Aufgaben zum Faktorisieren

1

Was fehlt in der Klammer?

$-7x+14xy=-7x\left(.\;.\;.\right)$

$ax^2-6x^3=x^2\cdot\left(.\;.\;.\right)$

$\dfrac53a+5a^2-\dfrac{10}3a^3=5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$

$1{,}5a-2{,}5\mathrm{ab}+0{,}5a^2=0{,}5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$

2

Klammere aus.

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$x^3-7x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$\displaystyle x^3-7x^2$ $=$
↓
Klammere $x^2$ aus.
$=$ $\displaystyle x^2\left(x-7\right)$
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$a^2-a+\mathrm{ab}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\displaystyle a^2-a+ab$ $=$
↓
Klammere $a$ aus.
$=$ $\displaystyle a\left(a-1+b\right)$
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$x^2-2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$\displaystyle x^2-2x$ $=$
↓
Klammere $x$ aus.
$=$ $\displaystyle x\cdot\left(x-2\right)$
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$6\mathrm{uv}-24\mathrm{uv}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$\displaystyle 6uv-24uv^2$ $=$
↓
Klammere $\;6uv\;$ aus.
$=$ $\displaystyle 6uv\left(1-4v\right)$
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$14\mathrm{rs}^2-7r^2s+35r^2s^2t$

$24p^3q-16\mathrm{pq}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$\displaystyle 24p^3q-16\mathrm{pq}^2$ $=$
↓
Klammere $\;8pq\;$ aus.
$=$ $\displaystyle 8pq\left(3p^2-2q\right)$
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$4x^2y+2\mathrm{xy}-4\mathrm{xy}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$\displaystyle 4x^2y+2\mathrm{xy}-4\mathrm{xy}^2$ $=$
↓
Klammere $\;2xy\;$ aus
$=$ $\displaystyle 2xy\left(2x+1-2y\right)$
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$2x-2y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\displaystyle 2x-2y$ $=$
↓
Klammere den Faktor 2 aus.
$=$ $\displaystyle 2\cdot\left(x-y\right)$
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$-5\mathrm{xu}+15\mathrm{xv}-10\mathrm{xz}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\displaystyle -5xu+15xv-10xz$ $=$
↓
Klammere den Faktor $5x$ aus.
$=$ $\displaystyle -5x\cdot\left(u-3v+2z\right)$
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$26\mathrm{xy}-13\mathrm{xz}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\displaystyle 26xy-13xz$ $=$
↓
Klammere den Faktor $13x$ aus.
$=$ $\displaystyle 13x\cdot\left(2y-z\right)$
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$7x-7y+7z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\displaystyle 7x-7y+7z$ $=$
↓
Klammere den Faktor $7$ aus.
$=$ $\displaystyle 7\cdot\left(x-y+z\right)$
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3

Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.

$\frac12{ab}^2\cdot2a^2b={ab}\cdot\left(\frac12y+2x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$a$ wurde durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
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$-\frac12 xy^2-xy+2x^2y=-xy\left(\frac12y-2x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren
In der Klammer wurde $+1$ vergessen, was beim ausmultiplizieren $-xy$ ergibt.
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4

Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

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$\frac34\mathrm{bx}-\frac34\mathrm{by}+\frac34\mathrm{bz}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Klammere den Faktor $\frac34b$ aus.
$\frac{3}{4}\mathrm{bx}-\frac{3}{4}\mathrm{by}+\frac{3}{4}\mathrm{bz}=\frac{3}{4}b\cdot\left(x-y+z\right)$
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$\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}$

$\dfrac23a-\dfrac56b$

5

Verwandle den Term in ein Produkt. Verwende dabei eine der binomischen Formeln.

