Aufgaben
Berechne die periodischen Dezimalbrüche
16\frac{1}{6}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.
16=1:6\frac{1}{6}=1:6
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}1 :6 = 0{,}1666\ldots\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}6}\\\hphantom{-6}40\\\hphantom{6}\underline{-36}\\\hphantom{-36}40\\\hphantom{36}\underline{-36}\\\hphantom{-000}40\\\hphantom{000}\underline{-36}\\\hphantom{-0000}40\\\hphantom{-00000}\vdots\\\end{array}%%
Da der Rest der schriftlichen Division immer 4 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als 0,160{,}1\overline{6} schreiben.
19\frac{1}{9}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.
19=1:9\frac19=1:9
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}1 :9 = 0{,}111\ldots\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-6}10\\\hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-36}10\\\hphantom{36}\underline{-\hphantom{1}9}\\\hphantom{-000}10\\\hphantom{-0000}\vdots\\\end{array}%%
Da der Rest der schriftlichen Division immer 1 ist, ist der Dezimalbruch periodisch und du kannst ihn als 0,10{,}\overline{1} schreiben.
1311\frac{13}{11}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.
1311=13:11\frac{13}{11}=13:11
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}13 :11 = 1{,}18\ldots\\\underline{-11}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-11}\\\hphantom{-00}90\\\hphantom{60}\underline{-88}\\\hphantom{-000}20\\\hphantom{-0000}\vdots\\\end{array}%%
Da der Rest im dritten Schritt (2) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 18.
1311=1,18\frac{13}{11}=1{,}\overline{18}
57\frac{5}{7}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.
57=5:7\frac{5}{7}=5:7
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}5 :7 = 0{,}714285\ldots\\\hphantom{-}50\\\underline{-49}\\\hphantom{-6}10\\\hphantom{6}\underline{-\hphantom{1}7}\\\hphantom{-36}30\\\hphantom{36}\underline{-28}\\\hphantom{-000}20\\\hphantom{000}\underline{-14}\\\hphantom{-0000}60\\\hphantom{0000}\underline{-56}\\\hphantom{-00000}40\\\hphantom{00000}\underline{-35}\\\hphantom{-000000}50\\\hphantom{-0000000}\vdots\\\end{array}%%
Da der Rest im sechsten Schritt (5) schon im ersten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 714285.
57=0,714285\frac{5}{7}=0{,}\overline{714285}
1712\frac{17}{12}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

Es handelt sich hierbei um einen Periodischen Dezimalbruch.
1712=17:12\frac{17}{12}=17:12
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}17 :12 = 1{,}416\ldots\\\underline{-12}\\\hphantom{-1}50\\\hphantom{1}\underline{-48}\\\hphantom{-00}20\\\hphantom{60}\underline{-12}\\\hphantom{-000}80\\\hphantom{600}\underline{-72}\\\hphantom{-0000}80\\\hphantom{-00000}\vdots\\\end{array}%%
Da der Rest im vierten Schritt (8) schon im dritten Schritt vorkam, ist der Dezimalbruch periodisch mit Periode 6.
1712=1,416\frac{17}{12}=1{,}41\overline{6}

Wandle durch Zählen der Periodenlänge in einen Bruch um!

Zu text-exercise-group 32573:
Renate 2017-08-22 21:44:25+0200
FORMULIERUNG DER AUFGABENSTELLUNG
Gibt es einen speziellen Grund, warum "durch Zählen der Periodenlänge" in der Aufgabenstellung steht?
Ich finde, wir sollten hier einfach schreiben: "Wandle den Dezimalbruch in einen Bruch um" oder eventuell "Wandle den periodischen Dezimalbruch in einen (gekürzten) Bruch um".

Denn ich zumindest wüsste ohnehin keine "alternative" Methode für die Umwandlung, und damit, finde ich, ist es dann eigentlich Teil der Aufgabe, dass man weiß, was für so eine Umwandlung zu tun ist. Zudem ist es nur mit "Zählen" der Periodenlänge ja nicht getan...

Was meint ihr?
Gruß
Renate
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%%3,\overline{478}%%

Schreibe die Dezimalzahl als Summe.

%%3,\overline{478}=3+0,\overline{478}%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner drei Neunen schreibst, da die Periode drei Stellen hat.

%%3+0,\overline{478}=3+\dfrac{478}{999}%%

Bringe den Bruch auf den Hauptnenner 999.

%%3+\dfrac{478}{999}=\dfrac{2997}{999}+\dfrac{478}{999}=\dfrac{3475}{999}%%

%%9,\overline{7}%%

Schreibe %%9,\overline7%% als Summe.

%%9,\overline7=9+0,\overline7%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode und in den Nenner eine 9 schreibst, da die Periode eine Stelle hat.

