Aufgaben zu Extremwerten bei quadratischen Termen

…

Ergänze quadratisch.

$x^2\;+\;5x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

	$\displaystyle x^2+5x+2$
	↓ Finde die Hälfte des Mischterms
$=$	$\displaystyle x^2+2x\cdot\frac{5}{2}+2$
	↓ Erweitere quadratisch mit $\left(\frac52\right)^2$
$=$	$\displaystyle \Bigl(x^2\;+\;2x\cdot\frac52+\left(\frac52\right)^2\Bigr)-\left(\frac52\right)^2+2$
	↓ Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen
$=$	$\displaystyle \left(x+\frac52\right)^2\;-6{,}25+2$
	↓ Fasse Summe zusammen
$=$	$\displaystyle \left(x+\frac52\right)^2\;-4{,}25$

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Ergänze quadratisch.

$3 x^{2} + 18 x + 82$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

Klammere 3 vor den x-Termen aus.

$\displaystyle 3x^2+18x+82$	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2+6x\right)+82$
	↓	Halbiere den Mischterm.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2+2\cdot3x\right)+82$
	↓	Ergänze quadratisch mit $3^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2+2\cdot3x+\;3^2-3^2\right)+82$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3\left[\left(x+3\right)^2\;-3^2\right]+82$
	↓	Multipliziere die eckige Klammer aus (nicht die runde!).
	$=$	$\displaystyle 3\left(x+3\right)^2-3\cdot 3^2+82$
	$=$	$\displaystyle 3\left(x+3\right)^2\;-27+82$
	$=$	$\displaystyle 3\left(x+3\right)^2\;+55$

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Ergänze quadratisch.

$- x^{2} + 3 x - 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

Informationen darüber, was eine quadratische Ergänzung ist, und wie man dabei vorgehen kann, findest du im Serlo-Artikel zur quadratischen Ergänzung.

Klammere $\left(-1\right)$ vor den x-Termen aus.

$\displaystyle -x^2+3x-7$	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-3x\right)-7$
	↓	Halbiere den Mischterm.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2\cdot\frac{3}{2}x\right)-7$
	↓	Ergänze quadratisch mit $\left(\frac32\right)^2$ und ziehe $\left(\frac32\right)^2$ wieder ab.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)-7$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\left[\left(x-1{,}5\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]-7$
	↓	Multipliziere die eckige Klammer aus (nicht die runde Klammer).
	$=$	$\displaystyle -\left(x-1{,}5\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2-7$
	↓	Berechne $\left(\frac32\right)^2$ .
	$=$	$\displaystyle -\left(x-1{,}5\right)^2+\frac{9}{4}-7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-1{,}5\right)^2-4{,}75$

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Ergänze quadratisch.

$2 x^{2} - 8 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$\displaystyle 2x^2-8x+6$	$=$
	↓	Klammere 2 vor den x-Termen aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-4x\right)+6$
	↓	Ergänze quadratisch mit $2^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot2x+2^2-2^2\right)+6$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot2x+2^2\right)-8+6$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x^2-2\cdot2x+2^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\left(x-2\right)^2-2$

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Ergänze quadratisch.

$-\frac12x^2+5x+9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratisch ergänzen

Als erstes musst du $-\frac{1}{2}$ aus den x-Termen ausklammern

$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2 + 5x + 9$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(x^2 - 2\cdot 5x) + 9$
	↓	Qudratisch ergänzen mit $5^{2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2 - 5^2) + 9$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2) + 12{,}5 + 9$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2) +21{,}5$
	↓	zur 2. binomischen Formel zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(x - 5)^2 + 21{,}5$

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Ergänze quadratisch.

$0{,}5\;x^2-6{,}5x+27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratisch Ergänzen

Klammere $0,5$ vor den x-Termen aus.

$\displaystyle 0{,}5\;x^2-6{,}5x+27$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x^2-13x\right)+27$
	↓	Ergänze quadratisch mit $6{,}5^2$ .
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x^2-2\cdot6{,}5x+6{,}5^2-6{,}5^2\right)+27$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x^2-2\cdot6{,}5x+6{,}5^2\right)-0{,}5 \cdot 42{,}25 +27$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x^2-2\cdot6{,}5x+6{,}5^2\right)-21{,}125+27$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x^2-2\cdot6{,}5x+6{,}5^2\right)+5{,}875$
	↓	Fasse zur 2. binomischer Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(x-6{,}5\right)^2+5{,}875$

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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0