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Aufgaben

Das Oktoberfest ist ein jährlich in München stattfindendes Volksfest. Die Abbildung zeigt für verschiedene Jahre die Anzahl der Besucher des Oktoberfests und die Anzahl der dort verkauften Hendl.

a) Gib an, wie viele Personen das Oktoberfest im Jahr 2012 besuchten. (1 BE)

b) Kreuze (nur) diejenigen Aussagen an, die mit dem Diagramm in Einklang stehen. (2 BE)

c) Im Jahr 2013 kamen 70% aller Besucher aus Bayern, 60% der Besucher aus Bayern lebten in München. Berechne für das Jahr 2013, wie viel Prozent aller Besucher in München lebten. (1 BE)

d) Um die Anzahl aller Besucher näherungsweise zu ermitteln, werden auch Luftbildaufnahmen verwendet. Die Anzahl der Personen auf der abgebildeten Aufnahme kann man abschätzen, ohne alle Personen zu zählen. Beschreibe, wie man dazu vorgehen könnte. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Die Besucher des Oktoberfests werden in dem grauen Balken dargestellt. Überlege dir bevor du die Zahl abliest, wie viele Besucher einem kleinen Strich entsprechen. Fünf kleine Striche entsprechen %%1%% Millionen. Also ist ein kleiner Strich %%1 \text{ Mio}: 5= 200\; 000%%.

2012 kannst du sehen, dass du %%6%% ganze Mio Besucher und 2 kleine Striche ausgefüllt sind. Also sind es %%6%% Mio und %%2\cdot 200\;000=400\;000%%.

Es haben 2012 insgesamt %%6,4%% Mio Besucher das Oktoberfest besucht.

Teilaufgabe b)

Du gehst nacheinander Aussage für Aussage durch:

"Die Anzahl der Besucher nahm in den Jahren 2006 bis 2009 ständig ab.": Die grauen Balken werden von 2006 bis 2008 immer niedriger, also nehmen die Besucherzahlen in diesem Zeitraum ab. Die Aussage ist richtig.

"Die Anzahl der verkauften Hendl nahm in den Jahren 2008 bis einschließlich 2012 ständig zu.": Du siehst, dass der weiße Balken 2011 höher ist als 2012. Also nimmt die Hendlzahl von 2011 auf 2012 ab. Die Aussage ist also falsch.

"Im Jahr 2006 wurden mehr als doppelt so viele Hendl verkauft wie im Jahr 2001": Lies die Angaben im Diagramm ab, wobei du beachten musst, dass die Skala nicht bei Null anfängt: 2001 wurden ca. %%350\;000%% Hendl verkauft. 2006 etwas weniger als %%500\;000%%, das ist aber nicht doppelt so viel wie 2001. Die Aussage ist falsch.

"Im Jahr 2007 wurden pro Besucher durchschnittlich mehr Hendl verkauft als im Jahr 2011": 2007 und 2011 sind die Balken für die Hendlanzahl in etwa gleich hoch. 2011 ist der Besucherbalken allerdings deutlich höher als 2007. Damit ist die durchschnittliche Hendlzahl pro Besucher 2007 höher. Die Aussage ist richtig.

Teilaufgabe c)

Du willst bestimmen, wie viel Prozent der Besucher aus München kommen: du willst den Prozentwert berechnen.

70 % der Besucher kommen aus Bayern, das ist der Grundwert als die Gesamtzahl bayrischer Besucher in Prozent.

60 % ist der Prozentsatz, da 60 % der bayrischen Besucher aus München kommen.

Nun kannst du in die Prozentformel einsetzen:

%%60 \% \cdot 70\% = 0,6 \cdot 0,7 = 0,42= 42\% %%

42 % der Wiesn-Besucher kommen aus München.

Teilaufgabe d)

Du musst bei so einem Problem versuchen, es zu kleineren Teilproblemen zu vereinfachen.

Du könntest das Bild mit Hilfe eines Lineals in gleich große Teile einteilen, die Menschen in einem Teil zählen und anschließend mit der Anzahl der Teile multiplizieren. Das Bild rechts ist beispielsweise in %%8%% Teile geteilt.