%%9+0,\overline7=9+\dfrac79%%

Bringe nun auf den Hauptnenner 9 und fasse zusammen.

%%9 \dfrac79= \dfrac{81}{9}+\dfrac79=\dfrac{88}9%%

Damit hast du das Ergebnis, denn der Bruch lässt sich nicht mehr kürzen.

Ergebnis: %%9 \dfrac79= \dfrac{88}9%%

%%4,\overline3%%

Schreibe die Zahl als Summe.

%%4,\overline3=4+0,\overline3%%

Wandle den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du die Periode in den Zähler und eine Neun in den Nenner schreibst, weil die Periode nur eine Stelle hat.

%%4 +0,\overline3=4+\dfrac39%%

Bringe beide Summanden auf den Hauptnenner 36.

%%\dfrac{36}{9}+\dfrac39=\dfrac{39}9=\dfrac{13}{3}%%

Wandle die folgenden gemischte Brüche in Dezimalzahlen um:
5125\frac12

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln



512=5+12=5+(1:2)5\frac12=5+\frac12=5+(1:2)
Führe die schriftliche Division 1:21:2 durch.
      1:2=0,5      1010          0\begin{array}{l}\;\;\;1 :2 = 0{,}5 \\\;\;\;10\\\underline{-\,10}\\\;\;\;\;\;0\end{array}

12=0,5\Rightarrow\frac12=0{,}5
Zusammen mit den 5 Einern ergibt sich:
512=5,55\frac12=5{,}5
77117\frac7{11}
4162564\frac{16}{256}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln



4162564\frac{16}{256}
Führe schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\;\;\;16:256= 0{,}0625 \\\;\;\;1600\\\underline{-\,1536}\\\;\;\;\;\;\;\;640\\\underline{-\;\;\;\;\,512}\\\;\;\;\;\;\;\;1280\\\underline{-\,\quad1280}\\\qquad\quad 0\end{array}%%
Mit 4 Einern ergibt sich 4+0,0625=4,06254+0{,}0625=4{,}0625.
Wandle die folgenden Brüche in Dezimalzahlen um:
210\dfrac2{10}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

210\frac2{10} sind 2 Zehntel, also 0,20{,}2.

Alternativer Weg:

Der Bruchstrich bedeutet Division.
210\frac2{10} =2:10=2:10
Führe die schriftliche Division durch.
2:10=0,2202020\begin{array}{l}\hphantom{-}2 :10 = 0{,}2\\\hphantom{-}20\\\underline{-20}\\\hphantom{-2}0\\\end{array}
  210=0,2\Rightarrow\;\frac2{10}=0{,}2
54\dfrac54

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Erweitere den Bruch mit 25, damit der Nenner 100 wird.
54\dfrac54 =525425=125100=\dfrac{5\cdot 25}{4\cdot 25}=\dfrac{125}{100}
54\frac54 sind also 125 Hundertstel oder 1,251{,}25.

Alternativer Weg:

Führe die schriftliche Division durch.
54=5:4\frac54=5:4
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}5 :4 = 1{,}25 \\\underline{-4}\\\hphantom{-}10\\\underline{-\hphantom{1}8}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-20}\\\hphantom{-10}0\end{array}%%
  54=1,25\Rightarrow\;\frac54=1{,}25
1225\dfrac{12}{25}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Erweitere den Bruch mit 4, damit der Nenner 100 wird.
1225\dfrac{12}{25} =124254=48100=\dfrac{12\cdot4}{25\cdot4}=\dfrac{48}{100}
1225\frac{12}{25} sind also 48 Hundertstel oder 0,480{,}48.

Alternativer Weg:

Führe die schriftliche Division durch.
1225=12:25\dfrac{12}{25}=12:25
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}12 :25= 0{,}48 \\\hphantom{-}120\\\underline{-100}\\\hphantom{-1}200\\\hphantom{1}\underline{-200}\\\hphantom{-100}0\end{array}%%
  1225=0,48\Rightarrow\;\frac{12}{25}=0{,}48
23\dfrac23

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Führe die schriftliche Division durch.
23=2:3\frac23=2:3
%%\begin{array}{l}\hphantom{-}2 :3= 0,6666… \\\hphantom{-}20\\\underline{-18}\\\hphantom{-1}20\\\hphantom{1}\underline{-18}\\\hphantom{-11}20\\\hphantom{11}\underline{-18}\\\hphantom{-111}20\\\hphantom{111}\underline{-18}\\\hphantom{-1111}20\\\hphantom{-11111}\vdots\end{array}%%
  23=0,6666=0,6\Rightarrow\;\frac23=0,6666…=0,\overline6
89\dfrac89

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

89=8:9\dfrac89=8:9
Führe die schriftliche Division durch.
%%\begin{array}{l}\;\;\;8 :9= 0,8888… \\\;\;\;80\\\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;80\\\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\;\;\underline{-\,72}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;80\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\end{array}%%
  89=0,888888=0,8\Rightarrow\;\frac89=0,888888…=0,\overline8

Wandle die folgenden Dezimalbrüche in Brüche um:

Gib dabei den Bruchstrich als "/" ein. Ein gemischter Bruch wird bei der Eingabe durch ein Leerzeichen getrennt.

