Teil A: Pflichtteil

Weise nach: $f^{\prime }(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel:

$(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Es ist $u(x)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}$ und $v(x)={\mathrm{e}}^{2x+1}$

Dann ist $u^{\prime }(x)=x-\frac{1}{2}$ und $v^{\prime }(x)=2\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

Setze in die Formel für die Produktregel ein.

Dann folgt:

$f^{\prime }(x)=(x-\frac{1}{2})\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}+(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4})\cdot 2\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

Vereinfache die Ableitung:

Damit ist gezeigt, dass gilt: $f^{\prime }(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

Untersuche die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen

Eine lokale Extremstelle $x_E$​ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung: $f^{\prime }(x_E\text{})=0$.

Es gilt: $f^{\prime }(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

$f^{\prime }(x_E\text{})=0\Rightarrow 0=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}$

Zur Lösung der Gleichung verwende den Satz vom Nullprodukt:

${\mathrm{e}}^{2x+1}$ ist für alle $x\ne 0$.

Dann bleibt nur der andere Term, der null werden kann:

$x^2-4=0$$\Rightarrow$ $x_{E_1}=-2$ und $x_{E_2}=2$

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_E\text{}$ bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion.

Berechne die Ableitungen an den Stellen $x=-3$, $x=0$ und $x=3$.

$f^{\prime }(-3)=((-3{)}^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2\cdot (-3)+1}=5\cdot {\mathrm{e}}^{-5}>0$

$f^{\prime }(0)=(0^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2\cdot 0+1}=-4\cdot {\mathrm{e}}^1<0$

$f^{\prime }(3)=(3^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2\cdot 3+1}=5\cdot {\mathrm{e}}^7>0$

An der Stelle $x_{E_1}=-2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -$, d.h. bei$x_{E_1}=-2$ liegt ein lokales Maximum vor.

An der Stelle $x_{E_2}=2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $-\mapsto +$, d.h. bei$x_{E_2}=2$ liegt ein lokales Minimum vor.

Gib den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1|6)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt

Setze den Punkt $(1|6)$ in $f_a(x)$ ein:

$6=a\cdot 1^3+a\cdot 1^2=2\cdot a\Rightarrow a=3$

Für $a=3$ liegt der Punkt $(1|6)$ auf dem Graphen von $f_a$.

Ermittele eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ -2\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Mit $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ folgt dann:

$E:(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)=0$

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.

$E:3x_1-2x_2-x_3-(1\cdot 3+(-2)\cdot (-2)+3\cdot (-1))=3x_1-2x_2-x_3-4=0$

$E:3x_1-2x_2-x_3-4=0\Rightarrow E:3x_1-2x_2-x_3=4$

Wird die Gleichung noch mit $-1$ multipliziert, erhält man, wie angegeben:

$E:-3\cdot x_1+2\cdot x_2+x_3=-4$

Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$

Gegeben sind $E:-3\cdot x_1+2\cdot x_2+x_3=-4$ und $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Setze $g$ in $E$ ein:

Setze $t=0$ in $g$ ein:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$ sind:

$S(-1|-2|-3)$

Begründe, dass $X$ und $Y$die gleiche Standardabweichung haben

Es gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ mit $n=20$.

Die Anzahl der blauen Sektoren ist $b\Rightarrow p_{\text{blau}}={\displaystyle \frac{b}{20}}$.

Dann ist:

$(1-p_{\text{blau}})=1-{\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{gelb}}\Rightarrow 1-p_{\text{gelb}}={\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{blau}}$

Eingesetzt in die $\sigma$-Gleichung folgt:

${\sigma }_{\text{blau}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{blau}}\cdot (1-p_{\text{blau}})}=\sqrt{n\cdot (1-p_{\text{gelb}})\cdot p_{\text{gelb}}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{gelb}}\cdot (1-p_{\text{gelb}})}={\sigma }_{\text{gelb}}$

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads

Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $75$.

$\Rightarrow E(X)=75$

Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $n$ und $p$ definiert.

$\Rightarrow E(X)=n\cdot p=100\cdot p$

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

Die Zufallsvariable $X$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ von $\mathrm{0,75}$. Da das Glücksrad insgesamt $20$ gleich große Felder hat, müssen $20\cdot \mathrm{0,75}=15$ davon blau sein.