Aufgaben
Filmon hat einen Blumenkasten. Der Blumenkasten hat 100 cm Länge und 18 cm Höhe. Unten ist er 15 cm breit und oben 20 cm. Wie groß ist das Volumen des Blumenkastens?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma


V=?V=GhPrisma\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=?\\\mathrm V=\mathrm G\cdot h_\mathrm{Prisma}\end{array}
Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel:
V=GhPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
G=a+c2hTrapez\displaystyle \mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Trapez}
Die Höhe hPrismah_\mathrm{Prisma} ist 100cm, aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben. Die Grundfläche ist ein Trapez.Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden:
G=a+c2hTrapez\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}
G=20  cm+15  cm218  cm\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35  cm  218  cm\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35182cm2\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2
G=17,5  cm18  cm=315  cm2\mathrm G=17,5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2
V=GhPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
In diese Formel setzt du G=315  cm2\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2 und hprisma=100  cm  ein  .{\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.
V=315  cm2100  cmV=31500  cm3\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=315\;\mathrm{cm}^2\cdot100\;\mathrm{cm}\\\mathrm V=31500\;\mathrm{cm}^3\end{array}

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) %%8\;\text{cm}%% hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist %%3\;\text{cm}%%.

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Marmeladenglas

Volumenberechnung eines Prismas

Prisma, Sechseck

Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.

%%V=G\cdot h_P%%

Das ist die Volumenformel eines Prismas.

Hier ist %%h_P=8\,\text{cm}%% und die Grundfläche %%G%% ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge %%a=3\,\text{cm}%%.

Sechseck

Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.

Sechseck, Dreiecke

Warum sind die Dreiecke gleichseitig?

In einem Sechseck beträgt die Winkelsumme $$(6-2)\cdot 180° = 720°.$$ Da das Sechseck regulär ist, ist jeder Winkel gleich groß. Da %%\dfrac{720°}{6}=120°,%% handelt es sich um %%120°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel

Im regelmäßigen Sechseck fallen die Diagonale und die Winkelhalbierende zusammen. Deshalb teilt eine Diagonale zwei gegenüberliegende %%120°-%%Winkel in jeweils zwei %%60°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel, Diagonale

Zeichnet man alle Diagonalen ein, erhält man sechs Dreiecke.

Sechseck, Winkel, Diagonalen

Da in einem Dreieck die Winkelsumme %%180°%% beträgt, muss der letzte Winkel in jedem Dreieck auch %%60°=180°-2\cdot60°%% sein.

Sechseck, Diagonalen, Winkel

Damit sind in in einem Dreieck alle Winkel %%60°%% und deshalb sind die Dreiecke gleichseitig.

Dreieck

%%F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}%%

Das ist die Flächenformel für das Dreieck.

%%h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}a%%

Mit dieser Formel kannst du die Höhe %%h_D%% im gleichseitigen Dreieck berechnen.

Herleitung der Formel

$$h_D^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras. Mit Umformen erhältst du:

$$h_D^2 = a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2.$$

Nun kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

$$h_D = \sqrt{a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2}$$

Durch Vereinfachen erhältst du die oben genannte Formel.

$$h_D= \sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt3}{2}a$$

Wenn du %%a=3\,\text{cm}%% in die Formel einsetzt, ergibt sich:

$$h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.

$$F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}$$

$$=\dfrac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

$$\approx 3,897\,\text{cm}^2$$

Sechseck, Dreiecke, Höhe

Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche %%G%% berechnen.

$$G=6\cdot F$$

$$= 6\cdot 3,897\,\text{cm}^2$$

$$= 23,382 \,\text{cm}^2$$

Mit %%h_P=8\,\text{cm}%% ergibt sich für das Volumen des Prismas:

$$V=G\cdot h_P$$

$$= 23,382 \,\text{cm}² \cdot 8\,\text{cm}$$

%%= 187,056 \, \text{cm}^3%%

Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.

$$V=187,056\,\text{cm}^3= 187,056\,\text{ml} \approx 187\,\text{ml}$$

Antwort: In das Glas passen also etwa %%187\,\text{ml}%% Marmelade.

Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?

Zylinder

V=r2πhV=r^2 \cdot \pi \cdot h
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
r=d:2=30cm:2=15cmr= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(15cm)2π60cmV=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}
Das rechnest du aus,
=13500π cm3=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3
=42411,5008.cm3= 42\,411,5008….\, \text{cm}^3
und rundest das Ergebnis.
42412cm3\approx 42\,412\, \text{cm}^3

Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35cm Durchmesser und h=450mm Höhe.
Wie viel Liter fasst das Gefäß?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Gegeben:
Zylinder mit
  • Durchmesser d=35cmd=35 \, \text{cm}
  • Höhe h=450mmh=450\, \text{mm}
Gesucht:
Volumen VV in Litern (l)

Lösung:

Lösungidee:
V=?V=?
Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:
VZylinder=Gh=πr2hV_{Zylinder}=G\cdot h=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h
VZylinder=πr2hV_{Zylinder}=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h
Die Höhe hh ist gegeben, und den Radius rr kannst du aus dem Durchmesser dd berechnen.
Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, hh und rr die gleiche Einheit haben.
Tipp: Wenn du hh und rr (oder dd) schon jetzt beide in dm\text{dm} umwandelst, kommt das Volumen in dm3\text{dm}^3 (= in Litern l) heraus. Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.
Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:
h=450mm=4,5dmh=450\, \text{mm}=4,5\, \text{dm}
d=35cm=3,5dmd=35 \, \text{cm}= 3,5\,\text{dm}
Aus dem Durchmesser dd berechnest du dann den Radius rr,
r=d2=1,75dmr=\dfrac d2=1,75dm
… und setzt rr und hh in die Volumenformel ein:
V=π(1,75dm)24,5dmV=\mathrm\pi\cdot\left(1,75\mathrm{dm}\right)^2\cdot4,5\mathrm{dm}
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
V43,3dm3V\approx 43,3\, \text{dm}^3
dm3\text{dm}^3 sind dasselbe wie Liter.
Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .
V43,3  lV\approx43,3\;l
Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm.
Berechne das Volumen des Glases. Runde dein Ergebnis auf Einer.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

V=r2πhV=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(3,5  cm)2  π    8  cmV=(3,5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}
      =  98π  cm3\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3
      =  307,608  cm3\;\;\;=\;307,608…\;\mathrm{cm}^3
            308  cm3\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3
In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen. Wie hoch steht das Wasser im Glas?


Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Der "Innendurchmesser" ist der Durchmesser, den das Glas "innen" hat - also ohne die Glaswand dazu.
(Wenn man das Glas dagegen mit der Glaswand dazu misst, erhält man als Durchmesser den "Außendurchmesser"; denn man misst ja in diesem Fall nicht innen im Glas, sondern außen.)
Beispiel: Wenn das Glas 2mm dick ist und innen 8cm Durchmesser hat, dann hat es außen gemessen 8,4cm Durchmesser, weil an beiden Seiten noch 2mm für die Glaswand hinzukommen. In diesem Fall wäre also
  • der Innendurchmesser 8 cm, und
  • der Außendurchmesser 8,4 cm.

Zylinder

Gegeben:
Zylinder mit
  • Durchmesser d=8cmd=8 \mathrm{cm}
  • Volumen V=150mlV=150 \mathrm{ml}
(gemeint ist der Zylinder aus Wasser, nicht der aus Glas!)
Gesucht:
Höhe hh

Lösungsidee

Die Höhe hh kommt in der Formel V=r2πhV=r^2\cdot \pi \cdot h für das Volumen eines Zylinders vor.
Diese Formel kannst du nach hh umstellen und zum Berechnen der Höhe verwenden.

Lösung

Formel umstellen
V=r2πhV=r^2\cdot \pi \cdot h
:(r2π)|: (r^2\cdot \pi)
Auf diese Weise erreichst du, dass hh auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
Vr2π=h\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}= h

Wenn es dich stört, dass hh jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben:
h=Vr2π\Rightarrow h=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}
Zahlen einsetzen
h=Vr2πh=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}
In diese Formel setzt du nun die Werte ein:
V=150mlV=150 \mathrm{ml} ist gegeben,
der Radius rr ist die Hälfte vom Durchmesser dd, d=8cmd=8 \mathrm{cm} ist ebenfalls gegeben,
und die Kreiszahl π\pi ist ohnehin immer konstant.
in Arbeit
Welches Volumen hat ein 4,5m4{,}5\, \mathrm{m} hohes Haus mit der Breite 4m4\, \mathrm{m} und der Länge 7m7\, \mathrm{m}, wenn das Dachgeschoss 2m2 \, \mathrm{m} hoch ist?
Haus im Bau

Volumenberechnung

Haus im Bau
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben: Länge des Quaders = 7m7\, \mathrm{m} Breite des Quaders = 4m4\, \mathrm{m}
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (4,5m4{,}5 \, \mathrm{m}) die Höhe des Dachs (2m2 \, \mathrm{m}) abziehst.
Höhe des Quaders = 4,5m2m=2,5m4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
VQuader=La¨ngeBreiteHo¨he=7m4m2,5m=70m3V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}


Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben: Länge des Dachs = 7m7 \, \mathrm{m} Breite des Dachs = 4m4 \, \mathrm{m} Höhe des Dachs = 2m2 \, \mathrm{m}
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
GPrisma=12BreiteHo¨he=124m2m=4m2G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
VPrisma=GPrismaLa¨nge=4m27m=28m3V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}


Gesamtvolumen des Hauses

VHaus=?V_\text{Haus} = \ldots ?
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
VHaus=VQuader+VPrisma=70m3+28m3=98m3V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von 98m398\, \mathrm{m^3}.
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Oberfläche von 150,72cm2150,72cm^2 und einem Durchmesser von 6cm6cm.
Berechne die Höhe des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders

O=2r2π+2rπh2r2πO=2r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh} \quad | -2r^2\mathrm\pi
O2r2π=2rπh:2rπO-2r^2\mathrm\pi=2\mathrm r\mathrm\pi\mathrm h \quad | :2r\mathrm\pi
h=O2r2π2rπh=\cfrac{O-2r^2\mathrm\pi}{2r\mathrm\pi}
h=150,72293,14233,14=150,7256,5218,84=94,218,84=5h=\dfrac{150,72-2\cdot9\cdot3,14}{2\cdot3\cdot3,14}=\dfrac{150,72-56,52}{18,84}=\dfrac{94,2}{18,84}=5
Die Höhe des Zylinders beträgt 5cm5cm.
Herr Müller möchte ein Kabel mit einem Volumen von 0,63m30,63 \,\mathrm{m^3} verlegen. Der Radius beträgt 10cm10 \,\mathrm{cm}. Berechne die Länge des Kabels. Runde beim Ergebnis auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders ist:
V=πr2l\displaystyle V = \pi r^2 \cdot l
Da die Länge ll gesucht ist, musst du die Formel danach auflösen, wie folgt:
V=πr2ll=Vπr2\displaystyle V = \pi r^2 \cdot l \Rightarrow l = \dfrac{V}{\pi r^2}
Nun brauchst du nur noch die Werte einzusetzen. Hierbei musst du beachten, dass der Radius in cm\mathrm{cm} angegeben ist und in m\mathrm{m} umgerechnet werden muss:
l=Vπr2l=0,63m3π(10cm)2l=0,63m3π(0,1m)2l=20m\displaystyle \begin{array}{rcl} l &=& \dfrac{V}{\pi r^2} \\\\ l &=& \dfrac{0,63 \,\mathrm{m^3}}{\pi \cdot (10 \,\mathrm{cm})^2} \\\\ l &=& \dfrac{0,63 \,\mathrm{m^3}}{\pi \cdot (0,1 \,\mathrm{m})^2} \\\\ l &=& 20 \,\mathrm{m} \end{array}
Das heißt, dass die Länge des Kabels 20m20 \,\mathrm{m} beträgt.
Eine Getränkedose hat eine Höhe hh von 16,8cm16,8 \text{cm}. Der Durchmesser dd beträgt 6,7cm6,7 \text{cm}. Berechne das Volumen der Dose.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
VZyl=πr2h\displaystyle V_{\mathrm{Zyl}} = \pi r^2 \cdot h
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius daraus erechnen, wie folgt:
d=2rr=12dr=126,7cm=3,35cm\displaystyle \begin{array}{rcl} d = 2r \Rightarrow r &=& \dfrac{1}{2}d \\\\ r &=& \dfrac{1}{2} \cdot 6,7 \mathrm{cm} = 3,35 \mathrm{cm} \end{array}
Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen, um das Volumen zu berechnen.
VZyl=πr2hVZyl=π(3,35cm)216,8cmVZyl=592cm2\displaystyle \begin{array}{rcl} V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi r^2 \cdot h \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi \cdot (3,35 \,\mathrm{cm})^2 \cdot 16,8 \,\mathrm{cm} \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& 592 \,\mathrm{cm}^2 \end{array}
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders 592cm2592 \,\mathrm{cm}^2 beträgt.
Ein zylinderförmiger Lautsprecher hat eine Höhe von h=18cmh = 18 \,\mathrm{cm}. Der Radius beträgt r=3,75cmr = 3,75 \,\mathrm{cm}. Berechne das Volumen.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

VZyl=πr2h\displaystyle V_{\mathrm{Zyl}} = \pi r^2 \cdot h
In diese Formel setzt du nun die gegebnen Werte ein.
VZyl=πr2hVZyl=π(3,75cm)218cmVZyl795cm3\displaystyle \begin{array}{rcl} V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi r^2 \cdot h \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi \cdot (3,75 \,\mathrm{cm})^2 \cdot 18 \,\mathrm{cm} \\ V_{\mathrm{Zyl}} &\approx& 795 \,\mathrm{cm^3} \end{array}
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders ca. 795cm3795 \,\mathrm{cm^3} beträgt.
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