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Gruppe A

Die Aufgaben findest du hier zum Ausdrucken als PDF

  1. 1

    Geben Sie jeweils die Lösung(en) der Gleichung an.

    1. x2=100,(x∈R)x^2=100, (x\in\mathbb{R})

    2. x−1=100x^{-1}=100, (x∈Rx\in\mathbb{R} \{0})

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion f:x→4x+3−2f: x\rightarrow \dfrac{4}{x+3}-2 mit dem Definitionsbereich R\mathbb{R} \{−3-3}.

    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass −1-1 Nullstelle von ff ist.

    2. Beschreiben Sie, wie der Graph von ff durch Verschieben aus dem Graphen der in R\mathbb{R} \{00} definierten Funktion g:x→4xg: x\rightarrow \dfrac{4}{x} hervorgeht.

  3. 3

    An einer Hauswand soll ein rechteckiger GemĂŒsegarten angelegt und an den drei offenen Seiten eingezĂ€unt werden (vgl. Abbildung). Dabei bezeichnen xx und bb die SeitenlĂ€ngen des GemĂŒsegartens in Metern. Die GesamtlĂ€nge des Zauns soll 12m12m betragen.

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    1. FĂŒr einen bestimmten Wert von xx ist der so geplante GemĂŒsegarten quadratisch. Berechnen Sie fĂŒr diesen Fall den FlĂ€cheninhalt des GemĂŒsegartens.

    2. Es wird untersucht, ob durch eine andere Wahl von xx bei gleichbleibender ZaunlĂ€nge ein grĂ¶ĂŸerer FlĂ€cheninhalt erreicht werden kann. Hierzu wird die Funktion ff mit f(x)=x⋅(12−2x)f(x)=x\cdot (12-2x) betrachtet, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist.

      BegrĂŒnden Sie, dass der FlĂ€cheninhalt des GemĂŒsegartens in m2 \text{m}^2 durch den Term f(x)f(x) beschrieben wird.

    3. Geben Sie die beiden Nullstellen von ff an und bestimmen Sie xx so, dass der FlĂ€cheninhalt des GemĂŒsegartens maximal wird.

  4. 4

    Die Kinder der sechsten Klassen eines Gymnasiums haben als zweite Fremdsprache entweder Latein oder Französisch gewÀhlt. Unter den Kindern wird eines zufÀllig ausgewÀhlt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    L: Das Kind hat Latein gewÀhlt.

    M: Das Kind ist ein MĂ€dchen

    1. Bei einer der folgenden Vierfeldertafeln passt der grau gefĂ€rbte Bereich zum Ereignis „Genau eines der beiden Ereignisse L und M tritt ein.“. Kreuzen Sie (nur) diese an.

      Bild
    2. Eine der folgenden Mengenschreibweisen gehört zum Ereignis „Ein Kind hat Französisch gewĂ€hlt und ist kein MĂ€dchen.“ Kreuzen Sie (nur) diese an.

  5. 5

    Seit Dezember 2017 fĂŒhrt eine neue Seilbahn auf die Zugspitze.

    1. Eine Gondel dieser Seilbahn bietet Platz fĂŒr 120120 Personen. Geben Sie die Anzahl der Personen in der Gondel an, wenn diese bezĂŒglich der Personenzahl zu 3030% ausgelastet ist .

    2. Die Seilbahn ĂŒberwindet einen Höhenunterschied von h=1945h=1945 . Nimmt man vereinfachend an, dass die Fahrstrecke der LĂ€nge l=4467l =4467 geradlinig verlĂ€uft, so schließen das Seil und die Horizontale einen Steigungswinkel αα ein (vgl. Abbildung)

      Bild

      Geben Sie eine Gleichung an, durch die der Steigungswinkel αα aus ll und hh berechnet werden kann.

    3. In der RealitĂ€t variiert die Steigung von Bergbahnen im Streckenverlauf. So ist der maximale Steigungswinkel der Zugspitzseilbahn deutlich grĂ¶ĂŸer als der Wert, der sich aus Aufgabe 5b ergeben wĂŒrde. Nachfolgende Tabelle gibt die maximalen Steigungen und die zugehörigen Steigungswinkel fĂŒr die Seilbahn und fĂŒr die ebenfalls auf die Zugspitze fĂŒhrende Zahnradbahn an.

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      ErgÀnzen Sie folgende ErlÀuterung:

      Die Steigung einer Seilbahn oder Schiene ist wie die Steigung einer Gerade im Koordinatensystem festgelegt. Eine Steigung von 0,250{,}25 bedeutet beispielsweise, dass bei einer horizontalen Entfernung von ________ m eine Höhendifferenz von ________ m ĂŒberwunden wird.

    4. Die maximale Steigung ist nicht direkt proportional zum zugehörigen Steigungswinkel. Beschreiben Sie unter Einbeziehung der konkreten Werte aus obiger Tabelle, wie man dies zeigen könnte.

  6. 6

    Lösen Sie folgende Aufgaben.

    1. Ein Dreieck mit einer Seite der LÀnge 4cm4cm und zugehöriger Höhe hh hat den FlÀcheninhalt 6cm26 cm^2. Berechnen Sie hh.

    2. Betrachtet wird ein Dreieck ABCABC. Die Gerade gg verlÀuft parallel zur Gerade ABAB durch den Punkt CC (vgl. Abbildung).

      Bild

      Spiegelt man gg an ABAB, erhĂ€lt man die Bildgerade gâ€Čg'.

      Zeichnen Sie gâ€Čg' ein und begrĂŒnden Sie:

      Ist QQ ein beliebiger Punkt auf gâ€Čg', so hat das Dreieck AQBAQB den gleichen FlĂ€cheninhalt wie das Dreieck ABCABC.

  7. 7

    Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit drei Halbkreisen, die jeweils eine der Dreiecksseiten als Durchmesser haben.

    Bild

    BegrĂŒnden Sie mithilfe einer Rechnung, dass die Summe der FlĂ€cheninhalte der beiden kleineren Halbkreise gleich dem FlĂ€cheninhalt des grĂ¶ĂŸten Halbkreises ist.


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