Aufgaben zu Extremwerten bei quadratischen Termen

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Ergänze quadratisch.

$x^{2} + 5 x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

	$x^{2} + 5 x + 2$
	↓ Finde die Hälfte des Mischterms
$=$	$x^{2} + 2 x \cdot \frac{5}{2} + 2$
	↓ Erweitere quadratisch mit ${(\frac{5}{2})}^{2}$
$=$	$(x^{2} + 2 x \cdot \frac{5}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}) - {(\frac{5}{2})}^{2} + 2$
	↓ Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen
$=$	${(x + \frac{5}{2})}^{2} - 6,25 + 2$
	↓ Fasse Summe zusammen
$=$	${(x + \frac{5}{2})}^{2} - 4,25$

Ergänze quadratisch.

$3 x^{2} + 18 x + 82$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

Klammere 3 vor den x-Termen aus.

$3 x^{2} + 18 x + 82$	$=$	$3 (x^{2} + 6 x) + 82$
	↓	Halbiere den Mischterm.
	$=$	$3 (x^{2} + 2 \cdot 3 x) + 82$
	↓	Ergänze quadratisch mit $3^{2}$ .
	$=$	$3 (x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} - 3^{2}) + 82$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$3 [{(x + 3)}^{2} - 3^{2}] + 82$
	↓	Multipliziere die eckige Klammer aus (nicht die runde!).
	$=$	$3 {(x + 3)}^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 82$
	$=$	$3 {(x + 3)}^{2} - 27 + 82$
	$=$	$3 {(x + 3)}^{2} + 55$

Ergänze quadratisch.

$- x^{2} + 3 x - 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

Informationen darüber, was eine quadratische Ergänzung ist, und wie man dabei vorgehen kann, findest du im Serlo-Artikel zur quadratischen Ergänzung.

Klammere $(- 1)$ vor den x-Termen aus.

$- x^{2} + 3 x - 7$	$=$	$- (x^{2} - 3 x) - 7$
	↓	Halbiere den Mischterm.
	$=$	$- (x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} x) - 7$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${(\frac{3}{2})}^{2}$ und ziehe ${(\frac{3}{2})}^{2}$ wieder ab.
	$=$	$- (x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}) - 7$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$- [{(x - 1,5)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}] - 7$
	↓	Multipliziere die eckige Klammer aus (nicht die runde Klammer).
	$=$	$- {(x - 1,5)}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} - 7$
	↓	Berechne ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .
	$=$	$- {(x - 1,5)}^{2} + \frac{9}{4} - 7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- {(x - 1,5)}^{2} - 4,75$

Ergänze quadratisch.

$2 x^{2} - 8 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung

$2 x^{2} - 8 x + 6$	$=$
	↓	Klammere 2 vor den x-Termen aus.
	$=$	$2 (x^{2} - 4 x) + 6$
	↓	Ergänze quadratisch mit $2^{2}$ .
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 2 x + 2^{2} - 2^{2}) + 6$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 2 x + 2^{2}) - 8 + 6$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 2 x + 2^{2}) - 2$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$2 {(x - 2)}^{2} - 2$

Ergänze quadratisch.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratisch ergänzen

Als erstes musst du $- \frac{1}{2}$ aus den x-Termen ausklammern

$- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + 9$	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 5 x) + 9$
	↓	Qudratisch ergänzen mit $5^{2}$
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2} - 5^{2}) + 9$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2}) + 12,5 + 9$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2}) + 21,5$
	↓	zur 2. binomischen Formel zusammenfassen
	$=$	$- \frac{1}{2} (x - 5)^{2} + 21,5$

Ergänze quadratisch.

$0,5 x^{2} - 6,5 x + 27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratisch Ergänzen

Klammere $0,5$ vor den x-Termen aus.

$0,5 x^{2} - 6,5 x + 27$	$=$	$0,5 \cdot (x^{2} - 13 x) + 27$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${6,5}^{2}$ .
	$=$	$0,5 \cdot (x^{2} - 2 \cdot 6,5 x + {6,5}^{2} - {6,5}^{2}) + 27$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$0,5 \cdot (x^{2} - 2 \cdot 6,5 x + {6,5}^{2}) - 0,5 \cdot 42,25 + 27$
	$=$	$0,5 \cdot (x^{2} - 2 \cdot 6,5 x + {6,5}^{2}) - 21,125 + 27$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0,5 \cdot (x^{2} - 2 \cdot 6,5 x + {6,5}^{2}) + 5,875$
	↓	Fasse zur 2. binomischer Formel zusammen.
	$=$	$0,5 \cdot {(x - 6,5)}^{2} + 5,875$

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