Teil 2, Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto - \frac{1}{8} x^{4} + 2 x^{2}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Der Graph der Funktion $f$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ sowie die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_{f}$ . Geben Sie die Wertemenge $W_{f}$ an. (9 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrempunkte

Monotonie und Extremstellen

Bestimme zunächst die erste Ableitung:

$f (x) = - \frac{1}{8} x^{4} + 2 x^{2}$

$f^{'} (x) = - 0,5 x^{3} + 4 x$

Bestimme nun die Nullstellen der Ableitungsfunktion:

$- 0,5 x^{3} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Ausklammern
$x (- 0,5 x^{2} + 4)$	$=$	$0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst du direkt die erste Nullstelle $x = 0$ der Ableitungsfunktion.

Betrachte nun den Term in den Klammern:

Löse durch Umformen:
	↓
$- 0,5 x^{2} + 4$	$=$	$0$	$+ 0,5 x^{2}$
$4$	$=$	$0,5 x^{2}$	$: 0,5$
$8$	$=$	$x^{2}$
	↓	Die Wurzel liefert 2 Lösungen!
$\pm \sqrt{8}$	$=$	$x$

Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ hat also insgesamt drei Nullstellen: $x_{1} = 0, x_{2} = - \sqrt{8}, x_{3} = \sqrt{8}$

Da die Vielfachheit aller drei Nullstellen $1$ ist, liegt an allen drei eine Extremstelle vor.

Fertige jetzt die Monotonietabelle an. Du kannst direkt eintragen, dass an den gefundenen Extremstellen $f^{'} (x)$ den Wert 0 hat.

$x$	$x < - \sqrt{8}$	$x = - \sqrt{8}$	$- \sqrt{8} < x < 0$	$x = 0$	$0 < x < \sqrt{8}$	$x = \sqrt{8}$	$x > \sqrt{8}$
Vorzeichen $f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
Verlauf $G_{f}$	$↗$ sms	HOP	$↘$ smf	TIP	$↗$ sms	HOP	$↘$ smf

Damit hast du die Monotonieintervalle und die Art der Extrempunkte.

Lage der Extrempunkte

Setze die gefundenen Extremstellen von oben in den Term $f (x) = - \frac{1}{8} x^{4} + 2 x^{2}$ ein:

$f (- \sqrt{8}) = f (\sqrt{8}) = - \frac{1}{8} \cdot (\sqrt{8})^{4} + 2 \cdot (\sqrt{8})^{2} = 8$

$f (0) = - \frac{1}{8} \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} = 0$

Die Extrempunkte sind also ${HOP}_{1} (- \sqrt{8} | 8), TIP (0 | 0), {HOP}_{2} (\sqrt{8} | 8)$

Wertemenge der Funktion

$f$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $4$ mit negativem Leitkoeffizienten.

Deshalb gilt für den Globalverlauf, also das Verhalten im Unendlichen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = - \infty$

Der größte Funktionswert, den die Funktion annimmt, ist also die y-Koordinate der Hochpunkte. Somit ist die Wertemenge:

$W =] - \infty; 8]$

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Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen von $f$ und entscheiden Sie begründet, ob es sich dabei um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von $G_{f}$ handelt oder nicht. (6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte
Wendestellen ermitteln
Die Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, wobei der Graph der zweiten Ableitung dort das Vorzeichen wechseln muss.
Verwende die Ableitung aus der letzten Teilaufgabe:
$f^{'} (x) = - 0,5 x^{3} + 4 x$
Bilde die zweite Ableitung:
$f^{''} (x) = - 1,5 x^{2} + 4$
Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung:
$f^{''} (x)$ $=$ $0$
$- 1,5 x^{2} + 4$ $=$ $0$ $+ 1,5 x^{2}$
$4$ $=$ $1,5 x^{2}$ $: 1,5$
$\frac{8}{3}$ $=$ $x^{2}$
↓
Ziehe die Wurzel. Es gibt zwei Lösungen!
$\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ $=$ $x$
Da die beiden Lösungen $x_{1} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ und $x_{2} = - \sqrt{\frac{8}{3}}$ beide nur einmal vorkommen, ist die Vielfachheit $1$ und es sind Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und somit Wendestellen.
Alternativ kannst du überprüfen, ob $f^{'''} (x_{1}) \neq 0$ bzw. $f^{'''} (x_{2}) \neq 0$ .
Stärkste Zu- oder Abnahme
Damit eine Wendestelle von $G_{f}$ eine Stelle stärkster Zunahme sein kann, muss der Graph dort überhaupt steigen. Ebenso muss der Graph an einer Stelle stärkster Abnahme fallen.
Ob ein Graph an einer Stelle steigt oder fällt, kannst du mit der Ableitung untersuchen:
$f^{'} (- \sqrt{\frac{8}{3}}) = - 0,5 {(- \sqrt{\frac{8}{3}})}^{3} + 4 \cdot (- \sqrt{\frac{8}{3}}) \approx - 4,35 < 0$
Kandidat für eine Stelle stärkster Abnahme.
$f^{'} (\sqrt{\frac{8}{3}}) = - 0,5 {(\sqrt{\frac{8}{3}})}^{3} + 4 \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 4,35 > 0$
Kandidat für eine Stelle stärkster Zunahme.
Du bist noch nicht am Ziel! Damit es sich um eine Stelle stärkster Zunahme handelt, muss die Steigung dort zugleich maximal sein. Der Graph der Ableitungsfunktion muss dort also einen Hochpunkt besitzen.
Ebenso muss an der Stelle stärkster Abnahme der Graph der Ableitungsfunktion einen Tiefpunkt besitzen.
Übertrage dein Wissen aus der normalen Extrempunktbestimmung:
$G_{f}$ hat einen Hochpunkt bei $x_{E}$ , wenn $f^{'} (x_{E}) = 0$ und $f^{''} (x_{E}) < 0$
Also hat $G_{f^{'}}$ einen Hochpunkt bei $x_{E}$ , wenn $f^{''} (x_{E}) = 0$ und $f^{'''} (x_{E}) < 0$
Die dritte Ableitung ist:
$f^{'''} (x) = - 3 x$
Kandidat für stärkste Zunahme bei $x = \sqrt{\frac{8}{3}}$ :
$f^{'''} (\sqrt{\frac{8}{3}}) = - 3 \cdot \sqrt{\frac{8}{3}} < 0$ also liegt bei $x = \sqrt{\frac{8}{3}}$ tatsächlich ein Hochpunkt von $G_{f^{'}}$ oberhalb der x-Achse und damit eine Stelle stärkster Zunahme von $G_{f}$ .
Du kannst die Rechnung für $x = - \sqrt{\frac{8}{3}}$ wiederholen oder die Symmetrie des Graphen ausnutzen:
Der Graph muss bei $x = - \sqrt{\frac{8}{3}}$ eine Stelle stärkster Abnahme besitzen.
Global stärkste Zu- oder Abnahme
Der Graph hat an diesen Stellen nur Stellen lokal stärkster Zu- bzw. Abnahme, da die Ableitung den Grad $3$ hat und somit die Wertemenge $W_{f^{'}} =] - \infty; \infty [$ ist. Es gibt also an den Rändern unendlich große Werte für die Steigung $f^{'}$ .
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Die Wendestellen sind zugleich Kandidaten für die Stellen, an denen der Graph am steilsten steigt oder fällt.
Da die Ableitung die Steigung des Graphen beschreibt, untersuchst du die Extremstellen der Ableitung.
Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto - 4 x - 2$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $G_{g}$ Tangente an den Graphen $G_{f}$ an der Stelle $x = - 2$ ist. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gleicher Funktionswert
Damit die Gerade den Graphen bei $x = - 2$ berühren kann, müssen die beiden Funktionen dort den gleichen Funktionswert haben:
$f (- 2) = - \frac{1}{8} \cdot (- 2)^{4} + 2 \cdot (- 2)^{2} = 6$
und
$g (- 2) = - 4 \cdot (- 2) - 2 = 6$
Gleiche Steigung
Wenn sich zwei Graphen berühren, bedeutet das, dass Sie an der Berührstelle die gleiche Steigung haben.
Die Steigung der Geraden kann direkt abgelesen werden: $m_{g} = - 4$
Für die Steigung des Graphen von $G_{f}$ musst du den x-Wert $x = - 2$ in die Ableitungsfunktion $f^{'}$ einsetzen:
$f^{'} (- 2) = - \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{3} + 4 \cdot (- 2) = - 4$
Somit handelt es sich bei $G_{g}$ um eine Tangente am Graphen von $G_{f}$ .
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Eine Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Das bedeutet:
Beide müssen durch diesen Punkte verlaufen, also für einen $x$ -Wert $x_{t}$ gilt $f (x_{t}) = g (x_{t})$
Gerade und Graph müssen an dieser Stelle die gleiche Steigung haben.
Die Steigung einer Geraden kannst du direkt ablesen.
Die Steigung von f an einer bestimmten Stelle $x_{t}$ bestimmst du, indem du den Wert in die Ableitung einsetzt, also $f^{'} (x_{t})$
Zeichnen Sie unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_{f}$ für $- 4 \leq x \leq 4$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: $1 LE = 1 cm$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Mithilfe einer Wertetabelle oder der Bestimmung der Randwerte $f (4) = f (- 4)$ kannst du feststellen, dass im vorgegebenen Zeichenbereich für die Funktionswerte $0 \leq y \leq 8$ gilt. Der Graph sollte, wenn du korrekt gezeichnet hast, so aussehen:
(Den Bereich unter der x-Achse musst du nicht mehr zeichnen.)
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Um die volle Punktzahl zu bekommen, musst du beim Zeichnen sehr sorgfältig sein:
Durch die Extremstellen und die Wertemenge (erste Teilaufgabe) weißt du, wie viel Platz du für die y-Achse brauchst.
Fertige eine Wertetabelle mit Werteabstand ("Schrittweite"/"Step") von $0,5$ an, damit du den Graphen möglichst genau zeichnen kannst.
Markiere die Hochpunkte extra, um hier möglichst exakt zu zeichnen.
Verbinde deine Punkte zu einem Graphen und beschrifte diesen mit $G_{f}$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$f^{''} (x)$	$=$	$0$
$- 1,5 x^{2} + 4$	$=$	$0$	$+ 1,5 x^{2}$
$4$	$=$	$1,5 x^{2}$	$: 1,5$
$\frac{8}{3}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Es gibt zwei Lösungen!
$\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$	$=$	$x$

Monotonie und Extremstellen

Lage der Extrempunkte

Wertemenge der Funktion

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Wendestellen ermitteln

Stärkste Zu- oder Abnahme

Global stärkste Zu- oder Abnahme

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Gleicher Funktionswert

Gleiche Steigung

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