Beispiel: %%1\frac23%% müsste als %%1%% %%2/3%% eingegeben werden.

%%0{,}240%%

%%0{,}240%%

Das sind 2 Zehntel 4 Hundertstel 0 Tausendstel.

%%=\frac2{10}+\frac4{100}+\frac0{1000}%%

%%=\frac2{10}+\frac4{100}%%

Addiere die Brüche.

%%=\frac{24}{100}%%

Kürze mit 4.

%%=\frac6{25}%%

Alternativer Weg

%%0{,}240%% sind 240 Tausendstel bzw. 24 Hundertstel.

%%0{,}240=\frac{24}{100}%%

Kürze mit 4.

%%=\frac6{25}%%

Wandel folgende Brüche in Dezimalzahlen um.
23\frac23

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

23=0,6666=0,6\frac23=0{,}6666…=0{,}\overline6
89\frac89

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

89=0,8888=0,8\frac89=0{,}8888…=0{,}\overline8
5125\frac12

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zuerst 12 \frac12:
12=0,5\displaystyle \frac12=0{,}5
Dann kannst du 5125\frac{1}{2} berechnen.
512=5+12=5+0,5=5,5\displaystyle 5\frac12=5+\frac12 = 5 + 0,5 = 5,5
77117\frac7{11}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zuerst 711 \frac{7}{11}:
711=0,636363=0,63\displaystyle \frac7{11}=0{,}636363…=0{,}\overline{63}
Dann kannst du 77117\frac{7}{11} berechnen:
7711=7+711=7+0,63=7,63\displaystyle 7\frac7{11}=7+\frac7{11} = 7+0{,}\overline{63} =7{,}\overline{63}
4162564\frac{16}{256}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Als erstes formst du den gemischten Bruch um:
416256=4+16256\displaystyle 4\frac{16}{256}=4+\frac{16}{256}
Dann kannst du mit 16 Kürzen und 116\frac{1}{16} ausrechnen:
16256=116=0,0625.\displaystyle \frac{16}{256} = \frac{1}{16} =0{,}0625.
Zum Schluss rechnest du alles zusammen:
416256=4+16256=4+116=4+0,0625=4,0625\displaystyle 4\frac{16}{256}=4+\frac{16}{256}=4+\frac{1}{16} = 4 + 0,0625 = 4,0625
78\frac78
315323\frac{15}{32}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zunächst mit Taschenrechner oder schriftlicher Division:
1532=0,46875\displaystyle \frac{15}{32}=0{,}46875
Berechne dann den gesamten gemischten Bruch:
31532=3+1532=3+0,46875=3,46875\displaystyle 3\frac{15}{32}=3+\frac{15}{32}=3+0{,}46875=3{,}46875
3293\frac29

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zunächst 29\frac29:
29=0,22222=0,2\displaystyle \frac29=0{,}22222…=0{,}\overline2
Berechne dann den gesamten gemischten Bruch:
329=3+29=3+0,2=3,2\displaystyle 3\frac29=3+\frac29=3+0{,}\overline2=3{,}\overline2
374911113\frac{749}{1111}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zuerst mit dem Taschenrechner oder durch schriftliche Division:
7491111=0,67416741=0,6741\displaystyle \frac{749}{1111}=0{,}67416741…=0{,}\overline{6741}
Berechne dann den gesamten gemischten Bruch:
37491111=3+7491111=3+0,6741=3,6741\displaystyle 3\frac{749}{1111}=3+\frac{749}{1111}=3+0{,}\overline{6741}=3{,}\overline{6741}
40755-40\frac7{55}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zunächst:
755=0,12727=0,127\displaystyle \frac7{55}=0{,}12727…=0{,}1\overline{27}
Berechne dann:
40755=40755=400,127=40,127\displaystyle -40\frac7{55}=-40-\frac7{55}=-40-0{,}1\overline{27}= -40,1\overline{27}
1325-\frac{13}{25}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Den Bruch erweitern, sodass der Nenner 100 wird:
134254=52100\displaystyle -\frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4}=-\frac{52}{100}
Da der Nenner nun 100 ist, kann man den Dezimalbruch leicht ablesen:
52100=0,52\displaystyle -\frac{52}{100}=-0{,}52
4374\frac37