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$a^2-4b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die dritte Binomische Formel an.
$a^2-4b^2$
$=\left(a-2b\right)\cdot\left(a+2b\right)$
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$25x^2-9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die dritte Binomische Formel an.
$25x^2-9$
$=\left(5x-3\right)\cdot\left(5x+3\right)$
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$x^2+14x+49$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste Binomische Formel an.
$x^2+14x+49$
$=\left(x+7\right)^2$
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$1-2x+x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$1-2x+x^2$
Sortiere nach Variabeln.
$=x^2-2x+1$
Wende die zweite Binomische Formel an.
$=\left(x-1\right)^2$
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$4k^2-4k+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die zweite Binomische Formel an.
$4k^2-4k+1$
$=\left(2k-1\right)^2$
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$\dfrac49a^2+\mathrm{ab}+\dfrac9{16}b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste Binomische Formel an.
$\dfrac49a^2+\mathrm{ab}+\dfrac9{16}b^2$
$=(\dfrac23a+\dfrac34b)^2$
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6

Faktorisiere.

$4x^2-8x+4$

$\frac15x^2+2x+5$

$-x^2+6x-9$

$\frac12x^2-8$

$\frac14x^2-3x+9$

$\frac{x^2}2-\mathrm{kx}+\frac{k^2}2$

$-\frac14+x^2$

$u^4-4u^3+4u^2$

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$x^4+2x^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste binomische Formel an.
$x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2$
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7

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

$m(r-s)-n(s-r)$

$4a(2x+3y)+2b(2x+3y)$

$s(a+x)+b(a+x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $(a+x)$ aus.
$s(a+x)+b(a+x)=(a+x)(b+s)$
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$-y(x+a)+v(x+a)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $(x+a)$ aus.
$-y(x+a)+v(x+a)=(a+x)(v-y)$
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$8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)$

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$x\cdot\left(u-v\right)-y\cdot\left(u-v\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $\left(u-v\right)$ aus.
$x\cdot\left(u-v\right)-y\cdot\left(u-v\right)=\left(u-v\right)\cdot\left(x-y\right)$
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$a\cdot\left(3m-n\right)-b\cdot\left(3m-n\right)$

$x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)$

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$5u\cdot\left(a-2b\right)+v\cdot\left(a-2b\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $\left(a-2b\right)$ aus.
$5u\cdot\left(a-2b\right)+v\cdot\left(a-2b\right)=\left(a-2b\right)\cdot\left(5u+v\right)$
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$2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)$

8

Faktorisiere den Term. Wende dabei eine Zerlegung in zwei Klammerterme oder Linearfaktoren an.

$y^2+7y+12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
Überlege welche beiden Zahlen addiert 7 und multipliziert 12 ergeben.
$y²+7y+12=(y+3)(y+4)$
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$\mathrm{ab}+5a+7b+35$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(a+7)(b+5)\end{array}$
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$x^2+6x+8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^2+6x+8$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(x+2)(x+4)$
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$z^2+17z+60$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(z+5)(z+12)$
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$a^2-a-12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$a^2−a−12$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(a-4)(a+3)$
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$21a+3a^2+30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(3a+6)(a+5)$
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$a^2-26\mathrm{ab}+165b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$a^2-26\mathrm{ab}+165b^2$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(a-11b)(a-15b)$
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$20x^2-21\mathrm{xy}+4y^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$20x^2-21\mathrm{xy}+4y^2$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(4x-y)(5x-4y)$
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$x^2-16x+48$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^2-16x+48$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(x-4)(x-12)$
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$x^2-3\mathrm{xy}+2y^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^2−3xy+2y^2$
Zerlege in Linearfaktoren
$=(x-y)(x-2y)$
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$a^2+a-12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(a-3)(a+4)$
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9

Faktorisiere die folgenden Terme.

