5$

die Lösung der Aufgabe.

(Hinweis: In der Aufgabenstellung wird hingewiesen, dass man vernachlässigen darf, ob der Tropfen bereits aufgekommen ist. Falls man dies nicht vernachlässigen möchte, muss man $x$ einschränken. $x$ darf nur größer $0$ sein [der Tropfen startet mit $0$ Minuten] und muss kleiner als $10$ sein [bei $10$ Minuten ist der Tropfen aufgekommen].)

(c)

(d) Um zu bestimmen, wann der Regentropfen am Boden ist, musst du im Graphen die Zeit ablesen, die zur Höhe $0$ gehört.

Das sind $10$ Minuten.

Alternativ kannst du auch ein x ermitteln, so dass sich die Höhe $0$ ergibt:

$\displaystyle 5-x\cdot0{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \text{Umstellen}$
$\displaystyle 5-0{,}5x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +0{,}5x$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle x$

Mit beiden Lösungswegen erhält man $10$ Minuten.

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Waldstetten ist bekannt für seine vielen grünen Laubbäume. Wie alle Laubbäume verlieren aber auch diese im Herbst ihre Blätter. Im Sommer hängen an einem Baum noch $12000$ Blätter. Im Herbst, verliert er pro Woche $1000$ Blätter.
(Bildquelle: https://pixnio.com/de/landschaften/herbst/blaetter-im-herbst-gelblich-blaetter-rote-baeume-laub-herbst-herbst-blaetter-baeume)
(a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der Blätter eines Baumes in Abhängigkeit der seit Beginn des Herbstes vergangen Wochen angibt.
(b) Zeichne diesen Zusammenhang in einem Koordinantensystem. Trage auf der $y$ -Achse die Anzahl der Blätter (mit Einheit $1000$ Blätter) und auf der $x$ -Achse die Anzahl der vergangenen Wochen auf.
(c) Berechne wie viele Blätter nach $1,\ 2,\ 3,\ 6$ bzw. $12$ Wochen noch am Baum hängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
(a) Um zu einem Term zu kommen, kann man sich die Berechnung der Blätterzahl in den ersten Wochen ansehen:
1. Woche: $12000-1\cdot1000$
2. Woche: $12000-2\cdot1000$
3. Woche: $12000-3\cdot1000$
Man sieht, das sich nur die Zahl vor der 1000 ändert. Das wird unsere Variable x. Der gesuchte Term ist also:
$12000-x\cdot1000$
(b)
(c) Man könnte die Anzahl der Blätter auch die im Graphen ablesen. Dazu müsste man einfach von der gegebenen Wochenzahl senkrecht nach oben gehen bis man am Graphen ist und dann senkrecht nach links gehen und die Anzahl der Blätter ablesen.
Allerdings steht in der Aufgabe "Berechne". Wir müssen als einen Rechenweg angeben.
Dazu nimmt man den Term und setzt für x die entsprechende Woche ein:
1. Woche: $12000-1\cdot1000=11000$
2. Woche: $12000-2\cdot1000=10000$
3. Woche: $12000-3\cdot1000=9000$
6. Woche: $12000-6\cdot1000=6000$
12. Woche: $12000-12\cdot1000=0$
Nach einer Woche hängen also noch 11000 Blätter, nach 2 Wochen noch 10000 Blätter, nach 3 Wochen noch 9000 Blätter, nach 6 Wochen noch 6000 Blätter. Nach 12 Wochen sollte kein Blatt mehr am Baum hängen.
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Gegeben sind die drei Punkte $A(-2 | 1)$ , $B(6 | 1)$ und $C(4 | 5)$ .
1. Stelle die Gleichung der Geraden $AB$ , $AC$ und $BC$ auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Gerade AB:
  $A=(-2|1)$ und $B=(6|1)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{1-1}{6-(-2)}=\frac{0}{8}=0$
  Die Gerade ist also parallel zur $x$ -Achse.
  Der y-Achsenabschnitt $t$ ist also gleich der $y$ -Koordinate der beiden Punkte.
  $t=1$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y=mx+t=0\cdot x+1=1$
  Gerade AC:
  $A=(-2|1)$ und $C=(4|5)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{5-1}{4-(-2)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
  Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
  $y=mx+t$
  Setze einen Punkt, z.B. $A$ ein.
  $1=\frac{2}{3}(-2)+t$
  Löse nach $t$ auf.
  $t=1-(\frac{-4}{3})=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y=mx+t=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$
  Gerade BC:
  $B=(6|1)$ und $C=(4|5)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$
  Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
  $y=mx+t$
  Setze einen Punkt, z.B. $B$ ein.
  $1=-2\cdot 6+t$
  Löse nach t auf.
  $t=1-(-2)\cdot 6=1+12=13$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y=mx+t=-2x+13$
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2. Berechne den Umfang des Dreiecks $ABC$ .
  LE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand von Punkten berechnen
  Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.
  $d(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
  Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.
  Seite AB:
  $\Delta x=-2-6=-8$
  $\Delta y=1-1=0$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,B)=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8$
  Diese Seite hat also Länge 8.
  Seite AC:
  $\Delta x=-2-4=-6$
  $\Delta y=1-5=-4$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,C)=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}$ $=\sqrt{52}\approx7{,}21$
  Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.
  Seite BC:
  $\Delta x=6-4=2$
  $\Delta y=1-5=-4$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47$
  Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.
  $\Rightarrow$ Der Umfang ist gleich 8 + 7,2 + 4,5 = 19,7.
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3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  $A=\frac{1}{2}\cdot \text{Höhe}\cdot \text{Grundseite}$
  Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.
  Höhe h ist gleich dem Abstand von $C$ zu $AB$ .
  Da die Höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinaten.
  Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist $h=5-1=4$
  Eingesetzt in die Formel ergibt das: $A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16$
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$\displaystyle x\cdot25+y\cdot150$	$=$	$\displaystyle 1200$	$\displaystyle -x\cdot25$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass du eine Geradengleichung erhältst.
$\displaystyle 150\cdot y$	$=$	$\displaystyle -25\cdot x+1200$	$\displaystyle :150$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{25}{150}\cdot x+\frac{1200}{150}$
	↓	Kürze die Brüche.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac16\cdot x+8$

