Aufgaben zu linearen Funktionen als Geraden im Koordinatensystem

$f(x)$ ist also für $x<2$ größer Null.

Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von $x$ ab. Jeder der $x$-Werte hat den $y$-Wert $-1$ .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.

$\Rightarrow y=-1$ beschreibt also eine Gerade mit Steigung $0$ durch den Punkt $(0,-1)$.

So sieht der Graph aus:

So sieht der Graph aus:

g: $y=2x-3$   und  h: $y=-\mathrm{0,5}x+4$

Die Geraden gleichsetzen, um den $x$-Wert der Schnittstelle zu erhalten.

Der x-Wert muss nun in eine der Geraden eingesetzt werden, um den y-Wert des Schnittpunktes zu erhalten.

Der Schnittpunkt der Geraden: $S(\mathrm{2,8}|\mathrm{2,6})$

Die Grundlinie g des Dreiecks ist $7$

Hier nimmt man ausgehend von der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks den Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit der $y$-Achse als Grundlinie. Diese Schnittpunkte werden mit dem Buchstaben $t$ gekennzeichnet. Bei den gegebenen Geraden liegt der Bereich also zwischen $-3$ und $4$  $\Rightarrow$   $g=7$

Die Höhe h ist 2,8

Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundlinie und ist somit parallel zur x-Achse. Damit entspricht er der Länge vom Ursprung zu dem $x-$Wert des Schnittpunktes beider Geraden.

$\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{7\cdot \mathrm{2,8}}{2}=\mathrm{9,8}$

Gerade AB:

$A=(-2|1)$ und $B=(6|1)$

Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.

$m=\frac{1-1}{6-(-2)}=\frac{0}{8}=0$

Die Gerade ist also parallel zur $x$-Achse.

Der y-Achsenabschnitt $t$ ist also gleich der $y$-Koordinate der beiden Punkte.

$t=1$

Setze zur Geradengleichung zusammen.

$y=mx+t=0\cdot x+1=1$

Gerade AC:

$A=(-2|1)$ und $C=(4|5)$

Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.

$m=\frac{5-1}{4-(-2)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.

$y=mx+t$

Setze einen Punkt, z.B. $A$ ein.

$1=\frac{2}{3}(-2)+t$

Löse nach $t$ auf.

$t=1-(\frac{-4}{3})=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$

Setze zur Geradengleichung zusammen.

$y=mx+t=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$

Gerade BC:

$B=(6|1)$ und $C=(4|5)$

Bestimme die Steigung $m$ mit dem Differenzenquotienten.

$m=\frac{5-1}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$

Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.

$y=mx+t$

Setze einen Punkt, z.B. $B$ ein.

$1=-2\cdot 6+t$

Löse nach t auf.

$t=1-(-2)\cdot 6=1+12=13$

Setze zur Geradengleichung zusammen.

$y=mx+t=-2x+13$

Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.

$d(P_1,P_2)=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$

Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.

Seite AB:

$\mathrm{\Delta }x=-2-6=-8$

$\mathrm{\Delta }y=1-1=0$

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

$d(A,B)=\sqrt{(-8{)}^2+0^2}=\sqrt{64}=8$

Diese Seite hat also Länge 8.

Seite AC:

$\mathrm{\Delta }x=-2-4=-6$

$\mathrm{\Delta }y=1-5=-4$

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

$d(A,C)=\sqrt{(-6{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{36+16}$ $=\sqrt{52}\approx \mathrm{7,21}$

Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.

Seite BC:

$\mathrm{\Delta }x=6-4=2$

$\mathrm{\Delta }y=1-5=-4$

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

$d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx \mathrm{4,47}$

Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.

$\Rightarrow$ Der Umfang ist gleich 8 + 7,2 + 4,5 = 19,7.

$A=\frac{1}{2}\cdot \text{Höhe}\cdot \text{Grundseite}$

Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.

Höhe h ist gleich dem Abstand von $C$ zu $AB$.

Da die Höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinaten.

Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist $h=5-1=4$

Eingesetzt in die Formel ergibt das: $A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16$