Eine Funktion ist eine Zuordnung, die
Das Element yy wird Funktionswert an der Stelle xx genannt.
Funktionsdiagramm Mengen Abbildungen
Eine Funktion ist eine Relation, also eine Teilmenge von dem Kartesischen Produkt X×YX\times Y, mit den Eigenschaften von oben.
Bemerkung: Häufig bezeichnet man Funktionen mit einem einzelnen Buchstaben. Der gewöhnlichste Name für eine Funktion ist ff.
Mit diesem Namen kann man einfach verdeutlichen, dass yy der Funktionswert an der Stelle xx ist, indem man y=f(x)y = f(x) schreibt. Gelesen wird dies "yy ist gleich ff von xx".
Beispiele für Funktionswerte sind dann:
  • f(Katze)=4f(\text{Katze})=4 ("der Funktionswert an der Stelle Katze ist 44")
  • f(Spinne)=8f(\text{Spinne})=8 ("ff von Spinne ist gleich 88")
  • f(Ameise)=6f(\text{Ameise})=6 ("ff von Ameise ist gleich 66")
  • f(Hund)=4f(\text{Hund})=4 ("ff von Hund ist gleich 44")

Beispiele von Funktionen

Beispiel 1

ff soll die Funktion sein, die jeder Tierart die Anzahl an Beinen zuordnet, die das Tier normalerweise hat. Warum ist ff eine Funktion?
Ganz einfach:
  • ff hat einen Definitionsbereich (die Menge aller Tierarten).
  • ff hat einen Wertebereich (die Menge N0\mathbb{N_0} aller natürlichen Zahlen mit der Null)
  • und jeder Tierart kann eindeutig eine solche Anzahl an Beinen zugeordnet werden.
Beispiel Funktion mit Tieren Mengen Abbildungen

Beispiel 2

Ein Mobilfunkanbieter berechnet für jede angefangene Gesprächsminute 0,150,15 €.
gg soll die Funktion sein, die der Dauer eines Telefonats die zugehörigen Kosten zuordnet.
Graph Mobilfunkanbieter
Der Definitionsbereich ist in diesem Beispiel durch die natürlichen Zahlen inklusive der Null gegeben (N0\mathbb{N}_{0}). Denn laut der Aufgabenstellung wird bei der Minutenangabe aufgerundet.
Am Graphen ist gut erkennbar, dass je länger man telefoniert, die Kosten steigen. Somit können Funktionen gut Zusammenhänge wiedergeben.

Beispiel 3

hh soll die Funktion sein, die jeder natürlichen Zahl das Doppelte ihres Wertes zuordnet. Für jede Zahl ist diese Zuordnung offensichtlich eindeutig.
Beispiele für Funktionswerte:
  • h(1)=21=2h(1) = 2\cdot1 = 2 (das Doppelte von 1 ist 2)
  • h(3)=23=6h(3) = 2\cdot 3 = 6
  • h(4)=8h(4) = 8
  • h(7)=14h(7) = 14
gg soll die Funktion sein, die jeder ganzen Zahl eine neue ganze Zahl zuordnet und zwar auf folgende Weise:
  • Einer geraden Zahl xx wird die Hälfte ihres Wertes zugeordnet.
  • Einer ungeraden Zahl xx wird das Doppelte ihres Wertes zugeordnet.

Oft verwendete Schreibweisen

Funktionen werden häufig auf folgende Weisen, mit einer sogenannten Funktionsgleichung aufgeschrieben:
Funktionsgleichung:
Funktionsschreibweise lineare Abbildung Funktionsgleichung
Erklärung:
Erklärung Funktion Bezeichnung
Die erste Variante wird vor allem an der Universität bzw. in der Wissenschaft genutzt.
Wichtig: Oft werden für Funktionsnamen und Variable andere Buchstaben verwendet. In der Physik verwendet man zum Beispiel t als Variable, wenn tt dabei die Zeit beschreiben soll (tempus ist das lateinische Wort für Zeit).
Betrachtet man mehrere Funktionen gleichzeitig, bietet es sich an eine als ff, eine als gg, eine als hh und so weiter zu bezeichnen.

