Gruppe A

$x^2=100,(x\in \mathbb{R})x^2=100,\; (x\backslash in\backslash mathbb\{R\})$

$x=\pm \sqrt{100}x=\; \backslash pm\backslash sqrt\{100\}$

$x_1=10x\_1=10$, $x_2=-10x\_2=-10$

$x^{-1}=100,x\in \mathbb{R}x^\{-1\}=100,\; x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$

$x^{-1}={\displaystyle \frac{1}{x}}x^\{-1\}=\backslash dfrac\{1\}\{x\}$

${\displaystyle \frac{1}{x}}=100\backslash dfrac\{1\}\{x\}=100$

$x={\displaystyle \frac{1}{100}}x=\backslash dfrac\{1\}\{100\}$

$f(x)={\displaystyle \frac{4}{x+3}}-2;f(x)=\backslash dfrac\{4\}\{x+3\}-2;$

Nullstelle: $f(x)=0f(x)=0$

$f(-1)={\displaystyle \frac{4}{-1+3}}-2={\displaystyle \frac{4}{2}}-2=0f(-1)=\backslash dfrac\{4\}\{-1+3\}-2=\backslash dfrac\{4\}\{2\}-2=0$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $-1-1$ ist eine Nullstelle der Funktion $ff$.

$g(x)={\displaystyle \frac{4}{x}}g(x)=\backslash dfrac\{4\}\{x\}$

$f(x)={\displaystyle \frac{4}{x+3}}-2f(x)=\; \backslash dfrac\{4\}\{x+3\}-2$

Durch ersetzen von $xx$ durch $x+3x+3$ wird der Graph um $33$ nach links, in die negative

x-Richtung verschoben.

Durch die Subtraktion von $-2-2$ wird der Graph um $22$ nach unten, in die negative

y-Richtung verschoben.

Damit der Garten quadratisch ist, müssen die Seiten $xx$ und $bb$ gleich lang sein.

Laut Aufgabenstellung gilt: $2\cdot x+b=122\backslash cdot\; x+b=12$

Mit $b=xb=x$ ist also $2\cdot x+x=122\backslash cdot\; x+x=12$

$\Rightarrow 3\cdot x=12\backslash Rightarrow\; 3\backslash cdot\; x=12$

$\Rightarrow x=4\backslash Rightarrow\; x=4$

Mit $x=b=4x=b=4$ hat der Gemüsegarten $44$ gleich lange Seiten und ist somit quadratisch.

Die Fläche beträgt dann $(4\text{ m}{)}^2=16{\text{ m}}^2(4\backslash text\{\; m\})^2=16\backslash text\{\; m\}^2$.

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt: $2\cdot x+b=122\backslash cdot\; x+b=12$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$b=12-2\cdot xb=12-2\backslash cdot\; x$

$A_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=x\cdot bA\_\backslash mathrm\{Rechteck\}=x\backslash cdot\; b$

$A_{\text{Rechteck}}=x\cdot (12-2\cdot x)A\_\backslash text\{Rechteck\}=x\backslash cdot\; (12-2\backslash cdot\; x)$

$f(x)=x\cdot (12-2x)f(x)=x\backslash cdot(12-2x)$

1. Nullstellen:

Für eine Nullstelle gilt: $f(x)=0f(x)=0$

$x\cdot (12-2x)=0x\backslash cdot(12-2x)=0$

Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

1. Faktor: $x=0x=0$

2. Faktor: $12-2x=012-2x=0$ $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $x=6x=6$

Die Nullstellen der Funktion $ff$ sind $00$ und $66$.

2. Scheitelpunkt:

Die Funktion $ff$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstelle $00$ und $66$. Der Scheitelpunkt der Funktion $ff$ liegt genau zwischen den beiden Nullstellen. $\Rightarrow \backslash Rightarrow$

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (0+6)=3x=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; (0+6)=3$

Für $x=3x=3$ ist der Flächeninhalt des Gemüsegartens maximal.

In der vierten Vierfeldertafel ganz rechts passt der grau gefärbte Bereich zum Ereignis „Genau eines der beiden Ereignisse L und M tritt ein".

$L\cap \bar{M}L\backslash cap\backslash overline\; M$: Hat Latein gewählt und ist kein Mädchen

$L\cup \bar{M}L\backslash cup\backslash overline\; M$: Hat Latein gewählt oder ist kein Mädchen

$\bar{L}\cap \bar{M}\backslash overline\; L\backslash cap\; \backslash overline\; M$: Hat Französisch gewählt und ist kein Mädchen

$\bar{L}\cup \bar{M}\backslash overline\; L\; \backslash cup\; \backslash overline\; M$: Hat Französisch gewählt oder ist kein Mädchen

$\overline{L\cap M}\backslash overline\; \{L\backslash cap\; M\}$: Alle, die keine Mädchen sind, das Latein gewählt hat

$120100120\; \backslash mathop\{\backslash widehat\{=\}\}\; 100$%

$121012\; \backslash mathop\{\backslash widehat\{=\}\}\; 10$%

$3\cdot 12=36303\backslash cdot\; 12=36\; \backslash mathop\{\backslash widehat\{=\}\}\; 30$%

Mit $3636$ Personen ist eine Gondel zu $3030$% ausgelastet.

$\sin (\alpha )\backslash sin\; (\backslash alpha\; )$ beschreibt das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem spitzen Winkel $\alpha \backslash alpha$ wie folgt:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{h}{l}}\backslash sin\; (\backslash alpha\; )\; =\backslash dfrac\{h\}\{l\}$

0,25 $25\backslash mathop\{\backslash widehat\{=\}\}\; 25$%

Dies bedeutet, dass die senkrecht zurückgelegte Strecke $2525$% von der waagrecht zurückgelegten Strecke ausmacht.

Bei einer horizontalen Entfernung von $100100$m wird eine Höhendifferenz von $2525$m überwunden.

Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn die eine Größe aus der anderen hervorgeht, indem man sie mit dem gleichen Faktor multipliziert.

1. Zeile: ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,04}}{\mathrm{0,25}}}=\mathrm{4,16}\backslash dfrac\{1\{,\}04\}\{0\{,\}25\}=4\{,\}16$

2. Zeile: ${\displaystyle \frac{46}{14}}\approx \mathrm{3,29}\backslash dfrac\{46\}\{14\}\backslash approx3\{,\}29$

$\mathrm{4,16}\mathrm{\ne }\mathrm{3,29}4\{,\}16\; \backslash neq\; 3\{,\}29$

Da die beiden Quotienten nicht gleich sind, ist die maximale Steigung ist nicht direkt proportional zum zugehörigen Steigungswinkel.

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot hA=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; g\backslash cdot\; h$

$6={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot h6=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\backslash cdot\; h$

$h=3h=3$

Die Höhe $hh$ des Dreiecks ist 3cm.

Alle Dreiecke mit der Grundlinie $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ und einem beliebigegen Punkt $QQ$ auf $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ haben aufgrund der Symmetrie die selbe Höhe wie das Dreieck $ABCABC$. Somit hat jedes beliebige Dreieck $ABQABQ$ die selbe Fläche wie das Dreieck $ABCABC$.