Aufgaben zu den Formeln für das Volumen von Prismen und Zylindern

1
Filmon hat einen Blumenkasten. Der Blumenkasten hat 100 cm Länge und 18 cm Höhe. Unten ist er 15 cm breit und oben 20 cm. Wie groß ist das Volumen des Blumenkastens?
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel:
Die Höhe $h_\mathrm{Prisma}$ ist 100cm, aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben. Die Grundfläche ist ein Trapez.Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden:
$\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}$
$\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}$
$\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}$
$\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2$
$\mathrm G=17{,}5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2$
In diese Formel setzt du $\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2$ und ${\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.$

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) $8\;\text{cm}$ hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist $3\;\text{cm}$ .

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

3
Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?
Runde auf ganze $cm³$ .
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V=r^2 \cdot \pi \cdot h$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
$r= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}$
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}$
Das rechnest du aus,
$=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3$
$= 42\,411{,}5008….\, \text{cm}^3$
und rundest das Ergebnis.
$\approx 42\,412\, \text{cm}^3$
4
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35 cm Durchmesser und h=450 mm Höhe.
Wie viel Liter fasst das Gefäß?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben:
Zylinder mit
Durchmesser $\mathrm{d=35\text{\cm}}$
Höhe $\mathrm{h=450\text{\mm}}$
Gesucht:
Volumen $\text{V}$ in Litern $\text{(l)}$
Lösung:
Lösungidee:
$\text{V=?}$
Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:
$\mathrm{V_{Zylinder}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h}$
$\mathrm{V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h}$
Die Höhe $\h$ ist gegeben, und den Radius $\text{r}$ kannst du aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnen.
Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, $\text{h}$ und $\text{r}$ die gleiche Einheit haben.
Tipp: Wenn du $\text{h}$ und $\text{r}$ (oder $\text{d}$ ) schon jetzt beide in $\text{dm}$ umwandelst, kommt das Volumen in $\text{dm}^3$ (= in Litern $\text{l}$ ) heraus. Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.
Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:
$\mathrm{h=450{\mm}=4{,}5{\dm}}$
$\mathrm{d=35{\cm}= 3{,}5{\dm}}$
Aus dem Durchmesser $\text{d}$ berechnest du dann den Radius $\text{r}$ ,
$\mathrm{r=\dfrac d2=1{,}75\dm}$
… und setzt $\text{r}$ und $\text{h}$ in die Volumenformel ein:
${V=\pi\cdot\left(1{,}75{\dm}\right)^2\cdot4{,}5{\dm}}$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$\mathrm{V\approx43{,}3{\dm}^3}$
$\text{dm}^3$ sind dasselbe wie Liter.
Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .
$\mathrm{V\approx43{,}3\l}$
5
Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm.
Berechne das Volumen des Glases. Runde dein Ergebnis auf Einer.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V=(3{,}5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}$
$\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3$
$\;\;\;=\;307{,}876…\;\mathrm{cm}^3$
$\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3$

In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen.

Wie viele cm steht das Wasser im Glas? Runde auf ganze Zahlen.

