Aufgaben zu linearen Funktionen als Geraden im Koordinatensystem

Wie gut kennst du dich mit Geraden aus? Lerne mit diesen Übungsaufgaben, lineare Funktionen als Geraden zu untersuchen!

1
Finde die Gerade
Wähle die Gerade $y = - x + 3$ aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden im Koordinatensystem
Lösung
Gerade $y = - x + 3$
Bestimme die Steigung aus der Geradengleichung. Welche Geraden kommen überhaupt infrage?
Bestimme den y-Achsenabschnitt aus der Geradengleichung. Welche kommen nun noch infrage?

Zeichne die Geraden $\mathrm y=3\mathrm x-2$ und $\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

$\mathrm y=3\mathrm x-2$

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

$\displaystyle 3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\frac{3}{4}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $\mathrm x_\mathrm N=\frac43$ eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

$\displaystyle 3\mathrm{x}-2$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$\displaystyle +\frac{3}{4}x\ +2$
$\displaystyle 3\mathrm{x}+\frac{3}{4}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle 3{,}75x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :3{,}75$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3{,}75}$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $x_{S}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}8-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}4-2$
$\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$

Der Schnittpunkt liegt bei $S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$ .

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3
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Koordinatenachsen und der Gerade $g:y=\frac23x+5$ eingeschlossen wird.
Schreibe dein Ergebnis ohne Flächeneinheiten in das Antwortfeld.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche
Dreiecksfläche
Da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als Grundlinie und Höhe der Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche benutzt werden.
Höhe ermittlen
g: $y=\frac23x+5$
Der y-Achsenabschnitt ist als t der Geradengleichung gegeben.
Die Gerade schneidet die y-Achse also in (0|5).
Mit der x-Achse als Grundline ergibt sich der Abstand des Punktes zum Ursprung als Höhe.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Höhe h = $\sqrt{5^2 - 0^2} = 5$
Grundlinie berechnen
Für die Angabe der Grundlinie muss der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet werden. Setze y dafür 0.
$0=\frac23x+5$
Nach x auflösen. $\left|{-5}\right.$
$\frac23x=-5$
$\left|{:\frac23}\right.$
$x=-\frac{15}2=-7{,}5$
Die Gerade schneidet die x-Achse also in (-7,5|0)
Der Abstand dieses Punktes zum Ursprung ist also die Länge der Grundlinie.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Grundlinie g ist $\sqrt{(-7{,}5)^2 +0^2}=7{,}5$ .
Fläche berechnen
Setze Grundlinie und Höhe in die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;A=\frac{5\cdot7{,}5}2=18{,}75\mathrm{FE}$
FE steht für "Flächeneinheiten".
Skizze zur Veranschaulichung
4
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Gerade durch $\mathrm P\left(2{,}5 |0\right)$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Dreieck
Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig. Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).
Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: $Q_1 (0|2{,}5)$ und $Q_2 (0| -2{,}5)$ . Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.
Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für $Q_{1}$ mit der Steigung $- 1$ und eines für $Q_{2}$ mit der Steigung $1$ .
Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen $m_{1} = - 1$ und $m_{2} = 1$ auf.

Bestimme für welche x-Werte $f\left(x\right)>0$ gibt.

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0{,}4\mathrm x+1$

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-1{,}5\left(\mathrm x-2\right)$

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}5-\frac75$

6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:
1. $\mathrm y=-1$
  Die Gerade liegt senkrecht im Koordinatensystem.
  Die Gerade liegt waagerecht im Koordinatensystem.
  Die Gerade hat die Steigung 1.
  Die Gerade ist eine Horizontale, die die y-Achse beim Wert -1 schneidet.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
  Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von $x$ ab. Jeder der $x$ -Werte hat den $y$ -Wert $- 1$ .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.
  $\Rightarrow y=-1$ beschreibt also eine Gerade mit Steigung $0$ durch den Punkt $(0, - 1)$ .
  So sieht der Graph aus:
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2. $\mathrm x+\mathrm y=-2$
  Die Gerade steigt.
  Die Gerade fällt.
  Die Gerade geht durch den Punkt $P (0 ∣ - 2)$ .
  Die Gerade geht durch den Punkt $P (- 2 ∣ 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
  $y + x = - 2$
  Forme um, sodass $y$ alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.
  $y = - x - 2$
  Lese die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ ab.
  Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung $m = - 1$ und dem y-Achsenabschitt $t = - 2$ (Sie geht durch den Punkt $(0, - 2)$ ) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um $2$ nach unten verschoben.
  So sieht der Graph aus:
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Gegeben sind die Geraden $g$ : $y = 2 x - 3$ und $h$ : $y = - 0,5 x + 4$ .

Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Gib ihn in der Form "(x;y)" in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: $(2,5; 3)$

Berechne die Fläche, des Dreiecks, das von $g$ und $h$ und der $y$ -Achse gebildet wird.