Alternativ könntest du zum Beispiel die Menschen in einem Quadratzentimeter zählen. Dies wird in etwa für alle Quadratzentimeter die gleiche Anzahl sein. Also kannst du nun die Fläche des Bildes berechnen. Zuletzt multiplizierst du die Größe der Fläche in cm%%^2%% mit der Anzahl der Menschen in einem Quadratzentimeter.

Berechne den Wert des Terms. (1 BE)

%%(1-(\frac{1}{3})^2):4=%%

Termberechnung

%%(1-(\frac{1}{3})^2):4=%%

Quadriere als erstes %%\frac13%% (Multiplikation von Brüchen).

%%(1-\frac19):4=%%

Berechne den Inhalt der Klammer (Subtraktion von Brüchen).

%%(\frac99-\frac19):4=\frac89:4=%%

Dividiere den Bruch durch %%4%%.

%%=\frac29%%

Der Wert des Terms ist %%(1-(\frac{1}{3})^2):4=\frac29%%.

Simon wird ein Gedicht vorgelegt. Beschreibe, wie er die relative Häufigkeit ermitteln kann, mit der der Buchstabe „e" in diesem Gedicht vorkommt. (1 BE)

Relative Häufigkeit

Die Formel der relativen Häufigkeit lautet:

$$\text{relative Häufigkeit} \ h_n =\frac{\text{absolute Häufigkeit} \ H}{\text{Anzahl der Versuche} \ n}$$

Das heißt Simon müsste hier die absolute Häufigkeit und die Anzahl der Versuche bestimmen. Die absolute Häufigkeit sind hier die Anzahl der "e"s. Die Anzahl der Versuche entspricht der Gesamtzahl der Buchstaben. Das kannst du nun in die Formel für die relative Häufigkeit einsetzen.

Für die relative Häufigkeit muss Simon die Anzahl der "e"s durch die Gesamtzahl der Buchstaben teilen.

Jakob behauptet: „Alle Dreiecke, die in der Länge einer Seite und der Länge der zugehörigen Höhe übereinstimmen, sind kongruent"

Begründe durch zeichnerische Darstellung eines Gegenbeispiels, dass Jakobs Aussage falsch ist. (1 BE)

Kongruente Dreiecke

Du zeichnest dir ein Dreieck, mit einer Seite mit fester Seitenlänge (orange) und der zugehörigen Höhe (türkis).

Nun verschiebst du den oberen Eckpunkt entlang der Seite parallel zur der orangen Seite (gestrichelte Linie). So erreichst du, dass die türkise Höhe immer noch dieselbe Länge hat und die Grundseite dieselbe ist. Dadurch erfüllst du die Bedingungen der Aufgabe.

Du kannst allerdings durch bloßes Hinschauen erkennen, dass die Winkel in den Dreiecken nicht gleich groß sind. Dadurch sind die Dreiecke auch nicht kongruent. Jakob hat deswegen nicht recht.

Ein Schwimmbecken ist 2 m tief, 50 m lang und 14 m breit. Im Schwimmbecken befinden sich 100 Personen. Pro Person werden durchschnittlich 70 Liter Wasser verdrängt. Berechne, um wie viele Zentimeter der Wasserspiegel sinkt, wenn alle Personen das Becken verlassen und kein Wasser nachgefüllt wird. (2 BE)

Volumenberechnung

Hundert Personen verdrängen insgesamt %%70\text{ l}\cdot 100= 7000 \text{ l}%% Wasser.

Wenn du wissen willst, um wie viel Zentimeter der Wasserspiegel sinkt, wenn alle Personen das Becken verlassen, suchst du die Höhe eines Quaders.

Dieser Quader hat die Grundfläche des Schwimmbads und das gesamte Volumen entspricht dem Volumen, dass durch 100 Personen verdrängt werden.

Bild zur Veranschaulichung

Die orange Linie veranschaulicht den neuen Wasserstand:

Jetzt kannst du eine Gleichung aufstellen, mit %%h%% als deiner gesuchten Höhe:

%%V= h\cdot \text{ Länge}\cdot \text{ Breite}%%

Setze nun die dir bekannten Werte ein.

