Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Den Wert des Integrals kannst du näherungsweise in der Abbildung ablesen, da der Wert des Integrals gerade der Größe der Fläche unterhalb des Graphen entspricht.

Zähle jetzt einfach die Kästchen, die von der Kurve, den zwei senkrechten Linien und der $x$-Achse eingeschlossen sind. $4$ Kästchen zusammen geben eine Flächeneinheit ($1\, FE$).

$\int_3^5f(x)\text{d}x\approx9\ Kästchen=2{,}25FE$

Ob du $9$ oder $10$ Kästchen herausbekommst, ist bei einem Näherungswert nicht wichtig. Punkte gibt es trotzdem ;).

Die Aufgabe ist einfach nur gemein gestellt und klingt total kompliziert. Ist es aber wirklich nicht! Was ist denn die Ableitung von der Stammfunktion $F$? Genau, einfach die Funktion $f$.

Deswegen musst du beim ablesen von diesem Punkt einfach nur in der Abbildung, die du schon gegeben hast, den Punkt mit der $x$-Koordinate $2$ heraus suchen.

Bei $x=2$ ist $y=0{,}5$ da die Funktion $f$ die Ableitung der Stammfunktion $F$ ist.

Überlege dir, wie du die Funktion $f$ integrierst. Dazu benötigst du eine Stammfunktion. Diese hast du schon gegeben. Außerdem weißt du schon, dass $F(3)=0$. Aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt:

Und schon bist du fertig! :)

Definitionsbereich bestimmen

Überlege dir, wo die Funktion definiert ist und wo nicht.

Der Nenner darf nicht Null werden: Nenner wird Null bei $x=0$

Der $ln(x)$ ist nur für positive $x$ definiert.

$\Rightarrow$ $D=\mathbb{R} ^{+}=]0;\infty[$

Nullstelle von $f$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}f(x)&=&\frac{lnx}{x^2}\\0&=&\frac{lnx}{x^2} \quad &|\cdot x^2\\0&=& lnx \\e^0&=&e^{ln(x)} \quad &|e^{()}\\1&=&x\end{array}$

Oder du überlegst dir statt der letzten zwei Umformungen, wann der $lnx$ Null wird. Genau, bei $1$! Daraus folgt:

$x=1$

Limes ausrechnen

$\lim _{x\to 0}\frac{\ln x}{x^2}$

Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus gegen $0$ geht? Dieser wird gegen $-\infty$ gehen. Was passiert, wenn du in $x^2$ sehr kleine Zahlen einsetzt? Sie werden noch kleiner. Du teilst also etwas ganz großes negatives durch etwas ganz kleines positives (wegen dem Quadrat), es bleibt also ganz groß und negativ.

Eine waagrechte Tangente bedeutet, dass die Funktion keine Steigung hat, also die Ableitung Null ist. Dazu musst du erst einmal die Ableitung ausrechnen. Verwende die Quotientenregel.

$f(x)=\frac{u}{v}$

$f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrl}\displaystyle f'(x)&=&\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^2 - lnx \cdot 2x}{x^4}\\&=&\dfrac{x - lnx \cdot 2x}{x^4}\end{array}$

Suche die Nullstelle der Ableitung.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrll}f'(x)&=&\dfrac{x - lnx \cdot 2x}{x^4}\\0&=&\dfrac{x(1 - lnx \cdot 2)}{x^4}\\0&=&\dfrac{1 - lnx \cdot 2}{x^3} \quad &|\cdot x^3\\0&=&1-lnx\cdot 2 \quad &|+lnx\cdot 2\\lnx\cdot 2&=&1 \quad &|:2\\lnx&=&\frac{1}{2}\quad &|e^{()}\\x&=&e^{\frac{1}{2}}\end{array}$

Da du im Teil $A$ keinen Taschenrechner hast, lässt du das Ergebnis einfach so stehen.

Somit ist die $x$-Koordinate gefunden.

Überlege dir eine Funktion, die sicher einen Wendepunkt hat. Hierzu gibt es keine Musterlösung, sondern mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel hat die Funktion $f(x)=x^3$ einen Wendepunkt bei $(0|0)$. Diese Funktion musst du jetzt noch so verschieben, dass der Wendepunkt bei $(2|0)$ ist.

$f(x)=x^3$ $g(x)=(x-2)^3$

$g$ ist eine mögliche Lösung.

Überlege dir eine Funktion, die entweder nur steigt oder nur fällt. Außerdem soll die Funktion nur links- oder nur rechtsgekrümmt sein. Solche Funktionen kann man dann an der $x$- oder $y$-Achse spiegeln, sodass sie rechtsgekrümmt und streng monoton fallend sind.

Beispiele sind $f(x)=e^x$ (steigend und linksgekrümmt) und $f(x)=lnx$ (steigend und rechtsgekrümmt) bzw. $f(x)=logx$ (steigend und rechtsgekrümmt).

$f(x)=e^x$ ist linksgekrümmt und steigend.

Jetzt hast du die Möglichkeit den Graphen an den Achsen zu spiegeln. Spiegelst du ihn an der $y$-Achse, ist er zwar fallend, aber immer noch linksgekrümmt. Spiegelst du den Graphen an der $x$-Achse hast du eine Rechtskrümmung und der Graph fällt. Damit hast du es geschafft. Wie spiegelt man an der $x$-Achse?

$f(x)=-e^{x}$

Alternativ könntest du $f(x)=ln(x)$ verwenden. Er ist steigend und rechtsgekrümmt. Wenn du ihn an der $y$-Achse spiegelst, ist er fallend und linksgekrümmt.

Wie spiegelt man an der $y$-Achse?

$f(x)=ln(-x)$

Das wäre also eine weitere Lösungsmöglichkeit für $f$.