Besondere Eigenschaften von Funktionen

Stetigkeit 

Eine Funktion ff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:
f(x0)=limxx0f(x)=limxx0+f(x)f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^+}f(x)
Mehr zum Thema in unserem Artikel Stetigkeit.                             

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ff heißt differenzierbar an einer Stelle x0x_0 ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert:
limxx0f(x)f(x0)xx0\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
Mehr zum Thema in unserem Artikel Differenzierbarkeit.
                                        

Periodizität einer Funktion

Eine reelle Zahl TT heißt Periode einer Funktion, wenn für alle Elemente xx aus der Definitionsmenge gilt: f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T) .
Die Funktion hat also im "Abstand TT" immer den gleichen Funktionswert.
Anders ausgedrückt:
Verschiebt man den Graphen in xx-Richtung um TT, so ändert sich der Funktionsgraph nicht.
Mehr zum Thema in unserem Artikel Periode (einer Funktion)

Beispiel:

f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) mit T=2πT=2\pi
Sinus Nullstellen Graph

Umkehrfunktion   

Die Umkehrfunktion   f1f^{-1} einer Funktion ff bezeichnet die Funktion, die die Funktionswerte f(x)f(x) wieder auf ihre Argumente xx abbildet (wenn so eine Funktion existiert, also wenn ff umkehrbar ist).Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird.
Mehr zum Thema auf unserer Partnerseite www.brinkmann-du.de.
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stpolster 2020-05-16 20:32:14+0200
Das Formelzeichen t für die Zeit ist nicht aus dem Englischen sondern aus dem Lateinischen "tempus" abgeleitet.
wolfgang 2020-05-25 09:58:53+0200
Hallo stpolster,
das stimmt natürlich. t kommt in der Tat von "tempus". Hast du Lust das gleich direkt auszubessern? Du kannst dazu einfach auf den grünen Bearbeitungsstift gehen.

Liebe Grüße
Wolfgang
Karin 2020-06-19 09:54:57+0200
Hallo stpolster,
danke nochmals für den Hinweis. ich habe es korrigiert.
Liebe Grüße
Karin
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Menuja 2018-12-23 21:11:37+0100
Tolle anschauliche Beispiele!! Als Verbesserungsvorschlag: Es können "einfache" Gegenbeispiele von Funktionen erläutert werden, sodass der Funktionsbegriff noch besser verstanden werden kann :)
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Kowalsky 2018-04-14 13:46:47+0200
Unter oft verwendete Schreibweisen: Hier sollte zwischen einer Zuordnungsvorschrift (ohne Gleichheitszeichen) und einer Funktionsgleichung (mit Gleichheitszeichen) unterschieden werden.
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Kowalsky 2017-11-09 12:19:54+0100
Es geht hier um den Unterrichtsstoff der 8. Klasse. Unter besondere Eigenschaften tauchen dann Worte wie "Stetigkeit, Differenzierbarkeit , Periodizität und Umkehrfunktion auf". Dies ist aber Stoff der Oberstufe? Diese Verlinkung ist nicht hilfreich.
Nish 2018-04-09 13:54:29+0200
Hallo Kowalsky,
dieser Kommentar ist uns/mir leider untergegangen. Ich habe mittlerweile die Eigenschaften zu den entsprechenden Artikel nochmal extra verlinkt, damit man weiß, dass in den entsprechenden Artikeln erst mehr dazu kommt.
Ansonsten bearbeite ich noch den Artikel weiter und gehe noch auf deine Frage in meiner nächsten Antwort ein.

