Aufgaben zu Tangenten an Parabel

1
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- 3 x^{2} + 12 x - 9 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- 3 x^{2} + (12 - m) x - 9 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (12 - m)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9 - t) = m^{2} - 24 m + 36 - 12 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$3 = 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 24 m + 36 - 12 (3 - 2 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
Mit Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 6 x + 12$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (2) = - 6 \cdot 2 + 12 = 0 = m$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$3 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
2
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = x^{2} - 18 x + 85$ durch den Punkt $B (9 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} - 18 x + 85 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$x^{2} - (18 + m) x + 85 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (18 + m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (85 - t) = m^{2} + 36 m - 16 + 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$4 = 9 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 36 m - 16 + 4 (4 - 9 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
Mit Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x) = 2 x - 18$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (9) = 2 \cdot 9 - 18 = 0 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$4 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
3
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- x^{2} - 2 x - 3 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- x^{2} - (2 + m) x - 3 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 8 - 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- 3 = - 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 4 m - 8 - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 4 m + 4 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2} \Rightarrow m = 2$
Setze mundb in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
Mit Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Berechne dieAbleitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 2 x - 2$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 2) = - 2 \cdot (- 2) - 2 = 2 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
4
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} + 4 x$ $=$ $m x + t$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$ $=$ $0$
↓
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$ $=$ $(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
$=$ $m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
$=$ $0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y$ $=$ $2^{2} + 4 \cdot 2$
↓
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$=$ $12$
$12$ $=$ $2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 16 m + 64 = (m - 8)^{2} = 0 \Rightarrow m = 8$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
Mit Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 2 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 2^{2} + 4 \cdot 2 = 12$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
5
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen
Ohne Ableitung
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
$m x + t$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$0$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 2 - 2 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y$ $=$ $- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
$=$ $- \frac{3}{2}$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:
$- \frac{3}{2} = - 3 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.
$0$ $=$ $m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$ $=$ $m^{2} - 2 m + 1$
↓
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$ $=$ $(m - 1)^{2}$
$\Rightarrow m = 1$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf.
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
Mit Ableitung
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$ $=$ $- x - 2$
↓
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$ $=$ $- (- 3) - 2$
$=$ $1$
$\Rightarrow m = 1$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = - \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = - \frac{3}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
6
Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln
Ohne Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:
$2 x^{2} + 4 x - 1$ $=$ $m x + t$ $- m x - t$
↓
Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$ $=$ $0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:
$D = (4 - m)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - t) = m^{2} - 8 m + 24 + 8 t = 0$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 m + t$ $+ 3 m$
$5 + 3 m$ $=$ $t$
Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:
$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$ $=$ $0$
↓
Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$ $=$ $0$
$\Rightarrow m = - 8$
Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 \cdot (- 8) + t$ $- 24$
$- 19$ $=$ $t$
Stelle die Tangentengleichung auf:
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
Mit Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$h^{'} (x) = 4 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$h^{'} (- 3) = 4 \cdot (- 3) + 4 = - 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$5 = - 3 \cdot (- 8) + t \Rightarrow t = - 19$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
7
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = \frac{3}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ durch den Punkt $B (- 1 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabeln berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus
$g (x) = \frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$\frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$\frac{3}{2} x^{2} + (6 - m) x + 4 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (6 - m)^{2} - 4 \cdot (\frac{3}{2}) \cdot (4 - t) = m^{2} - 12 m + 12 + 6 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) + 4 = - \frac{1}{2}$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 12 m + 12 + 6 (m - \frac{1}{2}) = m^{2} - 6 m + 9 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 6 m + 9 = (m - 3)^{2} = 0 \Rightarrow m = 3$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$
Mit Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 3 (x + 2) \cdot 1 = 3 x + 6$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 6 = 3 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1 + 2)^{2} - 2 = - \frac{1}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x^{2} + 4 x$	$=$	$m x + t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$	$=$	$(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
	$=$	$m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
	$=$	$0$

$y$	$=$	$2^{2} + 4 \cdot 2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$12$
$12$	$=$	$2 m + t$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 \| y)$
$m x + t$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$

$y$	$=$	$- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
	$=$	$- \frac{3}{2}$

$0$	$=$	$m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$	$=$	$m^{2} - 2 m + 1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$	$=$	$(m - 1)^{2}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$	$=$	$- x - 2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$	$=$	$- (- 3) - 2$
	$=$	$1$

$2 x^{2} + 4 x - 1$	$=$	$m x + t$	$- m x - t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$	$=$	$0$

$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$	$=$	$0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$	$=$	$0$

$5$	$=$	$- 3 m + t$	$+ 3 m$
$5 + 3 m$	$=$	$t$

$5$	$=$	$- 3 \cdot (- 8) + t$	$- 24$
$- 19$	$=$	$t$

Aufgaben zu Tangenten an Parabel

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

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