$\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$\displaystyle av+au+v+u$ $=$ $\displaystyle a(v+u)+v+u$
$=$ $\displaystyle a(v+u)+1(v+u)$
$=$ $\displaystyle (1+a)(u+v)$
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$\mathrm{ba}-\mathrm{by}+\mathrm{xa}-\mathrm{yx}$

$\mathrm{cq}+\mathrm{cr}-q-r$

$\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}$

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$2m+2n+3m+3n$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$\displaystyle 2m+2n+3m+3n$ $=$ $\displaystyle 5m+5n$
$=$ $\displaystyle 5\left(m+n\right)$
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$3\mathrm{am}-\mathrm{mv}+3a-v$

$4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y$

10

Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.

$m(2r+2s)(2r-2s)$

$\mathrm{sm}^2-\mathrm{sn}^2$

$6a(7x-5y)+9b(-7x+5y)$

$(\mathrm{gt}-\mathrm{ht})+(2g-2h)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$(g-h)(t+2)$
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$\displaystyle -7x+14xy$	$=$	$\displaystyle -7x\left(.\;.\;.\right)$
	↓	Der Faktor -7x wird ausgeklammert.
$\displaystyle -7x\cdot1-7x\cdot\left(-2y\right)$	$=$	$\displaystyle -7x\cdot\left(1-2y\right)$

$\displaystyle ax^2-6x^3$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(.\;.\;.\right)$
	↓	Der Faktor $x^2$ lässt sich ausklammern.
$\displaystyle x^2\cdot a-x^2\cdot6x$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(a-6x\right)$

$\displaystyle \frac53a+5a^2-\frac{10}3a^3$	$=$	$\displaystyle 5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$
$\displaystyle \frac13\cdot5a+5a\cdot a-\frac23\cdot5a\cdot a^2$	$=$	$\displaystyle 5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$
	↓	Der Faktor 5a wird ausgeklammert.
$\displaystyle 5a\cdot\left(\frac13+a-\frac23a^2\right)$	$=$	$\displaystyle 5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$

$\displaystyle 1{,}5a-2{,}5\mathrm{ab}+0{,}5a^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$
$\displaystyle 0{,}5a\cdot3-0{,}5a\cdot5b+0{,}5a\cdot a$	$=$	$\displaystyle 0{,}5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$
	↓	Der Faktor 0,5a wird ausgeklammert .
$\displaystyle 0{,}5a\cdot\left(3-5b+a\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5a\cdot\left(.\;.\;.\right)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{xu}-\frac{1}{8}\mathrm{xv}+\frac{3}{4}\mathrm{xz}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{8}\mathrm{xu}-\frac{1}{8}\mathrm{xv}+\frac{6}{8}\mathrm{xz}$
	↓	Klammere den Faktor $\frac18x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}x\cdot\left(4u-v+6z\right)$

$\displaystyle x^3-7x^2$	$=$
	↓	Klammere $x^2$ aus.
	$=$	$\displaystyle x^2\left(x-7\right)$

$\displaystyle a^2-a+ab$	$=$
	↓	Klammere $a$ aus.
	$=$	$\displaystyle a\left(a-1+b\right)$

$\displaystyle x^2-2x$	$=$
	↓	Klammere $x$ aus.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x-2\right)$

$\displaystyle 6uv-24uv^2$	$=$
	↓	Klammere $\;6uv\;$ aus.
	$=$	$\displaystyle 6uv\left(1-4v\right)$

$\displaystyle 14\mathrm{rs}^2-7r^2s+35r^2s^2t$	$=$
	↓	Klammere $\;7rs\;$ aus.
	$=$	$\displaystyle 7rs\left(2s-r+5rst\right)$

$\displaystyle 24p^3q-16\mathrm{pq}^2$	$=$
	↓	Klammere $\;8pq\;$ aus.
	$=$	$\displaystyle 8pq\left(3p^2-2q\right)$

$\displaystyle 4x^2y+2\mathrm{xy}-4\mathrm{xy}^2$	$=$
	↓	Klammere $\;2xy\;$ aus
	$=$	$\displaystyle 2xy\left(2x+1-2y\right)$

