Aufgaben

Umgang mit Potenzen

Klicke die richtige Lösung an!

Achtung: ein Potenzterm ist nie negativ. Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Prima! Du kennst die Bedeutung negativer Exponenten.

Was stimmt?

Beachte das Minuszeichen im Exponenten.

Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Achtung: ein Potenzterm ist nie negativ. Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Richtig!

Wähle richtige Antworten aus.
Zu text-exercise-group 62916:
Nish 2018-09-15 23:14:39+0200
@Aufgabenersteller:
Wir wünschen uns auch bei Single- bzw. Multiple-Choice-Aufgaben nochmals eine ausführliche Lösung ;) (siehe Richtlinie zu Aufgabenstellungen, http://de.serlo.org/90398, in der Checkliste unter Richtlinien zum Aufbau)
Daher sollten auch die Feedbacks nicht allzu lang sein und ausführlichere Antworten / Feedbacks in die eigentlichen Lösung eingebracht werden. Man sollte sich also die gesamte Aufgabe nochmals genauer anschauen und überlegen, wie man das am Besten macht ;)

Es wäre super, wenn ihr Zeit habt, eine ausführliche Lösung hinzufügen könntet.
Ansonsten wird sich sicherlich auch jdn. irgendwann darum kümmern, der diesen Kommentar liest und Zeit und Lust hat :)

LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 62916: Möglicherweise Fehler in Aufgabe ID 62964
Renate 2016-09-13 22:51:41+0200
In Teilaufgabe b (ID 62964) wird für b>1 die Aussage "Je größer der Wert von b, desto steiler ist der Graph von f" als richtige Multiple-Choice-Antwort erwartet.

Für positive x ist die Aussage wohl richtig, aber im Negativen, denke ich, gibt es ein x, ab dem sie für Werte kleiner als dieses x nicht mehr stimmt.
Das sollte die Stelle sein, an der die Ableitungen der beiden Funktionen den gleichen Wert annehmen.
Michi 2016-09-15 16:05:38+0200
Hi Renate,
vielen Dank für den Hinweis. Du hast Recht, für negative x Werte passt das nicht wirklich. Ich habe es jetzt ausgebessert.
Renate 2016-09-17 22:05:24+0200
Hallo Michi,

danke!

Kleine Rückfrage nur: Warum hast du "für positive x-Werte" eigentlich in Klammern gesetzt? Nachdem die Aussage für positive x-Werte stimmt und für negative zumindest in dieser Allgemeinheit nicht, würde ich hier keine Klammern schreiben - ich finde, sie irritieren eher etwas.

Hast du etwas dagegen, wenn ich sie weglösche?
Michi 2016-09-20 07:19:37+0200
Hallo Renate,
ich habe die Klammer ursprünglich gesetzt, weil es für mich nur eine mathematische Richtigstellung war, die Schüler vielleicht eher ablenkt. Du hast aber Recht, sie irritieren. Danke für den Hinweis. Ich habe sie weggelöscht.
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Gilt für die Funktion f(x)=bxf(x)=b^x, dass bb beliebige Werte größer Null annehmen kann, dann…
…ist sie für b=1b=1 keine Exponentialfunktion mehr.
…fällt ihr Graph, wenn man b aus dem Intervall ]0;1[]0;1[ wählt.
…verläuft ihr Graph immer durch den Punkt (0,1).
… steigen ihre Funktionswerte immer mit größer werdenden x-Werten an. (streng monoton steigend)
…kann ihr Graph die x-Achse schneiden.
Erkenne Funktionsterme
Welcher Funktionsterm gehört zum Graphen der gezeichneten Exponentialfunktion?
Welcher Funktionsterm passt?
Exponentialfunktion 01
12x\displaystyle 1\cdot2^x
22x\displaystyle -2\cdot2^x
12(12)x\displaystyle \frac12\cdot\left(\frac12\right)^x
12(12)x\displaystyle -\frac12\cdot\left(\frac12\right)^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen f(x)=abxf(x)=a\cdot b^x:
  • Ist b>1b>1 werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist b<1b<1 nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Werte)
  • Ist aa positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist aa negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktion steigt immer steiler an (die x-Werte werden immer größer) b>1\Rightarrow b>1. Die Funktion hat nur positve Werte a>0\Rightarrow a>0. Der richtige Term ist 12x1\cdot2^x.
Welcher Funktionsterm passt?
Exponentialfunktion 02
1(14)x\displaystyle 1\cdot\left(\frac14\right)^x
2(12)x\displaystyle -2\cdot\left(\frac12\right)^x
122x\displaystyle -\frac12\cdot2^x
22x\displaystyle 2\cdot2^x
Welcher Funktionsterm passt?
Exponentialfunktion 03
122x\displaystyle -\frac12\cdot2^x
122x\displaystyle \frac12\cdot2^x
2(12)x\displaystyle -2\cdot\left(\frac12\right)^x
22x\displaystyle 2\cdot2^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen f(x)=abxf(x)=a\cdot b^x:

  • Ist b>1b>1 werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  • Ist b<1b<1 nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Wert)
  • Ist aa positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  • Ist aa negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)

In dieser Aufgabe:

Die Funktionswerte nähern sich immer mehr an die x-Achse an 0<b<1\Rightarrow 0<b<1. Die Funktion hat nur negative Werte a<0\Rightarrow a<0. Der richtige Term ist 12(12)x-{1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^x.
Welcher Graph gehört zum gegebenen Funktionsterm?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen

Forme die Exponentialfunktion in eine einfachere Form um, indem du den negativen Exponenten vereinfachst.
12(12)x=12((12)1)x=122x{1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^{-x}={1\over2}\cdot{\left(\left({1\over2}\right)^{-1}\right)}^x={1\over2}\cdot2^x
Die Funktion beschreibt exponentielles Wachstum (Basis>1)(Basis>1) und hat positiven Vorfaktor 121\over2. Somit ist die Funktion komplett oberhalb der x-Achse und steigt mit größer werdenden x-Werten an.
Welcher Graph gehört zu f(x)=2(12)xf(x)=\sqrt2\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen

Überprüfe, ob die Basis größer oder kleiner 11 ist.
2(12)x\sqrt{2}\cdot{\left(1\over{\sqrt{2}}\right)}^x
21,41\sqrt{2}\approx1,41 12<1\Rightarrow {1\over{\sqrt{2}}}<1
Basis ist kleiner als 11. Also handelt es sich um exponentiellen Zerfall. Damit ist der Graph, der fällt, richtig.
Schraffiere im Koordinatensystem alle Punkte P(x|y) im Bereich 2x+2-2\leq x\leq+2 mit folgenden Vorgaben für den y-Wert
0y2x0\leq y\leq2^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

0y22x0\leq y\leq2\cdot2^x und 0y2(12)x0\leq y\leq2\cdot\left(\frac12\right)^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform %%f(x)=b\cdot a^x%% und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

%%f(x)=8\cdot2^{x-2}%%

%%f(x)=8\cdot2^{x-2}%%

Wende ein Potenzgesetz an und zerlege %%2^{x-2}%% in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=8\cdot2^x\cdot2^{-2}%%

Rechne aus.

Beachte dabei den negativen Exponenten!

%%\;\;\;\;\;\;=8\cdot2^x\cdot\frac14%%

Vereinfache weiter.

%%\;\;\;\;\;\;=2\cdot2^x%%

$$$$

Basis %%a =2%% und somit %%a>1%%.

Vorfaktor %%b=2% %% und somit %%b>0%%

%%\Rightarrow%% Graph von %%f%% steigend

%%g(x)=-2\cdot0,5^{x+3}%%

%%g(x)=-2\cdot0,5^{x+3}%%

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=-2\cdot0,5^3\cdot0,5^x%%

Rechne das Produkt soweit wie möglich aus.

%%\;\;\;\;\;\;=-\frac14\cdot\left(\frac12\right)^x%%

Basis %%a<1%%

Vorfaktor %%b<0%%

%%\Rightarrow%% Graph von g steigend

%%h(x)=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x-1}%%

$$h(x)=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x-1}$$

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{2x}\cdot\left(\frac12\right)^{-1}%%

Rechne negative Exponenten in positive um.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac14\cdot2\cdot\left(\frac12\right)^{2x}%%

Zerlege den Potenzterm erneut und berechne den Rest.

%%\;\;\;\;\;\;=\frac12\cdot\left[{\left(\frac12\right)^2}_{}\right]^x%%

Wähle die Basis nun so, dass sich insgesamt die Form %%f(x)=b\cdot a^x%% ergibt.

%%\;\;\;\;\;\;\;=\frac12\cdot\left(\frac14\right)^x%%

$$\;$$

Basis %%a<1%%

Vorfaktor %%b>0%%

%%\Rightarrow%% Graph von h fallend

%%k(x)=-8\cdot\left(\frac12\right)^{2-3x}%%

%%k(x)=-8\cdot\left(\frac12\right)^{2-3x}%%

Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-8\cdot\frac14\cdot\left(\frac12\right)^{-3x}%%

Zerlege den Potenzterm erneut.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-2\cdot\left[{\left(\frac12\right)^{-3}}_{}\right]^x%%

Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um und berechne.

%%\;\;\;\;\;\;\;=-2\cdot8^x%%

$$$$

Basis %%a>1%%

Vorfaktor %%b<0%%

%%\Rightarrow%% Graph von k fallend.

P(02)f:y=axP(0\vert2)\in f:y=a^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Tipp: Die Lösung verlangt keine Rechnung!
Keine Funktion mit dem Funktionsterm f(x)=axf(x)=a^x hat mit der y-Achse den Punkt P(02)P(0\vert2) gemeinsam, sondern jede schneidet diese im Punkt (0|1).
Auch der rechnerische Ansatz 2=a02=a^0 liefert einen Widerspruch. Also ist die Teilaufgabe nicht erfüllbar.
P(30,001)f:y=axP(-3\vert0,001)\in f:y=a^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

P(30,001)y=axP(-3\vert0,001)\in y=a^x
Koordinaten in Funktionsgleichung einsetzen.
0,001=a30,001=a^{-3}
Dezimalbruch als Zehnerpotenz schreiben.
103=a310^{-3}=a^{-3}
Gleiche Exponenten! Also: gleiche Basen!
a=10a=10
P(30,001)y=10xP(-3\vert0,001)\in y=10^x
Die Punkte A(11)A(-1\vert-1) und B(23)B(2\vert-3) sind Punkte des Graphen der Exponentialfunktion f(x)=baxf(x)=b\cdot a^x.
Berechne a und b.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

f(x)=baxf(x)=b\cdot a^x
Die Koordinaten der Punkte einsetzen.
%%\begin {array} {rrcl} \mathrm {I} &-1 &= &b\cdot a^{-1} \\\mathrm {II} &-3 &= &b\cdot a^2 \end{array}%%
Teile Gleichung II : I
31=ba2ba1\displaystyle \frac{-3}{-1}=\frac{b\cdot a^2}{b\cdot a^{-1}}
b kürzen und für a Potenzregel anwenden
a3=3a^3=3
Wurzelziehen
a=33\displaystyle a=\sqrt[3]3
a=33a=\sqrt[3]3 in I einsetzen und nach b auflösen.
b=33\displaystyle b=-\sqrt[3]3
Ein Rundungswert für b ist -1,44.

Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen

Einführungsbeispiel

Löse die Gleichung x2=2xx^2=2^x graphisch.
Lösung
x2f(x)=2xe(x)\underbrace{x^2}_{f(x)}=\underbrace{2^x}_{e(x)}
Zeichne den Graphen der Parabel f(x)=x2f(x)=x^2 und den der Exponentialfunktion e(x)=2xe(x)=2^x.
Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung x2=2xx^2=2^x.
x10,8x2=2x3=4\displaystyle \begin{array}{l}x_1\approx-0,8\\x_2=2\\x_3=4\end{array}
Die ganzzahligen Lösungen x2=2x_2=2 und x3=4x_3=4 findet man natürlich auch durch Probieren. x1x_1 (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.
Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.
Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.
Zu text-exercise-group 59311:
Nish 2018-09-23 15:08:54+0200
Hallo zusammen,
die Lösungen zu der Aufgabe sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/59311) überarbeitet werden. Das Einführungsbeispiel sollte auch nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen, da es sich um eine Beispielaufgabe handelt, überarbeitet werden.

Würde mich freuen, wenn sich jdn. dafür findet! :)
LG,
Nish
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Löse die Exponentialgleichung x+2=2xx+2=2^x graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Schneide den Graphen der Exponentialfunktion x2xx\mapsto2^x mit dem Graphen der linearen Funktion xx+2x\mapsto x+2 und löse damit graphisch die Gleichung x+2=2xx+2=2^x.
\quad\quad\quad
Ablesen der xx-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen ergibt:

x11,7\displaystyle x_1\approx -1,7
x2=2\displaystyle x_2=2
Also gilt: L=\mathbb{L}={1,7;2-1,7;2}
Den exakten zweiten Wert kannst du leicht du Einsetzen in die Gleichung bestätigen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Schneide - falls möglich - den Graphen der Exponentialfunktion e:x2xe:x\mapsto 2^x mit der linearen Funktion f:xxf: x \mapsto x und löse damit die Gleichung x=2xx=2^x.
\quad\quad\quad
Die beiden Graphen haben keine Punkte gemeinsam. Deshalb hat die Gleichung x=2xx=2^x keine Lösung.
Es ist L=  \mathbb{L}={\;}{ }.
Löse die Exponentialgleichung 2x+x  =02^x+x\;=0 graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Löse die Gleichung 2x+x=02^x+x=0 graphisch.
2x+x=02^x+x=0   \; x\left|-x\right.
Forme die Gleichung um.
2x=x2^x=-x
Schneide den Graphen der Exponentialfunktion e(x)=2xe(x)=2^x mit dem Graphen der linearen Funktion l(x)=xl(x)=-x und löse damit die Gleichung 2x+x=02^x+x=0
Die Graphen schneiden sich in einem Punkt mit dem Näherungswert x0,64x\approx -0,64.
Löse die Exponentialgleichung 2x+x21=02^x+x^2-1=0 graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

2x+x21=02^x+x^2-1=0   \; 1x2\left|1-x^2\right.
Stelle den Funktionsterm 2x2^x alleine auf eine Seite der Gleichung.
2x=x2+12^x=-x^2+1
Schneide den Graphen der Exponentialfunktion e(x)=2xe(x)=2^x mit der Parabel p(x)=x2+1p(x)=-x^2+1.
Lies die xx-Koordinaten der Schnittpunkte aus der Zeichnung ab.
x10,57x2=0\begin{array}{l}x_1\approx-0,57\\x_2=0\end{array}
Mache für x2x_2 die Rechenprobe!
Löse die Exponentialgleichung 0,52x=30,5x0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Graphische Lösung

0,52x=30,5x0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x
Schneide die Graphen der Exponentialfunktionen e1(x)=0,52xe_1(x)=0,5\cdot2^x und e2(x)=30,5xe_2(x)=3\cdot0,5^x.
Lies die x-Koordinate des Schnittpunktes aus deiner Skizze ab.
x1,30x\approx1,30

Rechnerische Lösung

0,52x=30,5x0,5\cdot2^x=3\cdot0,5^x
0,52x=3(12)x0,5\cdot2^x=3\cdot\left(\frac12\right)^x
0,52x=312x0,5\cdot2^x=3\cdot\frac1{2^x}
Setze 2x=u2^x=u
    0,5u=3u\;\;0,5\cdot u=\frac3u   \; u\left|\cdot u\right.
0,5u2=30,5\cdot u^2=3
u2=6u^2=6   \; \mid\sqrt{}
u1=+6u2=6\begin{array}{l}u_1=+\sqrt6\\u_2=-\sqrt6\end{array}
Nur +6+\sqrt6 kommt in Frage. Ersetze u.
2x=62^x=\sqrt6
Löse nach x durch Logarithmieren auf.
x=ln(6)ln(2)\displaystyle x=\frac{\ln(\sqrt6)}{\ln(2)}
Jetzt ist der Taschenrechner dran.
x1,29x\approx1,29
Vergleiche das Rechenergebnis mit deinem graphischen Wert. Bist du zufrieden?
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