7
Welches Volumen hat ein $4{,}5\, \mathrm{m}$ hohes Haus mit der Breite $4\, \mathrm{m}$ und der Länge $7\, \mathrm{m}$ , wenn das Dachgeschoss $2 \, \mathrm{m}$ hoch ist?
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.
Volumen des Quaders (unterer Hausteil)
Gegeben: Länge des Quaders = $7\, \mathrm{m}$ Breite des Quaders = $4\, \mathrm{m}$
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses ( $4{,}5 \, \mathrm{m}$ ) die Höhe des Dachs ( $2 \, \mathrm{m}$ ) abziehst.
Höhe des Quaders = $4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}$
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
$V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}$
Volumen des Prismas (Dach)
Gegeben: Länge des Dachs = $7 \, \mathrm{m}$ Breite des Dachs = $4 \, \mathrm{m}$ Höhe des Dachs = $2 \, \mathrm{m}$
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
$G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}$
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
$V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}$
Gesamtvolumen des Hauses
$V_\text{Haus} = \ldots ?$
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
$V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}$
Antwort: Das Haus hat ein Volumen von $98\, \mathrm{m^3}$ .
8
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Oberfläche von $150{,}72cm^2$ und einem Durchmesser von $6cm$ .
Berechne die Höhe des Zylinders.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders
$O=2r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh} \quad | -2r^2\mathrm\pi$
$O-2r^2\mathrm\pi=2\mathrm r\mathrm\pi\mathrm h \quad | :2r\mathrm\pi$
$h=\cfrac{O-2r^2\mathrm\pi}{2r\mathrm\pi}$
$h=\dfrac{150{,}72-2\cdot9\cdot3{,}14}{2\cdot3\cdot3{,}14}=\dfrac{150{,}72-56{,}52}{18{,}84}=\dfrac{94{,}2}{18{,}84}=5$
Die Höhe des Zylinders beträgt $5cm$ .
9
Herr Müller möchte ein Kabel mit einem Volumen von $0{,}63 \,\mathrm{m^3}$ verlegen. Der Radius beträgt $10 \,\mathrm{cm}$ . Berechne die Länge des Kabels. Runde beim Ergebnis auf ganze Zahlen.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders ist:
Da die Länge $l$ gesucht ist, musst du die Formel danach auflösen, wie folgt:
Nun brauchst du nur noch die Werte einzusetzen. Hierbei musst du beachten, dass der Radius in $\mathrm{cm}$ angegeben ist und in $\mathrm{m}$ umgerechnet werden muss:
Das heißt, dass die Länge des Kabels $20 \,\mathrm{m}$ beträgt.
10
Eine Getränkedose hat eine Höhe $h$ von $16{,}8 \text{cm}$ . Der Durchmesser $d$ beträgt $6{,}7 \text{cm}$ . Berechne das Volumen der Dose.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius daraus erechnen, wie folgt:
Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen, um das Volumen zu berechnen.
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders $592 \,\mathrm{cm}^3$ beträgt.
11
Ein zylinderförmiger Lautsprecher hat eine Höhe von $h = 18 \,\mathrm{cm}$ . Der Radius beträgt $r = 3{,}75 \,\mathrm{cm}$ . Berechne das Volumen.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
In diese Formel setzt du nun die gegebnen Werte ein.
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders ca. $795 \,\mathrm{cm^3}$ beträgt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	↓	Das ist die Flächenformel für das Dreieck. Stelle diese nach der Höhe $h_D$ des Dreiecks um.
$\displaystyle h_D$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
	↓	Mit dieser Formel kannst du die Höhe $h_D$ im gleichseitigen Dreieck berechnen.

$\displaystyle F$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a\cdot h_D}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot3\ cm\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot3\ cm$
	$≈$	$\displaystyle 3{,}897\ cm^2$

$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 6\cdot F$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot3{,}897\ cm^2$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h_p$
	$=$	$\displaystyle 23{,}382\ cm^2\cdot8\ cm$
	$=$	$\displaystyle 187{,}056\ cm^3$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot\pi\cdot h$	$\displaystyle :(r^2\cdot\pi)$
	↓	Auf diese Weise erreichst du, dass $h$ auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Wenn es dich stört, dass $h$ jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{V}{r^2\cdot\pi}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150ml}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Hier muss man nun auf die Einheiten achten. $ml$ können nicht durch $cm^2$ geteilt werden. $150ml = 0{,}15l = 0{,}15dm^3 = 150cm^3$ . Wichtig ist auch, dass nach dem Radius gefragt wird, das bedeutet, dass der Durchmesser von 8cm noch geteilt werden muss.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{150cm^3}{(4cm)^2\cdot3{,}14}$
	↓	Rechne das Ergebnis aus
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 2{,}98 cm$
	↓	Runde
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 3cm$

Aufgaben zu den Formeln für das Volumen von Prismen und Zylindern

Volumenberechnung eines Prismas

Lösung:

Lösungidee:

Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:

Zylinder

Lösungsidee

Lösung

Formel umstellen

Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Volumen des Prismas (Dach)

Gesamtvolumen des Hauses