Die Grundlinie g des Dreiecks ist $7$
Hier nimmt man ausgehend von der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks den Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit der $y$ -Achse als Grundlinie. Diese Schnittpunkte werden mit dem Buchstaben $t$ gekennzeichnet. Bei den gegebenen Geraden liegt der Bereich also zwischen $- 3$ und $4$ $\Rightarrow$ $g = 7$
Die Höhe h ist 2,8
Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundlinie und ist somit parallel zur x-Achse. Damit entspricht er der Länge vom Ursprung zu dem $x -$ Wert des Schnittpunktes beider Geraden.
$\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{7\cdot2{,}8}{2}=9{,}8$
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8
Gegeben sind die drei Punkte $A (- 2 ∣ 1)$ , $B (6 ∣ 1)$ und $C (4 ∣ 5)$ .
1. Stelle die Gleichung der Geraden $A B$ , $A C$ und $B C$ auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Gerade AB:
  $A = (- 2 ∣ 1)$ und $B = (6 ∣ 1)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{1-1}{6-(-2)}=\frac{0}{8}=0$
  Die Gerade ist also parallel zur $x$ -Achse.
  Der y-Achsenabschnitt $t$ ist also gleich der $y$ -Koordinate der beiden Punkte.
  $t = 1$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y=mx+t=0\cdot x+1=1$
  Gerade AC:
  $A = (- 2 ∣ 1)$ und $C = (4 ∣ 5)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{5-1}{4-(-2)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
  Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
  $y = m x + t$
  Setze einen Punkt, z.B. $A$ ein.
  $1=\frac{2}{3}(-2)+t$
  Löse nach $t$ auf.
  $t=1-(\frac{-4}{3})=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y=mx+t=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$
  Gerade BC:
  $B = (6 ∣ 1)$ und $C = (4 ∣ 5)$
  Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.
  $m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$
  Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
  $y = m x + t$
  Setze einen Punkt, z.B. $B$ ein.
  $1=-2\cdot 6+t$
  Löse nach t auf.
  $t=1-(-2)\cdot 6=1+12=13$
  Setze zur Geradengleichung zusammen.
  $y = m x + t = - 2 x + 13$
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2. Berechne den Umfang des Dreiecks $A B C$ .
  LE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand von Punkten berechnen
  Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.
  $d(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
  Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.
  Seite AB:
  $\Delta x=-2-6=-8$
  $\Delta y=1-1=0$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,B)=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8$
  Diese Seite hat also Länge 8.
  Seite AC:
  $\Delta x=-2-4=-6$
  $\Delta y=1-5=-4$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,C)=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}$ $=\sqrt{52}\approx7{,}21$
  Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.
  Seite BC:
  $\Delta x=6-4=2$
  $\Delta y=1-5=-4$
  Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
  $d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47$
  Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.
  $\Rightarrow$ Der Umfang ist gleich 8 + 7,2 + 4,5 = 19,7.
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3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  $A=\frac{1}{2}\cdot \text{Höhe}\cdot \text{Grundseite}$
  Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.
  Höhe h ist gleich dem Abstand von $C$ zu $A B$ .
  Da die Höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinaten.
  Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist $h = 5 - 1 = 4$
  Eingesetzt in die Formel ergibt das: $A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze den Funktionsterm ein.
$\displaystyle 0{,}4x+1$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
	↓	Sortiere nach x-Termen und Zahlen.
$\displaystyle 0{,}4x$	$>$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :0{,}4$
	↓	Löse nach $x$ auf (beachte $0,4 > 0$ , also bleibt das Ungleichheitszeichen).
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle -\frac{1}{0{,}4}=-2{,}5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Funktionsgleichung einsetzen.
$\displaystyle -1{,}5(x-2)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle -1{,}5x+3$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
	↓	Nach $x$ -Termen und Zahlen sortieren.
$\displaystyle -1{,}5x$	$>$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\left(-1{,}5\right)$
	↓	Nach $x$ auflösen. Achtung $- 1,5 < 0$ , drehe also das Ungleichheitszeichen.
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Funktionsgleichung einsetzen.
$\displaystyle \frac{x}{5}-\frac{7}{5}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{7}{5}$
	↓	Sortiere nach x-Termen und Zahlen.
$\displaystyle \frac{x}{5}$	$>$	$\displaystyle \frac{7}{5}$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Nach x auflösen (5>0, also keine Änderung am Ungleichungszeichen)
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 7$

$\displaystyle 2x-3$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x+4$	$\displaystyle +0{,}5x\ \|+3$
$\displaystyle 2{,}5x$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}8$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2{,}8-3$
	↓	Beachte "Punkt vor Strich"
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 5{,}6-3=2{,}6$

Aufgaben zu linearen Funktionen als Geraden im Koordinatensystem

Finde die Gerade

Lösung

Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

Dreiecksfläche

Höhe ermittlen

Grundlinie berechnen

Fläche berechnen

Skizze zur Veranschaulichung

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Gerade AB:

Gerade AC:

Gerade BC:

m=5−14−6=4−2=−2m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2m=4−65−1​=−24​=−2

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Seite AB:

Δx=−2−6=−8\Delta x=-2-6=-8Δx=−2−6=−8

Δy=1−1=0\Delta y=1-1=0Δy=1−1=0

Seite AC:

Δx=−2−4=−6\Delta x=-2-4=-6Δx=−2−4=−6

Δy=1−5=−4\Delta y=1-5=-4Δy=1−5=−4

Seite BC:

Δx=6−4=2\Delta x=6-4=2 Δx=6−4=2

Δy=1−5=−4\Delta y=1-5=-4Δy=1−5=−4

d(A,C)=22+(−4)2=4+16=20≈4,47d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47d(A,C)=22+(−4)2​=4+16​=20​≈4,47

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$m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$

$\Delta x=-2-6=-8$

$\Delta y=1-1=0$

$\Delta x=-2-4=-6$

$\Delta y=1-5=-4$

$\Delta x=6-4=2$

$\Delta y=1-5=-4$

$d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4{,}47$