Vielen Dank schonmal für deine Anregung/dein Feedback!
LG,
Nish
Nish 2018-04-15 17:46:53+0200

Leider bin ich noch nicht dazu gekommen, mir den Artikel zur Funktion genauer anzuschauen und weiter zu bearbeiten. Danke für deine Feedbacks.
Wenn du selber diesen Artikel überarbeiten möchtest, sag mir Bescheid! Ich (wir) helfe dir gerne weiter!
Ich weiß auch nicht, ob ich in naher Zukunft dazu komme, da ich durch meine anderen Aufgaben bei Serlo und durch mein Studium zeitlich natürlich eingeschränkt bin. Im Notfall versuche ich jdn. zu finden, der diesen Artikel überarbeitet. Sebastian hat ja auch vor 2 Jahren sehr gute Verbesserungsvorschläge (Kommentar weiter unten) gemacht, die wir auch noch berücksichtigen sollten.

LG,
Nish
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Zu article Was ist eine Funktion?: Related content
SebSoGa 2016-05-02 21:49:17+0200
Die zugehörigen Themen sollten auch bearbeitet werden.
Hier eine kleine Liste mit den, meiner Meinung nach, wichtigsten.

Graph einer Funktion: https://de.serlo.org/1843
Begriff “Term”: https://de.serlo.org/1823
(Topic) "Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen": https://de.serlo.org/16150
Wertemenge: https://de.serlo.org/1655
Graph einer Funktion: https://de.serlo.org/1843
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Zu article Was ist eine Funktion?: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-05-02 21:47:11+0200
Hey Serlo Team,

dieser Artikel ist von enormer Wichtigkeit, da viele Leute Probleme mit dem Funktionsbegriff in der Schule haben oder hatten, weshalb schon öfters nach diesem Artikel gesucht wurde. Damit dieser Artikel auf der Startseite präsentiert werden kann, hier ein Paar Verbesserungsvorschläge:

- Den Abschnitt "Besondere Funktionen" würde ich in einen eigenen Artikel verlagern.
- Auch dem Abschnitt "Besondere Eigenschaften von Funktionen" würde ich einen eigenen Artikel widmen, da die hier aufgelisteten Eigenschaften nur für sehr spezifische Funktionen gelten. Die Wichtigen Eigenschaften "Symmetrie" und "Monotonie" fehlen.
- Beide neuen Artikel sollten auf diesem verlinkt sein.
- Der Begriff der Umkehrfunktion gehört meiner Meinung nach nicht zu diesem Artikel. Hier geht es um den allgemeinen Funktionsbegriff und “die Umkerfunktion” ist etwas, was es in den seltensten Fällen gibt / etwas wonach man nicht immer sucht und daher nicht wirklich relevant.
- Ein Abschnitt zum Zeichnen von Funktionsgraphen wäre sehr schön zu sehen. Man sollte dabei auch bemerken, dass nicht jede Funktion einen besitzt und dass eine Funktion nicht gleich ihr Graph ist.
- Der Abschnitt "Funktion als Abbildung zwischen zwei Mengen" sollte nochmal durchdacht werden. Der einleitende Satz ist sehr abstrakt und ein Teil der Inhalte kann auch schon in früheren Abschnitten eingeführt werden.
- Die Graphik mit der Erläuterung zur Schreibweise könnte man doch interaktiver gestalten, damit sie nicht so voll ist, und die Botschaft nicht verloren geht. Dazu habe ich ein kleines Applet in auf GeoGebraTube hochgeladen ("Deklaration einer Funktion") aber ich konnte das nicht einbinden.
- Generell fehlen auch noch Aufgaben (ein Aufgabentyp der nach der Einführung gut passen würde könnte sein: gegeben sind die Zuordnungen a, b, c. Entscheide ob es sich dabei um Funktionen handelt oder nicht).
- Auch Videos fehlen.

Man sollte versuchen in diesem Artikel alle möglichen Mitteln zur Veranschaulichung (sprich Graphiken, Applets, interaktive Aufgaben) zu verwenden.

Liebe Grüße
Sebastian

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