$\displaystyle 2x-2y$	$=$
	↓	Klammere den Faktor 2 aus.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-y\right)$

$\displaystyle -5xu+15xv-10xz$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $5x$ aus.
	$=$	$\displaystyle -5x\cdot\left(u-3v+2z\right)$

$\displaystyle 26xy-13xz$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $13x$ aus.
	$=$	$\displaystyle 13x\cdot\left(2y-z\right)$

$\displaystyle 7x-7y+7z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $7$ aus.
	$=$	$\displaystyle 7\cdot\left(x-y+z\right)$

$\displaystyle \frac{2}{3}a-\frac{5}{6}b$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{6}a-\frac{5}{6}b$
	↓	Klammer $\dfrac16$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}(4a-5b)$

$\displaystyle 4x^2-8x+4$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(x^2-2x+1\right)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot\left(x-1\right)^2$

$\displaystyle \frac{1}{5}x^2+2x+5$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\left(x^2+10x+25\right)$
	↓	Wende die erste binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\left(x+5\right)^2$

$\displaystyle -x^2+6x-9$	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-6x+9\right)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-3\right)^2$

$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-8$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(x^2-16\right)$
	↓	Wende die dritte binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+4\right)$

$\displaystyle \frac{1}{4}x^2-3x+9$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(x^2-12x+36\right)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(x-6\right)^2$

$\displaystyle \frac{x^2}{2}-\mathrm{kx}+\frac{k^2}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(x^2-2\mathrm{kx}+k^2\right)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(x-k\right)^2$

$\displaystyle -\frac{1}{4}+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2-\frac{1}{4}$
	↓	Wende die dritte binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle u^4-4u^3+4u^2$	$=$	$\displaystyle u^2\cdot\left(u^2-4u+4\right)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle u^2\cdot\left(u-2\right)^2$

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$\displaystyle m(r-s)-n(s-r)$	$=$	$\displaystyle m(r-s)+n(-s+r)$
	↓	Klammer $(r-s)$ aus.
	$=$	$\displaystyle (m+n)(r-s)$

$\displaystyle 4a(2x+3y)+2b(2x+3y)$	$=$	$\displaystyle (4a+2b)(2x+3y)$
	↓	Klammere $2$ aus.
	$=$	$\displaystyle 2(2a+b)(2x+3y)$

$\displaystyle 8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)$
	↓	Klammere den Faktor $\left(a+b\right)$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 9\cdot\left(a+b\right)$

$\displaystyle x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(3-r\right)-1\cdot\left(3-r\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(3-r\right)\cdot\left(x-1\right)$

$\displaystyle 2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot\left(3u+v\right)-1\cdot\left(3u+v\right)$
	↓	Klammere den Faktor $\left(3u+v\right)$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(3u+v\right)\cdot\left(2x-1\right)$

$\displaystyle av+au+v+u$	$=$	$\displaystyle a(v+u)+v+u$
	$=$	$\displaystyle a(v+u)+1(v+u)$
	$=$	$\displaystyle (1+a)(u+v)$

$\displaystyle ba-by+xa-yx$	$=$	$\displaystyle b\left(a-y\right)+xa-yx$
	$=$	$\displaystyle b\left(a-y\right)+x\left(a-y\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(b+x\right)\left(a-y\right)$

$\displaystyle cq+cr-q-r$	$=$	$\displaystyle c\left(q+r\right)-q-r$
	$=$	$\displaystyle c\left(q+r\right)-1\left(q+r\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(c-1\right)\left(q+r\right)$

$\displaystyle ax+ay+bx+by$	$=$	$\displaystyle a\left(x+y\right)+bx+by$
	$=$	$\displaystyle a\left(x+y\right)+b\left(x+y\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(a+b\right)\left(x+y\right)$

$\displaystyle 2m+2n+3m+3n$	$=$	$\displaystyle 5m+5n$
	$=$	$\displaystyle 5\left(m+n\right)$