Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=x(x-a)(x-2 a), a \neq 0$

Geben Sie die Nullstellen des Graphen von $f_{3}$ an.

Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f_{3}$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion mit Parameter

Nullstellen bestimmen

Ein Produkt ist genau dann $0$ , wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. Also gilt:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Damit sind die Nullstellen: $x_1=0,\;x_2=3,\;x_3=6$

Funktion umformen

Um $f_a(x)$ leichter abzuleiten multiplizieren wir alle Klammern aus:

	$\displaystyle x\left(x-3\right)\left(x-6\right)$
$=$	$\displaystyle x\left(x^2-3x-6x+18\right)$
$=$	$\displaystyle x(x^2-9x+18)$
$=$	$\displaystyle x^3-9x^2+18x$

Ableitungen bilden

Mittels der Potenz- und Summenregel erhalten wir die ersten beiden Ableitungen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Hochpunkt berechnen

Alle Extremstellen sind auch Nullstellen der ersten Ableitung. Wir lösen also:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Um dies zu lösen wenden wir die Mitternachtsformel mit $a=3$ , $b=-18$ und $c=18$ an und erhalten:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{18^2-4\cdot3\cdot18}}{2\cdot 3}$
	↓	Quadrate und Produkte ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{18\pm\sqrt{324-216}}{6}$
	↓	Die Summe auftrennen und kürzen
	$=$	$\displaystyle 3\pm\frac{\sqrt{108}}{6}$
	↓	Die $108$ faktorisieren
	$=$	$\displaystyle 3\pm\frac{\sqrt{3\cdot 36}}{6}$
	↓	Die $36$ aus der Wurzel ziehen und kürzen
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{3}$

Wir setzen nun $x_{1{,}2}$ in $f_3''$ ein. Ist das Ergebnis negativ, so haben wir einen Hochpunkt gefunden:

$\displaystyle f_3''(x_{1{,}2})$	$=$	$\displaystyle 6(3\pm\sqrt{3})-18$
	$=$	$\displaystyle 18\pm6\sqrt{3}-18$
	$=$	$\displaystyle \pm6\sqrt3\overset{!}{<}0$

Da $6\sqrt{3}>0$ ist, ist der einzige Hochpunkt bei $x_H=3-\sqrt{3}$ . Nun rechnen wir noch die $y$ -Koordinate des Hochpunkts aus:

$\displaystyle f_3(x_H)$	$=$	$\displaystyle x_H(x_H-3)(x_H-6)$
	↓	Einsetzen und Summen ausrechnen
	$=$	$\displaystyle (3-\sqrt3)(-\sqrt{3})(-3-\sqrt3)$
	↓	3. Binomische Formel auf die 1. und 3. Klammer anwenden
	$=$	$\displaystyle -\sqrt{3}(-9+3)$
	↓	Summe ausrechnen
	$=$	$\displaystyle 6\sqrt3$

Also ist der Hochpunkt von $f_3$ bei $(3-\sqrt3\mid6\sqrt3)$ .

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Bestimmen Sie den Wert von $a, a \neq 3$ , für den der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[-1 ; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient

Erste Steigung

Um die durchschnittliche Steigung von $f_a$ im Intervall $[-1;0]$ zu finden, nutzen wir den Differenzenquotienten und erhalten:

$\displaystyle m_a$	$=$	$\displaystyle \frac{f_a(0)-f_a(-1)}{0-(-1)}$
	↓	Teilen durch $1$ weglassen
	$=$	$\displaystyle f_a(0)-f_a(-1)$
	↓	$0$ ist eine Nullstelle von $f_a$
	$=$	$\displaystyle -f_a(-1)$
	↓	Formel einsetzen
	$=$	$\displaystyle -(-1)(-1-a)(-1-2a)$
	↓	Aus allen Klammer ein Minus ausklammern
	$=$	$\displaystyle (1+a)(1+2a)$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 1+2a+a+2a^2$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2a^2+3a+1$

Zweite Steigung

Um die durchschnittliche Steigung von $f_3$ zu berechnen, setzen wir in die generelle Formel $a=3$ ein:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Gleichsetzen

Wir setzen nun die beiden Steigung gleich und lösen nach $a$ :

$\displaystyle m_3$	$=$	$\displaystyle m_a$
$\displaystyle 28$	$=$	$\displaystyle 2a^2+3a+1$	$\displaystyle -28$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2a^2+3a-27$

Um dies nach $a$ zu lösen, nutzen wir die Mitternachtsformel:

$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-27)}}{2\cdot2}$
	↓	Potenzen und Produkte ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9+216}}{4}$
	↓	Summe ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{225}}{4}$
	↓	Wurzel ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm 15}{4}$

Also ist $a_1=\dfrac{12}{4}=3$ , was ein guter Konsistenzcheck ist. Damit ist der gesuchte Parameter: $a_2=-\dfrac{18}{4}=-4{,}5$ .

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Begründen Sie, dass für jeden Wert von $a$ die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{-a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Tangente haben. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ableitung
Wir formen zuerst $f_a$ um, damit wir die Ableitung leichter bilden können. Dazu multiplizieren wir alle Klammern aus:
Dann berechnen wir die Ableitung mit der Summen- und Potenzregel:
Parallelität
Die Steigung der Tangente zu $f_a$ bei $x=0$ ist $f_a'(0)$ . Dies können wir einfach ausrechnen: $m_a=f'_a(0)=2a^2$ . Analog ist die Steigung der Tangente zu $f_{-a}$ durch $f_{-a}'(0)$ gegeben:
Also haben beide Tangenten die gleiche Steigung, sind also parallel.
Identisch
Da $x=0$ eine Nullstelle von $f_a$ und von $f_{-a}$ ist, gilt $f_a(0)=0=f_{-a}(0)$ . Da die Tangenten zu $f_{\pm a}$ bei $x=0$ jeweils durch $f_{\pm a}(0)$ laufen, gehen beide durch den Punkt $(0\mid 0)$ . Insbesondere schneiden sich also beide Tangenten. Da sie außerdem parallel sind, müssen sie identisch sein.
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Bilde die Ableitung von $f_a$
Zeige, dass die Tangenten parallel sind
Begründe, warum die Tangenten identisch sein müssen

Zeigen Sie, dass für jeden Wert von $a$ der Graph zu $f_{a}$ durch eine Spiegelung am Punkt $(0|0)$ auf den Graphen von $f_{-a}$ abgebildet wird. (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt $(a \mid 0)$ .
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Beschreibung des Dreiecks
Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.
Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.
Steigung folgern
Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m=\pm1$ .
Parameter finden
Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_a$ bei $x=a$ . Diese ist durch die Ableitung $f_a'(a)$ gegeben. Also gilt:
Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{1{,}2}=\pm1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$ :
Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m=1$ nicht erreicht werden und wir lösen:
Also ist das gebildete Dreieck für $a=\pm1$ gleichschenklig.
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Überlege dir, wie dieses Dreieck aussieht
Folgere, welche Steigung die Tangenten haben muss
Löse nach dem Parameter $a$ auf

Berechnen Sie die Werte von $a$ , sodass die Fläche zwischen dem zugehörigen Graphen von $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0 ; 2]$ den Inhalt 1 hat. (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Stammfunktion berechnen

Da wir im Laufe der Aufgabe das Integral von $f_a$ mehrfach ausrechnen müssen, berechnen wir die Stammfunktion einmal und wenden sie dann wiederholt an.

Zuerst multiplizieren wir $f_a$ aus und erhalten $f_a=x^3-3ax^2+2a^2x$ . Dann ist die Stammfunktion nach der Summen- und Potenzregel:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Intervall auftrennen

Um die Fläche auszurechnen, müssen wir zuerst untersuchen, ob die Funktion im Intervall $]0;2[$ einen Vorzeichenwechsel hat. Da eine Funktion nur in Nullstellen ihr Vorzeichen wechseln kann, untersuchen wir die Nullstellen von $f_a$ .

Diese sind bei $x_1=0,x_2=a,x_3=2a$ .

Die verschiedenen Fälle sind also:

$a\leq0$ : Keine der Nullstellen liegt in $]0;2[$
$0<a<1$ : Die Nullstellen $a$ und $2a$ liegen in $]0;2[$
$1\leq a<2$ : Nur die Nullstelle $a$ liegt in $]0;2[$
$2\leq a$ : Keine der Nullstellen liegen in $]0;2[$

Da die anderen Fälle nicht leicht abzuschätzen sind, berechnen wir diese direkt.

Integrale berechnen

$0<a<1$ :

In diesem Fall trennen wir das Intervall zu $]0;a[\;\cup\;]a;2a[\;\cup\;]2a;2[$ auf. Dementsprechend müssen wir drei Integrale ausrechnen:

Also ist die Fläche im Fall $0<a<1$ :

$\displaystyle A_{0<a<1}$	$=$	$\displaystyle A_1+A_2+A_3$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\displaystyle \|I_1\|+\|I_2\|+\|I_3\|$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}a^4+\frac{1}{4}a^4+4(a-1)^2$
	↓	Zusammenfassen und die 2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}a^4+4(a^2-2a+1)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}a^4+4a^2-8a+4$

$1\leq a<2$ :

Wir trennen das Intervall zu $]0;a[\;\cap\;]a,2[$ auf.