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zunächst:
37=0,428571428571=0,428571\displaystyle \frac37=0{,}428571428571…=0{,}\overline{428571}
Berechne dann:
437=4+37=4+0,428571=4,428571\displaystyle 4\frac37=4+\frac37=4+0{,}\overline{428571}=4{,}\overline{428571}
113811\frac38

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

Berechne zuerst 38\frac38. Es gilt: 38=0,375\frac38=0{,}375, da:
31258125=3751000=0,375\displaystyle \frac{3\cdot125}{8\cdot125}=\frac{375}{1000}=0{,}375
Berechne dann:
1138=11+38=11+0,375=11,375\displaystyle 11\frac38=11+\frac38=11+0{,}375=11{,}375
136-\frac{13}6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

136=216=2,166=2,16-\frac{13}6=-2\frac16=-2{,}166…=-2{,}1\overline6
17555-\frac{175}{55}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen

17555=31055=3,1818=3,18-\frac{175}{55}=-3\frac{10}{55}=-3{,}1818…=3{,}\overline{18}
Wandle folgende Dezimalbrüche in Brüche um und kürze so weit wie möglich.
0,3440{,}344

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,344=34410000{,}344=\dfrac{344}{1000}
Kürzen mit 8.
=43125=\dfrac{43}{125}
16,123416{,}1234

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,1234=1234100000{,}1234=\dfrac{1234}{10000}
16,1234=1612341000016{,}1234 = 16\dfrac{1234}{10000}
Kürzen mit 2.
=166175000=16\dfrac{617}{5000}
2,04352{,}0435

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,0435=435100000{,}0435=\dfrac{435}{10000}
2,0435=2435100002{,}0435=2\dfrac{435}{10000}
Kürzen mit 5.
=2872000=2\dfrac{87}{2000}
0,1111-0{,}1111

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,1111=111110000-0{,}1111=-\dfrac{1111}{10000}
Diesen Bruch kannst du nicht weiter kürzen, damit bist du also fertig.
0,004840{,}00484

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,00484=484100000{,}00484=\dfrac{484}{10000}
Kürzen mit 4.
=1212500=\dfrac{121}{2500}
10,101010{,}1010

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dezimalzahlen

0,1010=1010100000{,}1010=\dfrac{1010}{10000}
10,1010=1010101000010{,}1010= 10\dfrac{1010}{10000}
Kürzen mit 10.
=101011000=10\dfrac{101}{1000}

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um.

Wandle den Bruch durch Kürzen oder Erweitern in eine Dezimalzahl um!

Wandle den Bruch durch Division in eine Dezimalzahl um!

%%\frac{19}{32}%%

%%\frac{19}{16}=19:16%%

%%\hphantom{-}19:16=1{,}1875%%
%%\underline{-16}%%
%%\hphantom{-1}30%%
%%\hphantom{1}\underline{-16}%%
%%\hphantom{-1}140%%
%%\hphantom{1}\underline{-128}%%
%%\hphantom{-11}120%%
%%\hphantom{11}\underline{-112}%%
%%\hphantom{-111}80%%
%%\hphantom{111}\underline{-80}%%
%%\hphantom{-1111}0%%

Es wird die folgende Summe gebildet: %%1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+…%%

Bedenke dabei: %%0{,}\overline2=\frac29,\;0{,}\overline3=\frac39=\frac13,\;0{,}\overline7=\frac79%% usw.

  1. Schreibe die drei Nachfolger des Summanden 0,001 hin. Beschreibe, wie sich die Summe aufbaut.

  2. Berechne den Wert der obigen Summe.

  3. Berechne den Wert der Differenz %%3-0{,}2-0{,}02-0{,}002-…%%

Teilaufgabe 1

… 0,0001; 0,00001; 0,000001;

Jeder weitere Summand ist ein Zehntel seines Vorgängers.

Teilaufgabe 2

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Summand ein Zehntel seines Vorgänger ist, muss das Ergebnis %%1{,}\overline1%% sein.

%%1,\;\;\;\underset{\text{Zehntel}}{\overset{+0,1}1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underset{\text{Hundertstel}}{\overset{+0,01}1\;}\;\;\;\;\;\underset{\text{Tausendstel}}{\overset{+0,001}1}\;\;\text{usw.}%%

%%\frac{10}9%% ist hierbei der Bruch für %%1{,}\overline1%%.

Teilaufgabe 3

%%\rightarrow%% Da jeder weitere Subtrahend ein Zehntel seines Vorgängers ist, muss das Ergebnis %%3-0{,}\overline2%% sein.

%%\frac{25}9%% ist hierbei der Bruch für %%3-0{,}\overline2%% .