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Aufgaben zur Differenzierbarkeit und Steigung

  1. 1

    Steigungen schätzen

    1. Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?

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    2. Welche Aussage über einen Ableitungswert der gezeichneten Funktion f stimmt?

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    3. Welche der Aussagen über den Steigungswert f(0)f'(0) der gezeichneten Funktion f stimmt?

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    4. Welche der Aussagen über den Ableitungswert f(2,9)f'(-2{,}9) stimmen?

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    5. Welche der drei Aussagen über die gezeichnete Funktion f stimmt?

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    6. Welche der Aussagen bezüglich der gezeichneten Funktion f stimmt?

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    7. Welche der drei Aussagen über den Stegungswert f(6,9)f'(6{,}9) stimmt?

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    Vom Schätzen zum Konstruieren und Berechnen von Steigungen

    Wie man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt, hängt davon ab, welche Informationen man über die Funktion hat. Man kann Steigungen schätzen, unter Umständen konstruieren, vor allem aber auch berechnen. Wenn man eine Steigung berechnet, dann sagt man, man hat die Funktion "differenziert".

    1. Von der Funktion ff ist lediglich der Graph gegeben. Schätze die Steigung im Punkt P(3|f(3)).

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    2. Von der Funktion kk ist bekannt, dass es sich um eine Halbkreislinie handelt. Konstruiere die Tangente im Punkt P(4k(4))P(4|k(4)) und bestimme so den Steigungswert der Funktion k im Punkt PP.

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    3. Berechne für den gegebenen Graphen die Steigung k(4)k^\prime(4).

      Es ist bekannt, dass es sich bei dem Graphen um einen Viertelkreis handelt.

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  3. 3

    Betrachte den gegebenen Graphen der Funktion ff und entscheide, welche der nachfolgenden Aussagen über die Differenzierbarkeit von ff zutrifft.

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  4. 4

    Achtung Fallen!

    Unterscheide bei Funktionswertbetrachtungen eine Angabe x=0x = 0 von x0x_0 und für Grenzwertberechnungen die Angabe x0x\rightarrow0 von xx0x\rightarrow x_0.

    (Nicht nur Anfänger fallen darauf ein.)

    1. Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion ff so weit möglich folgende Werte ab:

      1. f(0)f(0)

      2. f(x0)f(x_0)

      3. f(0)f'(0)

      4. f(x0)f'(x_0)

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    2. Lies aus dem gegebenen Graphen der Funktion ff folgende Werte ab:

      1. f(1)f(1)

      2. f(1)f'(1)

      3. f(x1)f(x_1)

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    Entscheide, welche Feststellung auf die gezeichnete Funktion ff zutrifft.

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    1. Graphisches Differenzieren einer linearen Funktion

      Die lineare Funktion ff soll graphisch differenziert werden.

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      Betrachte die gegebenen Graphen und entscheide, was zutrifft.

    2. Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion 2. Grades

      Die quadratische Funktion p soll graphisch differenziert werden.

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      Entscheide, welche der beiden Funktionen gg oder ff die Ableitungsfunktion von p ist.

    3. Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion höheren Grades

      Fertige durch graphisches Differenzieren eine Skizze der Ableitungsfunktion der nachfolgenden ganzrationalen Funktion 4. Grades.

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    4. Graphisches Differenzieren der e-Funktion

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      Die e-Funktion xex,  D=R,  x\mapsto e^x,\;D=\mathbb{R},\; ist für viele Anwendungsgebiete der Mathematik eine der wichtigsten Funktionen.

      Graphisch gesehen ist sie aber eher eine besonders "langweilige" Funktion: ohne Nullstellen, ohne lokale Extrema und ohne Wendepunkte - einfach nur steigend.

      Welche überraschende Besonderheit der e-Funktion entdeckst du aber, wenn du dich um eine möglichst genaue Skizze beim graphischen Differenzieren der e-Funktion bemühst?

    5. Graphisches Differenzieren einer abschnittsweise definierten Funktion

      Die folgende Funktion ist graphisch zu differenzieren.

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