Um nun die Fläche auszurechnen, müssen wir überprüfen, ob die Integrale positiv oder negativ sind. Das erste Integral ist offensichtlich nicht-negativ, da $a^4$ nicht-negativ ist. Das zweite Integral ist etwas komplizierter. Wir berechnen zuerst den Wert des Integrals für $a=1$ :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Da wir unsere Intervalle so gewählt haben, dass die Funktion auf ihnen konstant negativ oder positiv ist, muss also $I_2'<0$ für das gesamte Intervall, also $1\leq a<2$ , gelten. Also ist:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle A_1'+A_2'$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\displaystyle \|I_1'\|+\|I_2'\|$
	↓	Einsetzen der Integrale, wobei das zweite Integral invertiert werden muss
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}a^4+\frac{1}{4}a^4-4a^2+8a-4$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}a^4-4a^2+8a-4$

Lösen nach $a$

Wir setzen nun die Formeln der Fläche gleich $1$ und lösen nach $a$ . Da wir Polynome vom Grad $4$ nicht per Hand lösen können, lassen wir den Taschenrechner für uns rechnen. Nutze dazu den Befehl "nSolve".

Im ersten Fall liefert das: $a_1\approx 0{,}508$ und $a_2\approx 1{,}158$ .

Da wir im ersten Fall aber $0<a<1$ haben, ist der gesuchte Wert $a_1\approx 0{,}51$ .

Im zweiten Fall liefert der Rechner: $a_1\approx -3{,}629$ und $a_2\approx 1{,}267$ . Da wir hier $1\leq a<2$ haben, ist der gesuchte Wert $a_2\approx 1{,}27$ .

Also sind die Werte für $a$ , sodass die Fläche zwischen $f_a$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;2]$ die Größe $1$ hat: $a_1\approx 0{,}51$ und $a_2\approx 1{,}27$ .

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Berechnen Sie die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von $f_{a}$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Ableitungen bilden

Wir multiplizieren die Funktion aus und berechnen die Ableitungen mit der Summen- und Potenzregel:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Extremstellen finden

Extremstellen sind immer Nullstellen der ersten Ableitung. Diese Nullstellen finden wir mit der Mitternachtsformel:

Wir setzen die Werte für $a,b,c$ in die Mitternachtsformel ein
	↓
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{6a\pm\sqrt{36a^2-24a^2}}{6}$
	↓	Zusammenfassen und kürzen
	$=$	$\displaystyle a\pm\frac{\sqrt{12}a}{6}$
	↓	$12$ in Faktoren aufteilen
	$=$	$\displaystyle a\pm\frac{\sqrt{4\cdot 3}a}{6}$
	↓	Die $4$ aus der Wurzel ziehen
	$=$	$\displaystyle a\pm\frac{2\sqrt{3}a}{6}$
	↓	Kürzen und $\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}$
	$=$	$\displaystyle a\pm\frac{1}{\sqrt{3}}a$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle a+\frac{1}{\sqrt{3}}a$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle a-\frac{1}{\sqrt{3}}a$

Tiefpunkt finden

Bei einem Tiefpunkt ist die zweite Ableitung positiv. Wir setzen also unsere Extremstellen in $f_a''(x)$ ein und testen, ob $f''_a$ positiv ist.

$\displaystyle f_a''(x_1)$	$=$	$\displaystyle 6\left(a+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)-6a$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 6a+\frac{6}{\sqrt{3}}a-6a$
	↓	Zusammenfassen und kürzen
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{3}a$

Genau gleich erhält man für $f_a''(x_2)=-2\sqrt{3}a$

Für $a<0$ ist also $x_2$ die gesuchte Stelle, bei $a>0$ ist es $x_1$ .

Werte ausrechnen

Um die $y$ -Koordinaten auszurechnen, setzen wir $x_{1{,}2}$ in die Funktion ein:

$\displaystyle f_a(x_1)$	$=$	$\displaystyle \left(a+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\left(\left(a+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)-a\right)\left(\left(a+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)-2a\right)$
	↓	Zusammenfassen und $a$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle a^3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)$
	↓	3. Binomische Formel auf die äußeren Klammern anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}a^3\left(\frac{1}{3}-1\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3\sqrt{3}}a^3$

Für $f(x_2)$ ergibt der gleiche Rechenweg $f_a(x_2)=\frac{2}{3\sqrt{3}}a^3$ .

Also ist der Tiefpunkt von $f_a(x)$ bei $TP\left(a+\frac{a}{\sqrt{3}}\mid -\frac{2}{3\sqrt{3}}a^3\right)$ falls $a>0$ . Für $a<0$ liegt er bei $TP\left(a-\frac{a}{\sqrt{3}}\mid \frac{2}{3\sqrt{3}}a^3\right)$ .

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Betrachtet wird nun die Funktion $f_{3}$ .

Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von $f_{3}$ eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von $f_{3}$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[0 ; 3]$ eine Fläche ein.

Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen. (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Tangente finden

In der vorherigen Teilaufgabe haben wir bereits den Tiefpunkt von $f_a$ gefunden. Wir müssen also nur $a=3$ setzen und erhalten:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Da die Stelle des Tiefpunkts eine Nullstelle der ersten Ableitung ist, ist die Steigung der Tangente einfach $0$ .

Da die Tangente durch den Tiefpunkt gehen muss, ist sie einfach die konstante Funktion: $t(x)=-6\sqrt{3}$ .

Schnittpunkte finden

Um die Schnittpunkte zu finden, setzen wir die Funktionen gleich:

$\displaystyle t(x)$	$=$	$\displaystyle f_3(x)$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle -6\sqrt{3}$	$=$	$\displaystyle x^3-9x^2+18x$	$\displaystyle +6\sqrt{3}$
	↓	Alles auf eine Seite bringen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-9x^2+18x+6\sqrt{3}$
	↓	Diese Gleichung kann der TR lösen. Alternativ kann mit der Polynomdivision von Hand weitergerechnet werden:
	$=$	$\displaystyle (x-(3+\sqrt{3}))\left(x^2-(6-\sqrt{3})x+(3-3\sqrt{3})\right)$

Erste Fläche berechnen

$\displaystyle I_1$	$=$	$\displaystyle \int_{x_2}^{x_1}f_3(x)-t(x)\;dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{3-2\sqrt{3}}^{3+\sqrt{3}}x^3-9x^2+18x+6\sqrt{3}\;dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4-3x^3+9x^2+6\sqrt{3}x\right]_{3-2\sqrt{3}}^{3+\sqrt{3}}$
	↓	TR
	$=$	$\displaystyle \frac{243}{4}$

Zweite Fläche berechnen

Da die Nullstellen von $f_3$ nicht im Intervall $]0{,}3[$ liegen, müssen wir das Integral nicht auftrennen.

$\displaystyle A_2$	$=$	$\displaystyle \int_0^3f_3(x)dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4-3x^3+9x^2\right]_0^3$
	$=$	$\displaystyle \frac{81}{4}-3\cdot27+9\cdot9$
	$=$	$\displaystyle \frac{81}{4}$

Verhältnis ausrechnen

Das Verhältnis ist:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f_3(x)=0&\Leftrightarrow x(x-3)(x-2\cdot3)=0\\&\Leftrightarrow x=0\lor x-3=0\lor x-6=0\end{aligned}

Also ist die Fläche zwischen $f_3$ und $t$ $3$ -mal so groß, wie die Fläche unter $f_3$ im Intervall $[0{,}3]$ .

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$\displaystyle -f_a(-x)$	$=$	$\displaystyle -(-x)(-x-a)(-x-2a)$
	↓	Aus jeder Klammer ein Minus ausklammern
	$=$	$\displaystyle x(x+a)(x+2a)$
	↓	Wir brauchen ein Minus in der Klammer, daher ersetzen wir Plus mit einem doppelten Minus
	$=$	$\displaystyle x(x-(-a))(x-(-2a))$
	↓	Dies ist genau die Form unserer Funktionenschar
	$=$	$\displaystyle f_{-a}(x)$

Aufgabe 1B

Nullstellen bestimmen

Funktion umformen

Ableitungen bilden

Hochpunkt berechnen

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Erste Steigung

Zweite Steigung

Gleichsetzen

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Ableitung

Parallelität

Identisch

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Spiegelung um den Ursprung

Anwendung auf den Graphen

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Beschreibung des Dreiecks

Steigung folgern

Parameter finden

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Stammfunktion berechnen

Intervall auftrennen

Integrale berechnen

Lösen nach $a$

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Ableitungen bilden

Extremstellen finden

Tiefpunkt finden

Werte ausrechnen

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Tangente finden

Schnittpunkte finden

Erste Fläche berechnen

Zweite Fläche berechnen

Verhältnis ausrechnen

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Aufgabe 1B

Nullstellen bestimmen

Funktion umformen

Ableitungen bilden

Hochpunkt berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Erste Steigung

Zweite Steigung

Gleichsetzen

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Ableitung

Parallelität

Identisch

Hast du eine Frage oder Feedback?

Spiegelung um den Ursprung

Anwendung auf den Graphen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Beschreibung des Dreiecks

Steigung folgern

Parameter finden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Stammfunktion berechnen

Intervall auftrennen

Integrale berechnen

Lösen nach aaa

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ableitungen bilden

Extremstellen finden

Tiefpunkt finden

Werte ausrechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Tangente finden

Schnittpunkte finden

Erste Fläche berechnen

Zweite Fläche berechnen

Verhältnis ausrechnen

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Lösen nach $a$