Aufgaben zu Tangenten an Parabel

1
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ durch den Punkt $B(2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- 3 x^{2} + 12 x - 9 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- 3 x^{2} + (12 - m) x - 9 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(12-m)^2-4\cdot(-3)\cdot(-9-t)=m^2-24m+36-12t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-3\cdot2^2+12\cdot2-9=3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$3 = 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2-24m+36-12\left(3-2m\right)=m^2=0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m=0\Rightarrow t=3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
Mit Ableitung
$f(x)=-3x^2+12x-9,\;B(2\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 6 x + 12$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(2)=-6\cdot2+12=0=m$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$3=0\cdot2+t\Rightarrow t=3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
2
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = x^{2} - 18 x + 85$ durch den Punkt $B(9\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} - 18 x + 85 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$x^{2} - (18 + m) x + 85 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(18+m)^2-4\cdot1\cdot(85-t)=m^2+36m-16+4t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=9^2-18\cdot9+85=4$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$4 = 9 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 36 m - 16 + 4 (4 - 9 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m=0\Rightarrow t=4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
Mit Ableitung
$f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x) = 2 x - 18$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(9)=2\cdot9-18=0=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=9^2-18\cdot9+85=4$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$4=0\cdot2+t\Rightarrow t=4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
3
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B(-2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- x^{2} - 2 x - 3 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- x^{2} - (2 + m) x - 3 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(2+m)^2-4\cdot(-1)\cdot(-3-t)=m^2+4m-8-4t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- 3 = - 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 4 m - 8 - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 4 m + 4 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^2-4m+4=(m-2)^2\Rightarrow m=2$
Setze mundb in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
Mit Ableitung
$f(x)=-x^2-2x-3,\;B(-2\vert y)$
Berechne dieAbleitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 2 x - 2$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f`(-2)=-2\cdot(-2)-2=2=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=-(-2)^2-2\cdot(-2)-3=-3$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$-3=-2\cdot2+t\Rightarrow t=1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$

Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B(2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen

Ohne Ableitung

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\displaystyle x^2+4x$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$\displaystyle x^2+\left(4-m\right)x-t$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle (4-m)^2-4\cdot1\cdot(-t)$
	$=$	$\displaystyle m^2-8m+16+4t$
	$=$	$\displaystyle 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2^2+4\cdot2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$\displaystyle 12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^2-16m+64=(m-8)^2=0\Rightarrow m=8$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

Mit Ableitung

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g ‘ (x) = 2 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g`(2)=2\cdot2+4=8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=2^2+4\cdot2=12$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

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Berechne die Tangente an die Funktion $f(x)=-\frac12x^2-2x-3$ durch den Punkt $B(-3\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen

Ohne Ableitung

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)$
$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-(2+m)x-3-t$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.

$D=(2+m)^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot(-3-t)=m^2+4m-2-2t=0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}(-3)^2-2\cdot (-3)-3$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:

$-\frac32=-3m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle m^2+4m-2-2(3m-\frac32)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle m^2-2m+1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (m-1)^2$

$\Rightarrow m=1$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.

$-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32$

Stelle die Tangentengleichung auf.

$t_B(x)=x+\frac32$

Mit Ableitung

$f(x)=-\frac12x^2-2x-3,\;B(-3\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel.

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac12x^2-2x-3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$\displaystyle f`(x)$	$=$	$\displaystyle -x-2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$\displaystyle f`(-3)$	$=$	$\displaystyle -(-3)-2$
	$=$	$\displaystyle 1$

$\Rightarrow m=1$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y=-\frac{1}{2}(-3)^2-2\cdot(-3)-3=-\frac{3}{2}$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$-\frac32=-3\cdot1+t\Rightarrow t=\frac32$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=x+\frac32$

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Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B(-3\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln

Ohne Ableitung

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:

$\displaystyle 2x^2+4x-1$	$=$	$\displaystyle mx + t$	$\displaystyle -mx - t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite
$\displaystyle 2x^2+(4-m)x-1-t$	$=$	$\displaystyle 0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:

$D=(4-m)^2-4\cdot2\cdot(-1-t)=m^2-8m+24+8t=0$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3m + t$	$\displaystyle + 3m$
$\displaystyle 5 + 3m$	$=$	$\displaystyle t$

Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:

$\displaystyle m^2-8m+24+8(5+3m)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$\displaystyle m^2+16m+64$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$\displaystyle (m+8)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow m=-8$

Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -3 \cdot (-8) + t$	$\displaystyle -24$
$\displaystyle -19$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Tangentengleichung auf:

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

Mit Ableitung

$h(x)=2x^2+4x-1,\;B(-3\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$h^{'} (x) = 4 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$h'(-3)=4\cdot(-3)+4=-8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y=2(-3)^2+4\cdot(-3)-1=5$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$5=-3\cdot(-8)+t\Rightarrow t=-19$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=-8x\textstyle-\textstyle19$

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7
Berechne die Tangente an die Funktion $g(x)=\frac32\left(x+2\right)^2-2$ durch den Punkt $B(-1\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabeln berechnen
Ohne Ableitung
$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$
Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus
$g(x)=\frac32x^2+6x+4$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$\frac32x^2+6x+4=mx+t$
Bringe alles auf eine Seite
$\frac32x^2+(6-m)x+4-t=0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D=(6-m)^2-4\cdot\left(\frac32\right)\cdot(4-t)=m^2-12m+12+6t=0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=\frac32(-1)^2+6\cdot(-1)+4=-\frac12$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$-\frac12=-1\cdot m+t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^2-12m+12+6(m-\frac12)=m^2-6m+9=0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^2-6m+9=(m-3)^2=0\Rightarrow m=3$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3x+\frac52$
Mit Ableitung
$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g`(x)=3(x+2)\cdot1=3x+6$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g`(-1)=3\cdot(-1)+6=3=m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y=\frac32(-1+2)^2-2=-\frac12$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_B(x)=3x+\frac52$

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