Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Ein gerader Kreiskegel hat den Radius r, die Höhe h und die Mantellinie m. Die Skizze zeigt den Kegel und ein zugehöriges Stützdreieck.

Kreuze (nur) die richtigen Gleichungen an. (1 BE)

Leider falsch.

Ups, hast du wirklich die richtige Hypotenuse genommen?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Anwendung des Satz des Phytagoras am Kegel

Um diese Aufgabe zu lösen musst du den Satz des Phytagoras beherrschen.

Die Höhe %%h%% steht senkrecht auf dem Radius %%r%%. Das bedeutet, dass dort ein rechter Winkel ist. Somit kann der Satz des Pythagoras verwendet werden, um %%m%% bzw. %%h%% bzw. %%r%% zu berechnen.

Die Katheten sind %%r%% und %%h%% und die Hypotenuse ist %%m%%.

%%m^2=h^2+r^2%%

Das ist die erste Lösung , von der du durch Umformung auf die zweite Lösung kommst.

%%m^2=h^2+r^2%%

%%m^2-r^2=h^2%%

%%\vert - r^2%%

Stelle die Formel um.

%%m^2 - r^2 = h^2%% ist die zweite Lösung.

Für den Inhalt A der Oberfläche des Kegels gilt die Formel A=r²%%\pi%% + r%%\pi%%m.

Gib für die beiden Summanden der Formel, r²%%\pi%% und r%%\pi%%m, jeweils die Bedeutung für den Kegel an. (1 BE)

Löse die Formel A= r²%%\pi%%+r%%\pi%%m nach m auf. (1 BE)

Termumformung

Um die Teilaufgabe c) zu bearbeiten, benötigst du den Inhalt aus dem Themenbereich Zusammenfassen, Ausmultiplizieren, Faktorisieren.

%%A=r²\pi+r\pi m%%

r und %%\pi%% ausklammern.

%%A=r\pi (r+m)%%

%%\displaystyle\frac{A}{r\pi}=r+m%%

%%\displaystyle\frac{A}{r\pi}-r=m%%

%%\vert%% :%%r%% %%\vert%% :%%\pi%%

%%\displaystyle\vert%% -%%r%%

Die Größen r und m werden jeweils verdreifacht.

Dann …sich der Inhalt der Oberfläche des Kegels. (1 BE)

Ups, noch nicht ganz.

Schau dir die Formel nochmal genau an.

Leider nicht richtig.

Sehr gut.

Radius und Höhe der Seitenfläche verneunfachen

Hierfür musst du das Kapitel Zusammenfassen, Ausmultiplizieren, Faktorisieren kennen.

%%A_{alt}=\color{#006400}{r^2\pi+r\pi m}%%

Jetzt kannst du %%\color{#ff6600}{3m}%% und %%\color{#660099}{3r}%% einsetzen.

%%A_{neu}=(\color{#660099}{3r})^2\pi+\color{#660099}{3r}\pi \color{#ff6600}{3m}%%

%%A_{neu}=9r^2\pi+9r\pi m%%

Term einklammern.

%%A_{neu}=(9r^2\pi+9r\pi m)%%

%%A_{neu}=9(\color{#006400}{r^2\pi+r\pi m})%%

%%A_{neu} = 9 \cdot \color{#006400}{A_{alt}}%%

Der Flächeninhalt verneunfacht sich.

Ein weiterer Lösungsweg

%%A_{alt}=r^2\pi+r\pi m%%

%%r%% und %%\pi%% ausklammern.

%%A_{alt}=\color{#006400}{r\pi(r+m)}%%

Jetzt kannst du %%\color{#ff6600}{3m}%% bzw. %%\color{#660099}{3r}%% einsetzen.

%%A_{neu}=\color{#660099}{3r}\pi(\color{#660099}{3r}+\color{#ff6600}{3m})%%

%%A_{neu}=3r\pi3(r+m)%%

%%A_{neu}=9\cdot \color{#006400}{r\pi(r+m)}%%

%%A_{neu} = 9 \cdot \color{#006400}{A_{alt}}%%

Der Flächeninhalt verneunfacht sich.

Eine der steilsten Straßen der Welt ist die Filbert Street in San Francisco. Bestimme mithilfe der Abbildung ihre Steigung in Prozent. (2 BE)

Hinweis: Die Steigung einer Straße ist wie die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem festgelegt.

Straße mit Steigung zum Ablesen

Berechnung der Steigung einer Straße

Für diese Aufgabe benötigst du das Wissen aus dem Artikel "Steigung berechnen".

Tipp für den BMT

Wir stellen hier die Lösung vor, die auch das Kultusministerium angibt.

Da du im BMT keinen Taschenrechner, sondern nur Geodreick und Zirkel hast, empfiehlt es sich manchmal, etwas zu runden, um dadurch leichtere Zahlen zum Rechnen zu haben!

Verwende zum Beispiel %%P_1(0|0,5)%% und %%P_2(4,5|2,0)%% und du erhälst das gleiche Ergebnis.

Stelle dir vor, das Bild liegt im ersten Quadranten eines Koordinatensystems. Der linke untere Bildpunkt ist dann der Ursprung mit den Koordinaten %%(0\vert0)%%.

Bild an Ursprung legen

Nun gib die Koordinaten für die beiden "Schnittpunkte" der Straße mit den Seitenkanten des Bildes an.

Koordinaten der Eckpunkten der Straße

Die Höhe des Punktes entspricht der y-Koordinate und die Entfernung zum linken Bildrand der x-Koordinate.

%%P_n%% (Abstand zum linken Bildrand %%\vert%%Höhe des Punktes)

%%P_1%% %%(0\vert0,7)%%

%%P_2%% %%(4,2\vert2,1)%%

Die Formel zur Berechnung der Steigung ist:

%%\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}%%

Nun setzt man die Werte ein und erhält folgendes:

%%\displaystyle m=\frac{2,1-0,7}{4,2-0}%%

Berechne die Differenzen.

%%\displaystyle m=\frac{1,4}{4,2}%%

Kürze mit %%1,4%%.

%%m=\frac 1 3%%

Schreibe als Dezimalzahl, indem du die Rechnung %%1:3%% ausführst.

Die Steigung der Straße beträgt ca. %%33\%%%.

Im Jahr 2016 betrug der Gesamtwert der Importe Deutschlands 950 Mrd. €, der seiner Exporte 1200 Mrd. €. Das Diagramm zeigt, wie sich diese Gesamtwerte auf Deutschlands Handelspartner verteilten.

Diagramm zu den Importen und Exporten Deutschlands

Berechne mithilfe der Daten des Diagramms, wie viel Prozent der Importe, die Deutschland aus Europa bezog, auf die EU entfielen. (2 BE)

Importe aus der EU

Addiere die Importe aus der EU.

%%\begin{array}{ccccc} 38\% & + &20\% & =&58\% \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow\\ \text{Eurozone}& &\text{uebrige EU}& & \text{Importe der EU} \end{array}%%

Addiere die Importe ganz Europas.

%%\begin{array}{ccccccc} 38\% & + & 20\% & + & 12\% & = & 70\% \\ \uparrow & \; & \uparrow & \; & \uparrow & \; & \uparrow\\ \text{Eurozone} & \; & \text{uebrige EU} & \; & \text{übriges Europa} & \; & \text{Importe Europas}\\ \end{array}%%

Bilde den Quotienten daraus.

%%\displaystyle\frac{58\%}{70\%}=\frac{58}{70}%%

Schriftliche Division

Schriftliche Division

%% \begin{array}{cccccl} \; & 5&8 & : & 70 & = & 0,828\; \approx \; 83\% \\ -& &\underline{0} & \; & \; & \; & \; \\ \; & 5&8 & 0 & \; & \; & \; \\ \; - & \underline 5&\underline 6&\underline 0 & \; & \; \\ \; & \; & 2&0 & 0 & \; \\ \; & \; \; -& 1&4&0 & \; & \; \\ \; & \; & \; & \; \underline 6&\underline 0 & \underline 0 \\ \; & \; & \; -&5&6&0 & \; \\ \; & \; & \; & \; & \underline 4&\underline 0 & \; \\ \; & \; & \; & \; & . & . & . \end{array}%%

Es reichen 3 Nachkommastellen, da du so auf ganze Prozent runden kannst.

Gib an, warum 4% von 1200 Mrd. € nicht den Betrag ergeben, um den sich der Wert der Exporte nach Amerika vom Wert der Importe aus Amerika unterscheidet. (1 BE)

Unterschiedliche Grundwerte

In dieser Aufgabe geht es um Prozente.

Die %%8\%%% beziehen sich auf den Gesamtwert der Importe Deutschlands.Die 950 Mrd. € sind der Grundwert.

Die %%12\%%% beziehen sich auf den Gesamtwert der Exporte Deutschlands. Die 1200 Mrd. € sind der Grundwert.

Deutschland hatte 2016 etwa 82 Millionen Einwohner. Wie groß ist in etwa der Wert der deutschen Exporte, der auf einen Einwohner entfiel? (1 BE)

Rechne nochmal nach.

Noch nicht ganz.

Leider nicht richtig.

Richtig! :P

Exporte pro Einwohner

Um die Exporte pro Einwohner in € herauszufinden, musst du die Anzahl der Menschen durch den Betrag der Exporte teilen.

Da du in dieser Aufgabe nur den Näherungswert bestimmen musst, kannst du auch eine Überschlagsrechnung, indem du rundest machen.

Die %%1\,200%% Milliarden € kannst du so lassen.

Die %%82%% Millionen Menschen kannst du auf ganze 10 Millionen genau runden:

%%82%% Millionen %%\approx 80%% Millionen

%%\displaystyle\frac{1\,200\, Milliarden\, €}{80\, Millionen\,\text{Menschen}} =%%

Schreibe die Zahlen aus.

%%\displaystyle = \frac{1\,200\,000\,000\,000\, €}{80\,000\,000\,\text{Menschen}}%%

Streiche im Zähler und im Nenner gleich viele Nullen.

%%\displaystyle = \frac{120\,000\not0\not0\not0\not0\not0\not0\not0\, €}{8\not0\not0\not0\not0\not0\not0\not0\,\text{Menschen}}%%

%%=\dfrac{120 000 \, €}{8\text{ Menschen}}%%

Kürze mit 4. (Hinweis: Du kannst auch direkt den Quotienten berechnen)

%%=\dfrac{30 0000 \, €}{2 \text{ Menschen}}%%

Die Hälfte lässt sich leicht ausrechnen.

%%=15000 \dfrac €{\text{Mensch}}%%

Es entfielen etwa %%15000\,%%€ auf einen Einwohner.

Alternative: Quotient direkt berechnen

Verwende die schriftliche Division. %%\begin{array}{rl} &120\; 000 : 8 = 15\;000\\ -&\underline{\;\;8}\;\\ &\;\; 40\\ &-\underline{40}\\ &\;\;\; \;0 \end{array}%%

In Analogie zu einem Spielwürfel wird ein quaderförmiger Tafelschwamm geworfen.

stehender Tafelschwamm

Für das einmalige Werfen des Schwammes wurde experimentell folgendes Modell ermittelt:

Elementarereignis

"Eine der beiden größten Seitenflächen oben"

"Eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben"

"Ein der beiden übrigen Seitenflächen oben"

Wahrscheinlichkeit

0,83

0,04

0,13

Beschreibe, wie man experimentell einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Der Tafelschwamm landet bei einmaligem Werfen so, dass eine der beiden kleinsten Seitenflächen oben liegt.” ermitteln kann. (1 BE)

Der abgebildete Schwamm wird einmal geworfen. Gib ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit 87% beträgt. (1 BE)

Der abgebildete Schwamm wird zweimal geworfen. Kreuz an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Schwamm dabei nie auf eine der beiden größten Seitenflächen fällt. (1 BE)

Leider falsch.

Ups. Da ist dir wohl ein Fehler unterlaufen.

Überleg nochmal.

Yeah!

Wahrscheinlichkeiten multiplizieren

Um die Wahrscheilnichtkeit, dass bei einem Wurf der Schwamm nie auf eine der beiden größten Seiten fällt, musst du das Gegenereignis berechnen und von 1 abziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf nicht die zwei größten Seiten oben liegen, ist

%%1-0,83%%.

Im folgenden Diagramm ist das Eriegnis, dass der Schwamm auf eine der beiden größten Seiten fällt ist %%A%%. Das Gegenereignis ist %%\overline{A}%% (sprich: "nicht A").

Baumdiagramm zur Wahrscheinlichkeit

Wie die 1.Pfadregel besagt, müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden.

%%(1-0,83)\cdot (1-0,83) = (1-0,83)²%%

Gegeben ist die Parabel mit dem Funktionsterm p(x)=3x²-8x+7

(vgl. Abbildung)

%%x_1%% und %%x_2%% sind die Lösungen der Gleichung p(x)=7 .

Funktionsterm zum Ablesen

Bestimme graphisch Näherungswerte für %%x_1%% und %%x_2%% . Gib an, wie man aus %%x_1%% und %%x_2%% den x-Wert des Parabelscheitels ermitteln kann. (2 BE)

Du musst die Werte für %%x_1%% und %%x_2%% im Koordinatensystem auf der Höhe der 7 ablesen.

%%x_1 \approx 0%%

%%x_2 \approx 2,7%%

Hinweis

%%x = 0%% , da %%7%% der y-Achsenabschnitt ist.

Zum Beispiel: Da Parabeln achsensymmetrisch sind, liegt der %%x%%-Wert des Scheitels der Parabel genau in der Mitte der beiden %%x%%-Werte.

%%\Rightarrow%% %%(x_1+x_2):2 = x_{Scheitel}%%

Bestimme rechnerisch die Lösungen %%x_1%% und %%x_2%% der Gleichung p(x)=7. (2 BE)

Bestimmung der Nullstellen

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmst.

%%3x^2-8x+7 = 7%%

%%\vert -7%%

%%3x^2-8x = 0%%

%%x(3x-8) = 0%%

Nun kannst du die Nullstellen herausfinden, indem du ein Faktor gleich %%0%% setzt.

Ist in einer Multiplikation ein Faktor %%0%%, so ist auch das Produkt %%0%%.

%%0(3x-8) = 0%%

%%\rightarrow x_1 = 0%%

%%(3x-8) = 0%%

%%\vert +8%%

%%3x = 8%%

%%\vert :3%%

%%\displaystyle x = \frac{8}{3}%%

%%\rightarrow x_2 = \displaystyle \frac {8}{3}%%

Ein weitererLösungsweg

Für die diese Aufgabe benötigst du die Lösungsformel quadratischer Gleichungen (Mitternachtsformel).

%%p(x) = 3x^2 - 8x +7%%

%%p(x) = 7%%

%%7 = 3x^2 - 8x + 7%%

Subtrahiere 7.

%%\rightarrow%% gleich %%0%% gesetzt

%%0 = 3x^2 - 8x%%

Jetzt kannst du die Lösungsformel quadratischer Gleichungen verwenden.

%%\displaystyle x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}%%

a, b und c einsetzen.

%%a = 3%%

%%b = -8%%

%%c = 0%%

%%\displaystyle x_{1,2} =\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 3\cdot 0}}{2\cdot 3}%%

%%\displaystyle x_1 =\frac{8 - \sqrt {64}}{6}%%

%%\displaystyle x_2 = \frac {8 + \sqrt{64}}{6}%%

%%\displaystyle x_1 = \frac {0}{6} = 0%%

%%\displaystyle x_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}%%

Hannah erklärt Simon, wie man schrittweise die Quadratzahlen berechnen kann. „Wenn du zum Beispiel 8²=64 berechnet hast, geht die Berechnung der nächsten Quadratzahl ganz einfach. Du musst nur zur ‚alten‘ Quadratzahl 64 die ‚alte‘ Basis 8 und die ‚neue‘ Basis 9 addieren, also 64 + 8 + 9 = 81, und das ist das Quadrat von 9.“

Wende Hannahs Regel auf ein weiteres Zahlenbeispiel an. (1 BE)

Begründe durch eine allgemeine Rechnung, dass Hannahs Regel für jede „alte“ Basis n (n %%\in \mathbb{N}%%) gilt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst du die binomischen Formeln.

Im Folgenden steht %%n%% für die alte Basis und %%(n + 1)%% für die neue Basis. Somit ist %%n^2%% das Quadrat der alten Basis und %%(n + 1)^2%% das Quadrat der neuen Basis.

%%(n+1)^2=%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%=n^2+2\cdot n \cdot 1 + 1^2=%%

Bringe auf die von Hannah gewünschte Form, in dem du %%2n%% als %%n+n%% schreibst.

%%=n^2+n+n+1=%%

Setze die optionalen Klammern, um klar zu machen, dass die alte Zahl und ihr Nachfolger auf das Quadrat addiert werden.

%%=n^2+n+(n+1)%%

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