Teil A: Pflichtteil

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1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot e^{2 x + 1}, x \in ℝ .$
1. Weisen Sie nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1} .$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Weise nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
  Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel:
  $(u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
  Es ist $u (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}$ und $v (x) = e^{2 x + 1}$
  Dann ist $u^{'} (x) = x - \frac{1}{2}$ und $v^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x + 1}$
  Setze in die Formel für die Produktregel ein.
  Dann folgt:
  $f^{'} (x) = (x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
  Vereinfache die Ableitung:
  $f^{'} (x)$ $=$ $(x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
  ↓
  Klammere $e^{2 x + 1}$ aus. Multipliziere die $2$ in die hintere Klammer.
  $=$ $e^{2 x + 1} (x - \frac{1}{2} + x^{2} - x - \frac{7}{2})$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $=$ $e^{2 x + 1} (x^{2} - 4)$
  Damit ist gezeigt, dass gilt: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
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  Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel.
2. Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Untersuche die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen
  Eine lokale Extremstelle $x_{E}$ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung: $f^{'} (x_{E} ) = 0$ .
  Es gilt: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
  $f^{'} (x_{E} ) = 0 \Rightarrow 0 = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
  Zur Lösung der Gleichung verwende den Satz vom Nullprodukt:
  $e^{2 x + 1}$ ist für alle $x \neq 0$ .
  Dann bleibt nur der andere Term, der null werden kann:
  $x^{2} - 4 = 0$ $\Rightarrow$ $x_{E_{1}} = - 2$ und $x_{E_{2}} = 2$
  Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_{E} $ bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion.
  Gegebenen ist $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1} .$
  Das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ wird vom Faktor $(x^{2} - 4)$ bestimmt, da $e^{2 x + 1}$ für alle $x \in ℝ > 0$ ist.
  Für $x_{E_{1}} = - 2$ gilt: $- 3 \leq x_{E_{1}} \leq 0$ und für $x_{E_{2}} = 2$ gilt: $0 \leq x_{E_{2}} \leq 3$ .
  Berechne die Ableitungen an den Stellen $x = - 3$ , $x = 0$ und $x = 3$ .
  Betrachte nur den Term $(x^{2} - 4)$ :
  $((- 3)^{2} - 4) = 9 - 4 = 5 > 0 \Rightarrow f^{'} (- 3) > 0$
  $(0^{2} - 4) = - 4 < 0 \Rightarrow f^{'} (0) < 0$
  $(3^{2} - 4) = 9 - 4 = 5 > 0 \Rightarrow f^{'} (3) > 0$
  An der Stelle $x_{E_{1}} = - 2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $+ \to -$ , d.h. bei $x_{E_{1}} = - 2$ liegt ein lokales Maximum vor.
  An der Stelle $x_{E_{2}} = 2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $- \to +$ , d.h. bei $x_{E_{2}} = 2$ liegt ein lokales Minimum vor.
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  Eine lokale Extremstelle $x_{E}$ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der ersten Ableitung. Berechne $f^{'} (x_{E} ) = 0$ .
  Bestimme mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_{E} $ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = a x^{3} + a x^{2}$ und $a \in ℝ, a > 0$ .
1. Geben Sie den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
  Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein:
  $6 = a \cdot 1^{3} + a \cdot 1^{2} = 2 \cdot a \Rightarrow a = 3$
  Für $a = 3$ liegt der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
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  Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein.
2. Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{a}$ mit der $x$ -Achse einschließt. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
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  Berechne die Nullstellen von $f_{a} (x)$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
  Berechne das Integral $\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{a} (x) d x$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), r, s \in ℝ .$
1. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
  $[$ Mögliche Lösung: $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ . $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Ermittele eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform
  Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
  Mit $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$ folgt dann:
  $E : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) = 0$
  Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.
  $E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - (1 \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1)) = 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0$
  $E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0 \Rightarrow E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = 4$
  Wird die Gleichung noch mit $- 1$ multipliziert, erhält man, wie angegeben:
  $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$
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  Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.
  Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.
2. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}), t \in ℝ .$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$
  Gegeben sind $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Setze $g$ in $E$ ein:
  $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3}$ $=$ $- 4$
  ↓
  Setze $g$ in $E$ ein.
  $- 3 (- 1 - 3 t) + 2 (- 2 + 2 t) + (- 3 + t)$ $=$ $- 4$
  ↓
  Löse die Klammern auf.
  $3 + 9 t - 4 + 4 t - 3 + t$ $=$ $- 4$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $14 t - 4$ $=$ $- 4$ $+ 4$
  $14 t$ $=$ $0$ $: 14$
  $t$ $=$ $0$
  Setze $t = 0$ in $g$ ein:
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$
  Die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$ sind:
  $S (- 1 | - 2 | - 3)$
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  Setze $g$ in $E$ ein $\Rightarrow t_{1}$ .
  Setze $t_{1}$ in $g$ ein.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Ein Glücksrad ist in $20$ gleich große Sektoren unterteilt, die jeweils entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ , wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.
1. Begründen Sie, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Begründe, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben
  Die Wahrscheinlichkeit für einmal Drehen "Blau" ist $p$ . Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Drehen "Gelb" gleich $1 - p$ .
  Es ist $σ = \sqrt{100 \cdot p \cdot (1 - p)}$ . Die ist die Standardabweichung sowohl für $X$ ("Blau") als auch für $Y$ ("Gelb").
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  Die Wahrscheinlichkeit für einmal Drehen "Blau" ist $p$ . Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Drehen "Gelb" gleich $1 - p$ .
  Schreibe $σ$ für $n = 100$ auf.
2. Der Erwartungswert von $X$ ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
  Abbildung
  Bestimmen Sie die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads
  Der Erwartungswert ist der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen. Der höchste Balken ist bei der Zahl $75$ .
  $\Rightarrow E (X) = 75$
  Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $n$ und $p$ definiert.
  $\Rightarrow E (X) = n \cdot p = 100 \cdot p$ und $p = \frac{b}{20}$ , wenn $b$ die Anzahl der blauen Sektoren ist.
  $\Rightarrow E (X) = 100 \cdot \frac{b}{20}$
  Setze die beiden Gleichungen einander gleich und berechne $b$ :
  $75$ $=$ $100 \cdot \frac{b}{20}$ $\cdot 20$
  ↓
  Löse nach $b$ auf.
  $1500$ $=$ $100 \cdot b$ $: 100$
  $\frac{1500}{100}$ $=$ $b$
  ↓
  Kürze.
  $15$ $=$ $b$
  Das Glücksrad hat $15$ blaue Sektoren.
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  Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert $E (X)$ . Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen.
  Weiterhin gilt: $E (X) = n \cdot p = 100 \cdot p$ und $p = \frac{b}{20}$ , wenn $b$ die Anzahl der blauen Sektoren ist.
  Setze den abgelesenen Wert für $E$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$(x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
	↓	Klammere $e^{2 x + 1}$ aus. Multipliziere die $2$ in die hintere Klammer.
	$=$	$e^{2 x + 1} (x - \frac{1}{2} + x^{2} - x - \frac{7}{2})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$e^{2 x + 1} (x^{2} - 4)$