%%7000 \text{ l} = h\cdot 50 \text{ m}\cdot 14 \text{ m}%%

Stelle nach %%h%% um.

%%h= \displaystyle\frac{7000\text{ l}}{50 \text{ m}\cdot 14 \text{ m}}%%

%%h= \displaystyle\frac{7000\text{ dm}^3}{50 \text{ m}\cdot 14 \text{ m}}%%

Wandle Zähler und Nenner in die gleiche Längeneinheit um. Es bietet sich dm an.

%%h= \displaystyle\frac{7000\text{ dm}^3}{500 \text{ dm}\cdot 140 \text{ dm}}%%

Nun kannst du kürzen.

%%=\displaystyle\frac{7\cdot 1000}{5\cdot 100\cdot 2\cdot 7\cdot 10}\text{ dm}=\frac{1 }{5\cdot 2}\text{ dm}%%

Jetzt kannst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln.

%%h=\frac{1}{10}\text{ dm}=0,1\text{ dm}%%

Wandle die Angabe nun in cm um.

Die Wasserhöhe sinkt um %%1%% cm.

Die Abbildung zeigt das Dreieck %%ABC%%.

a) Konstruiere im abgebildeten Dreieck %%ABC%% die Mittelsenkrechte der Seite %%[AB]%% und die Mittelsenkrechte der Seite %%[AC]%%. (1 BE)

b) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seite %%[AB]%% und der Mittelsenkrechten %%[AC]%% wird mit %%S%% bezeichnet. Charlotte erklärt einer Mitschülerin, dass %%S%% der Umkreismittelpunkt des Dreiecks %%ABC%% ist. Ergänze sinnvoll, was sie ihrer Mitschülerin gesagt haben könnte. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Wie du Mittelsenkrechten konstruierst, erfährst du, wenn du auf den Link klickst.

Bilder der einzelnen Konstruktionen

Wenn du die Mittelsenkrechte von %%[AB]%% konstruierst, sieht dein Bild ungefähr so aus:

und für %%[AC]%%:

Dein Ergebnis für die Aufgabe sollte dann in etwa so aussehen:

Teilaufgabe b)

Eine der zentralen Eigenschaften der Mittelsenkrechten ist, dass alle Punkte darauf gleich weit von den Enden der zugehörigen Strecke entfernt sind.

Weil %%S%% einerseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite %%[AB]%% ist, ist er von den Punkten %%A%% und %%B%% gleich weit entfernt.

%%S%% ist der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten.

Weil S andererseits die Mittelsenkrechte der Seite %%[AC]%% ist, ist er von den Punkten %%A%% und %%C%% gleich weit entfernt.

Führe die Eigenschaften der beiden ersten Sätze zusammen:

Also ist der Punkt S gleich weit von allen drei Eckpunkten entfernt und damit der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.

Hannah klammert korrekt aus. Ergänze ihre Rechnung sinnvoll. (2 BE)

Ausklammern

Lücke 2

Überlege dir, was übrig bleibt, wenn man bei %%8c^2d^3%% den Faktor %%4cd^3%% ausklammert. Das kannst du zum Beispiel herausfinden, indem du %%8c^2d^3%% durch %%4cd^3%% teilst:

%%\displaystyle\frac{8c^2d^3}{4cd^3}=%%

Kürze den Bruch!

%%=2c%%

In die zweite Lücke kommt der Term %%2c%%.

Lücke 1

Hier musst du eintragen, was dort stand, bevor du ausgeklammert hast. Du multiplizierst also hier die Klammer aus, indem du die Faktoren multiplizierst: %%4cd^3 \cdot 3d^2= 12cd^5%%.

In die erste Lücke kommt der Term %%12cd^5%%.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge x cm wird mit einem Rechteck verglichen, dessen Länge um %%2 \; \mathrm{cm}%% größer und dessen Breite um %%3 \; \mathrm{cm}%% kleiner ist als die Seitenlänge des Quadrats. Berechne den Wert von x, für den der Flächeninhalt des Rechtecks um %%15 \; \mathrm{cm}^2%% kleiner ist als der des Quadrats. (2 BE)

Zu der Lösung dieser Aufgabe, bietet es sich an, eine Gleichung aufzustellen.

Die Seitenlänge des Quadrats wird mit %%x%% bezeichnet, also ist der Flächeninhalt des Quadrats %%x^2%%.

Das Rechteck hat die Länge %%x+2%% und die Breite %%x-3%%. Das heißt, das Rechteck hat die Fläche: %%(x+2)\cdot(x-3)%%.

Der Flächeninhalt des Rechtecks soll um %%15%% kleiner sein, als der Flächeinhalt des Quadrats. Dazu ziehst du vom Flächeninhalt des Quadrats %%15%% ab.

Jetzt kannst du die Gleichung aufstellen, indem du die Flächeninhalte gleichsetzt:

%%(x+2)\cdot(x-3)=x^2-15%%

%%x^2+2x-3x-6=x^2 -15\quad|-x^2+6%%

Bringe alle %%x%% und alle Zahlen auf jeweils eine Seite.

%%-x=-9\quad|\cdot (-1)%%

Berechne %%x%%.

%%x=9%%

Die Seitenlänge des Quadrats muss %%9%% cm sein.

Marie wirft dreimal einen Spielwürfel mit den Augenzahlen 1 bis 6. In der Reihenfolge der Würfe notiert sie nacheinander die drei erzielten Augenzahlen als Hunderter-, Zehner- bzw. Einerziffer einer dreistelligen Zahl.

a) Berechne, wie viele Möglichkeiten es für die dreistellige Zahl gibt. (1 BE)

b) Bestimme, wie viele Möglichkeiten es für die dreistellige Zahl gibt, wenn diese mindestens zweimal die Ziffer 6 enthält. (2 BE)

Teilaufgabe a)

Überlege dir dafür, wie viele mögliche Ergebnisse es bei einem einzelnen Würfelwurf gibt. Du kannst die Zahlen %%1%% bis %%6%% würfeln, das heißt es gibt %%6%% Möglichkeiten.

Diese %%6%% Möglichkeiten gibt es bei jedem Würfelwurf, die du jeweils kombinieren kannst. Also multiplizierst du die Möglichkeiten bei jedem Wurf:

%%6\cdot 6\cdot 6=36 \cdot 6 = 216%%

Es gibt insgesamt %%216%% Möglichkeiten.

Teilaufgabe b)

Wenn die Zahl mindestens zweimal die Ziffer %%6%% enthalten soll, hast du für zwei Ziffern jeweils nur eine Möglichkeit. Für die dritte Ziffer hast du weiterhin die vollen %%6%% Auswahlmöglichkeiten. Die dritte Ziffer ist aber nicht an einer festen Stelle. Hier werden die Möglichkeiten danach aufgeteilt:

Also gibt es %%1\cdot1\cdot 6=6%% Möglichkeiten, wenn die ersten beiden Ziffern %%6%%er sind. Die freie Ziffer ist also hier an der dritten Stelle. Sie könnte aber auch an der zweiten Stelle sein, dafür gibt es auch %%1\cdot 5\cdot 1=5%% Möglichkeiten. Es sind hier nur 5 Möglichkeiten, weil die Zahl %%666%% schon beim ersten Mal gezählt wurde.Genauso könnte die freie Ziffer an der ersten Stelle stehen, wofür es genauso %%5\cdot 1\cdot 1=5%%.

Position der freien Ziffer

Möglichkeiten

Einerstelle

%%661,662,663,664,665,666%% %%\Rightarrow%% 6 Möglichkeiten

Zehnerstelle

%%616, 626, 636, 646, 656%% %%\Rightarrow%% 5 Möglichkeiten, weil die Zahl %%666%% vorher schon gezählt wurde.

Hunderterstelle

%%166, 266, 366, 466, 566%% %%\Rightarrow%% 5 Möglichkeiten

Insgesamt gibt es damit %%6+5+5=16%% Möglichkeiten.

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