Aufgaben zu funktionalen Abhängigkeiten in Sachzusammenhängen (insbes. bei Flächenberechnungen)

Dreiecksfläche

Höhe ermittlen

Grundlinie berechnen

Fläche berechnen

Skizze zur Veranschaulichung

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Nach wie vielen Kilometern ist der Tank leer?

Nach wie vielen Kilometern muss der Fahrer tanken?

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Monatsrechnung bei 40 Minuten

Monatsrechnung bei 80 Minuten

Monatsrechnung bei 120 Minuten

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Teilaufgabe 1

Darstellung im Diagramm

Teilaufgabe 2

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Lineare Gleichungen

Aufstieg von Hannes

Gerade AB:

Gerade AC:

Gerade BC:

m=5−14−6=4−2=−2m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2m=4−65−1​=−24​=−2

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Seite AB:

Δx=−2−6=−8\Delta x=-2-6=-8Δx=−2−6=−8

Δy=1−1=0\Delta y=1-1=0Δy=1−1=0

Seite AC:

Δx=−2−4=−6\Delta x=-2-4=-6Δx=−2−4=−6

Δy=1−5=−4\Delta y=1-5=-4Δy=1−5=−4

Seite BC:

Δx=6−4=2\Delta x=6-4=2 Δx=6−4=2

Δy=1−5=−4\Delta y=1-5=-4Δy=1−5=−4

d(A,C)=22+(−4)2=4+16=20≈4,47d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47d(A,C)=22+(−4)2​=4+16​=20​≈4,47

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$m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$

$\Delta x=-2-6=-8$

$\Delta y=1-1=0$

$\Delta x=-2-4=-6$

$\Delta y=1-5=-4$

$\Delta x=6-4=2$

$\Delta y=1-5=-4$

$d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47$