$E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$- 4$
	↓	Setze $g$ in $E$ ein.
$- 3 (- 1 - 3 t) + 2 (- 2 + 2 t) + (- 3 + t)$	$=$	$- 4$
	↓	Löse die Klammern auf.
$3 + 9 t - 4 + 4 t - 3 + t$	$=$	$- 4$
	↓	Fasse zusammen.
$14 t - 4$	$=$	$- 4$	$+ 4$
$14 t$	$=$	$0$	$: 14$
$t$	$=$	$0$

$75$	$=$	$100 \cdot \frac{b}{20}$	$\cdot 20$
	↓	Löse nach $b$ auf.
$1500$	$=$	$100 \cdot b$	$: 100$
$\frac{1500}{100}$	$=$	$b$
	↓	Kürze.
$15$	$=$	$b$

Teil A: Pflichtteil

Aufgabe 1

Weise nach: f′(x)=(x2−4)⋅e2x+1

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Untersuche die Funktion f auf lokale Extremstellen

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Aufgabe 2

Gib den Wert von a an, sodass der Punkt (1|6) auf dem Graphen von fa liegt

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Aufgabe 3

Ermittele eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene E und der Gerade g

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Aufgabe 4

Begründe, dass X und Y die gleiche Standardabweichung haben

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Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads

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Weise nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$

Untersuche die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen

Gib den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt

Ermittele eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$

Begründe, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben