Aufgaben

Fasse so weit wie möglich zusammen.

Zu text-exercise-group 5495:
Nish 2018-10-11 15:21:43+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
Nish 2018-11-30 20:45:28+0100
Zusatz: Die Verlinkungen stimmen nicht immer, da statt auf den Artikel Potenzgesetze auf den Artikel zu den Potenzen verlinkt wird. Bitte bei allen Teilaufgaben nochmal checken und die Lösungen könnten noch auführlicher sein. Zum Beispiel kann man das verwendete Potenzgesetz genauer bennen (siehe Lösung Teilaufgae c) )

LG,
Nish
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%%a^3\;:\;a^6%%

1. Darstellung

Artikel zum Thema

$$\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}$$

Kürze die Faktoren die sowohl im Nenner und im Zähler vorkommen.

$$=\frac1{a\cdot a\cdot a}=\frac1{a^3}=a^{-3}$$

2. Darstellung

Artikel zum Thema

%%\begin{array}{l}a^3:a^6\\\end{array}%%

Potenzgesetze anwenden.

$$=a^{3-6}=a^{-3}$$

%%2x^{-2}\;\cdot\;3x^3%%

Potenzgesetze

Hier benötigst du Wissen zu den Potenzgesetzen.

%%2x^{-2}\cdot3x^3%%

Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.

%%=2\cdot 3\cdot x^{-2} \cdot x^3%%

Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.

%%=2\cdot3\cdot x^{-2+3}%%

Verrechne im Exponenten.

%%=6x%%

%%10^{-12}\;:\;10^{-3}%%

Potenzgesetze

In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der Potenzgesetze.

%%10^{-12}:10^{-3}%%

Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.

%%=10^{-12-\left(-3\right)}%%

Fasse den Exponenten zusammen.

%%=10^{-9}%%

%%x^{-n}\;\cdot\;x%%

Potenzgesetze

Thema der Aufgabe sind die Potenzgesetze

%%x^{-n}\;\cdot\;x=%%

%%x%% entspricht %%x^1%% .

%%=x^{-n}\cdot x^1%%

Wende die Potenzgesetze an.

%%=x^{-n+1}%%

Alternativer Lösungsweg

$$x^{-n}\;\cdot\;x=$$

Negative Potenzen werden als Bruch mit %%1%% im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.

$$=\frac{1}{x^{n}}\;\cdot\;x^{1}$$

Multiplizieren.

$$=\frac{x^{1}}{x^{n}}$$

Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

$$=x^{1-n}$$

%%0,5x^2+1,5x^3%%

%%\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}%%

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}%%

Potenzgesetz anwenden . Das Minus im Exponent in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird. %%x^{-2}=\frac1{x^2}%%

%%=\left(\frac{y^{-5}y^2}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

Potenzgesetz anwenden . Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren .

%%=\left(\frac{y^{-5+2}}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

%%=\left(\frac{y^{-3}}{x^3y^{-4}}\right)^2%%

Kürzen mit %%y^{-3}%%

%%=\left(\frac1{x^3y^{-1}}\right)^2%%

Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.

%%=\left(\frac y{x^3}\right)^2%%

 

%%=\frac{y^2}{x^6}%%

 

%%\left(2x^3\right)^2%%

%%\left(2x^3\right)^2%%

Potenzgesetz : %%\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x%%

%%=2^2\cdot\left(x^3\right)^2%%

Potenzgesetz : %%\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}%%

%%=2^2\cdot x^{3\cdot2}%%

%%=4\cdot x^6%%

Finde alle zueinander äquivalenten Terme:   
  • Term 1: x10  x^{10}\;
  • Term 2: x6x^{-6}
  • Term 3: (x2)4\left(x^{-2}\right)^4
  • Term 4: x5+x5x^5+x^5
  • Term 5: (x)6\left(-x\right)^6
  • Term 6: x8x^{-8}
  • Term 7: x15:x5x^{15}:x^5
  • Term 8: x22x16x^{-22}\cdot x^{16}
  • Term 9: x6-x^6

Potenzgesetze

Thema dieser Aufgabe sind die Potenzgesetze.
1.Term:
x10  x^{10}\;
2. Term
x6x^{-6}
3. Term:
(x2)4=x24=x8\left(x^{-2}\right)^4=x^{-2\cdot4}=x^{-8}
Potenzgesetze anwenden.
4. Term:
x5+x5=2x5x^5+x^5=2x^5
5. Term:
(x)6=x6\left(-x\right)^6=x^6
Das Minus fällt hier weg, da die Potenz eine gerade Zahl ist und man somit eine positive Zahl als Ergebnis erhält.
6. Term:
x8x^{-8}
7. Term:
x15:x5=x155=x10x^{15}:x^5=x^{15-5}=x^{10}
Potenzgesetze anwenden.
8. Term:
x22x16=x22+16=x6x^{-22}\cdot x^{16}=x^{-22+16}=x^{-6}
Potenzgesetze anwenden.
9. Term:
x6=(x)6=x6-x^6=-(x)^6=-x^6

Äquivalente Terme:

  • Term 1 und Term 7 sind zueinander äquivalent: x10x^{10}
  • Term 2 und Term 8 sind zueinander äquivalent: xx⁶
  • Term 3 und Term 6 sind zueinander äquivalent: x8x^{-8}


Vereinfach die folgenden Terme.

%%10\;\cdot\;10^{-2}\;:\;10^4+10^0%%

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%10\cdot10^{-2}:10^4+10^0%%

Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.

%%=10^{1-2}:10^4+10^0%%

Berechne die Differenz der ersten Potenz .

%%=10^{-1}:10^4+1%%

Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen.

%%=10^{-1-4}+1%%

Berechne die Differenz der Potenz .

%%=10^{-5}+1%%

%%=1,00001%%

 

Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze

 

$$a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5$$

Potenzgesetze

Artikel zum Thema

%%a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5=%%

Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz , bei gleichen Basen, immer anwenden.

%%=a^{4+2}\cdot b^6\cdot c^{9+5}\cdot d^{\left(-2\right)+\left(-9\right)}%%

Berechne durch Addition nun die jeweiligen Potenzen .

%%=a^6\cdot b^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}%%

Die Basen sind zwar unteschiedlich, aber da die Potenzen die gleichen sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(ab\right)^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}%%

 

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.

Zu text-exercise-group 4487:
Nish 2018-10-04 12:59:24+0200
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LG,
Nish
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%%\left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^k%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^{k\;}%%

%%=\left(z^{2k-5-3}\right):z^k%%

Exponenten berechnen.

%%=z^{2k-8}:z^k%%

%%=z^{2k-8-k}%%

Exponenten berechnen.

%%=z^{k-8}%%

 

903n23n90\cdot3^{n-2}-3^n

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

903n23n90\cdot3^{n-2}-3^n
9090 aufspalten damit 323^2 wegfällt.
=10323n23n=10\cdot3^2\cdot3^{n-2}-3^n
Potenzgesetze anwenden.
=1032+n23n=10\cdot3^{2+n-2}-3^n
=103n3n=10\cdot3^n-3^n
3n3^n ausklammern.
=3n(101)=3^n \cdot (10-1)
=93n=9\cdot3^n
In Potenz umschreiben.
=3n32=3^n\cdot3^2
Potenzgesetze anwenden.
=3  n+2=3^{\;n+2}

%%\left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\left(\frac x4\right)^{3\cdot5}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac x4\right)^{15}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right):\left(\frac{x^6}{2^6}\right)%%

 

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{2^6}{x^6}\right)%%

%%2^6%% in %%4^3%% umwandeln damit kürzen möglich ist.

%%=\left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{4^3}{x^6}\right)%%

Potenzen kürzen.

%%=\left(\frac{x^9}{4^{12}}\right)%%

 

%%\frac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}%%

%%=\frac{\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^{2k+1}}%%

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-\left(2k+1\right)}%%

Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-2k-1}%%

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{-2}%%

Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.

%%=\left(-1\right)^{2k-1}\cdot\frac1{\left(-3a+1\right)^2}%%

 

%%=\frac{\left(-1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^2}=-\frac1{(-3a+1)^2}%%

 

%%\left(\frac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\frac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\frac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\frac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\frac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\left(\frac{6^3a^6b^{-6}}{c^{3n+3}d^{6n}}\right):\left(\frac{\mathrm{ab}^{-1}\cdot3\mathrm{ab}^{-2}}{2\left(\mathrm{cd}\right)^n\cdot c^nd^{2n}}\right)^2%%

 

  %%=\left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right):\left(\frac{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}\right)%%

Mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right)\cdot\left(\frac{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}\right)%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{216\mathrm a^64\mathrm c^{4\mathrm n}\mathrm d^{6\mathrm n}}{9\mathrm a^4\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}}\;%%

Kürzen.

%%=\frac{216\mathrm a^24\mathrm c^{\mathrm n-3}}9%%

%%=96a^2c^{n-3}%%

$$\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}$$

Annahme: %%x,y,z\;>\;0%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}%%

unter der Annahme, dass  %%x,y,z\;>\;0%%

Mit dem Kehrwert des Bruches multipilzieren.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}{x^{2a}}%%

Potenzen ausmultiplizieren.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left(-z\right)^{4\left(3b+3\right)}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{3\left(2b-1\right)}}{x^{2a}}%%

 

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y\right)^{6b+15}\cdot\;\left(-z\right)^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{6b-3}}{x^{2a}}%%

Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}%%

Faktorenzerlegung von %%\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}%%.

%%=\frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{y^{6b+10}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}%%

 

%%=\frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-\left(6b+15\right)}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-\left(12b+12\right)}%%

Klammern auflösen.

%%=\frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-6b-15}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-12b-12}%%

 

%%=\frac{x^5}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{-6b-15}%%

Weiter vereinfachen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10-6b-15}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}%%

 

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}%%

Nenner zusammenfassen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15+12b+12}\;}%%

 

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{18b+27}\;}%%

Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3-\left(18b+27\right)}}{1\;}%%

%%=\frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}}{1\;}%%

 

%%=x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}%%

Negative Exponente in einen Bruch umwandeln.

%%=\frac{x^5}{y^5\cdot z^5}\cdot\left(-1\right)^{-12b-30}%%

 

%%\left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\frac{2^{-3}a^3b^{-6}}{3^{-3}a^{-3}c^6}%%

%%=\frac{a^33^3a^3}{2^3c^6b^6}%%

 

%%=\frac{a^3\cdot27a^3}{8c^6b^6}%%

Potenzgesetze im Zähler anwenden.

%%=\frac{27a^6}{8b^6c^6}%%

 

%%\left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}%%

Potenzieren

Thema dieser Aufgaben sind Potenzen.

%%\displaystyle \left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}%%

Klammer nach Potenzgesetzen auflösen.

$$\displaystyle =\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}:\;\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}$$

Division in Bruchschreibweise darstellen.

$$\displaystyle =\frac{\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}}{\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}}$$

Die Division zweier Brüche lässt sich auch als das Produkt des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs darstellen.

%%\displaystyle =\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}\cdot\frac{u^{2n+1}}{-v^{2n+1}}%%

Zu einem Bruch zusammenfassen.

%%\displaystyle =\frac{u^n\cdot v^{3n+4}\cdot u^{2n+1}}{v^n\cdot u^{3n+4}\cdot(-v^{2n+1})}%%

Die Exponenten von %%u%% und %%v%% nach Potenzgesetzen zusammenfassen.

%%-v^{2n+1}%% lässt sich zur Erleichterung auch als %%\left(-1\right)\cdot v^{2n+1}%% schreiben.

%%\displaystyle =\frac{u^{n+2n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{n+2n+1}}%%

Exponenten zusammenfassen.

%%\displaystyle =\frac{u^{3n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{3n+1}}%%

%%\displaystyle =u^{3n+1-(3n+4)}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3n+4-(3n+1)}%%

%%\displaystyle =u^{-3}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3}%%

%%u^{-3}=\frac1{u^3}%%

%%\displaystyle =\frac{\left(-1\right)\cdot v^3}{u^3}%%

%%\displaystyle =\frac{-v^3}{u^3}%%

%%\displaystyle =-\left(\frac vu\right)^3%%

%%\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}%%

Den zweiten Bruch mit %%x^2%% erweiteren .

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2-x}{x^m\cdot x^{-2}}%%

%%x^{-2}%% mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^2-x^3}{x^m}%%

Den dritten Bruch mit %%x^2%% erweiteren .

%%=\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^4-x^5}{x^{m+2}}%%

%%=\frac{x^5+1-2x^4+2x^2+2x^4-x^5}{x^{m+2}}%%

%%=\frac{1+2x^2}{x^{m+2}}%%

 

%%\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1-4p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-\left(p+1\right)}%%

Klammer auflösen.

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-p-1}%%

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p+(-p)-1}%%

 

%%=\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-3p}=\left(\frac{z+5}{z-3}\right)^{3p}%%

 

%%\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}%%

Potenzieren

Artikel zum Thema

%%\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}=%%

Den Bruch in der runden Klammer mit 2 erweitern.  

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac{t-2}2\right)^{-1}\right]^{-2}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac2{t-2}\right)\right]^{-2}%%

Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;t\left(t-2\right)%%

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{1\left(t-2\right)}{t\left(t-2\right)}-\frac{t\cdot2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

 

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t-2-2t}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

 

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{-t-2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}%%

  Potenzgesetz anwenden.

%%=\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

Runde Klammer: Hauptnenner bilden. %%\rightarrow\;\;t%%

%%=\left(\frac tt+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

 

%%=\left(\frac{2+t}t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2%%

  Potenzgesetz anwenden.

  %%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot t\left(t-2\right)}{t\cdot\left(-t-2\right)}\right)^2%%

%%t%% kürzen.

%%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{\left(-t-2\right)}\right)^2%%

Nenner mit ( -1) erweitern.

%%=\left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{-1\left(t+2\right)}\right)^2%%

mit %%2+t%% kürzen.

%%=\left(\frac{t-2}{-1}\right)^2%%

 

%%=(-(t-2))^2%%

 

%%=\left(t-2\right)^2%%

 

Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.

%%\frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}%%

Potenzieren

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%%\frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}%%

Potenzgesetze anwenden.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}:\frac{\frac1{\left(2a\right)^3}}{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}}%%

Wegen Division Bruch umkehren.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}}{\frac1{\left(2a\right)^3}}%%

Wegen Division Bruch umkehren.

%%=\frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}\cdot\frac{\left(2a\right)^3}1%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{\frac{4z^2}a}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{8a^3}{x^2\cdot y^4\cdot z^2}%%

%%=\frac{\frac{4z^2\cdot8a^3}a}{x^{6+2}\cdot y^{3+4}\cdot z^2}%%

%%=\frac{4\cdot8a^2}{x^8y^7}%%

Zusammenfassen.

%%=\frac{32a^2}{x^8y^7}%%

 

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