Die Kurvendiskussion mit Parameter funktioniert genau wie die normale Kurvendiskussion, nur das man hier mit einer Funktionenschar arbeitet, die einen Parameter beinhaltet.

Man kann dennoch alle wichtigen Bestandteile einer Kurvendiskussion bestimmen:

 

Bestandteile der Kurvendiskussion

Vorgehensweise am Beispiel (ausgewählte Teilaufgaben)

Aufgabenstellung: Diskutiere die Funktion %%f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}%%

Beachte: In diesem Beispiel sind vor allem die Fallunterscheidungen relevant. Man sollte verstehen, wann und warum man sie braucht.

 

Definitionsbereich  

Einen Artikel zu diesem Thema findest du hier.

Definitionslücken bestimmen: Nenner gleich 0 setzen

%%x-k=0\;\Leftrightarrow x=k%%

%%\Rightarrow D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\right\}%%

Beachte: Ist die Definitionslücke hebbar?

Die Definitionslücke ist hebbar, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist. Man setzt also k in den Zähler ein.

%%\begin{array}{l}k^2+\left(k+1\right)k+k=0\\\Leftrightarrow2k^2+2k=0\\\Leftrightarrow k=0\;\text{oder}\;k=-1\\\end{array}%%

Hebbar für k = -1 oder k = 0.

Nullstellen

Für allgemeines Wissen zu diesem Thema kannst du den Artikel Nullstellen besuchen.

Nullstellen bestimmen: Zähler gleich 0 setzen

%%x^2+\left(k+1\right)x+k=0%%

Diskriminante bestimmen und Mitternachtsformel anwenden

%%\begin{array}{l}D=\left(k+1\right)^2-4k=\left(k-1\right)^2\\ D\geq 0 \ \forall k\\ D=0\Leftrightarrow k=1\\ x_{1;2}=\frac{-k-1\pm\sqrt{\left(k-1\right)^2}}2\end{array}%%

Fall 1: %%k<1%%

%%x_1=\frac {-k-1+ (1-k)}{2}=-k%%

%%x_2=\frac{-k-1-(1-k)}{2}=-1%%

Fall 2: %%k>1%%

%%x_1=\frac{-k-1+k-1}{2}=-1%%

%%x_2=\frac{-k-1-k+1}{2}=-k%%

Fall 3: %%k=1%%

%%x=\frac{-k-1}{2}=-1%%

Grenzwerte

Was genau Grenzwerte sind und wie man mit ihnen rechnet findest du im Artikel Grenzwert.

Grenzwerte im Unendlichen

Grenzwert gegen %%\pm\infty%%

Kürzen mit %%x%%.

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\overbrace x^{\rightarrow\pm\infty}+k+1+\overbrace{\displaystyle\frac kx}^{\rightarrow0}}{\underbrace{1-\displaystyle\frac kx}_{\rightarrow1}}=\pm\infty\end{array}%%

Grenzwert an der Definitionslücke

Fall 1: Grenzwert gegen k für alle %%k\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;0\right\}%%

Nicht hebbare Definitionslücken.

%%\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow k\pm0}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{\underbrace{x-k}_{\rightarrow \pm0}}=\pm\infty%%

Fall 2: %%k=-1%%

Hebbare Definitionslücke.

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow-1}f_{-1}\left(x\right)=\\ \lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2+\left(-1+1\right)x+-1}{x+1}=\\ \lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-1}{x+1}=\\ \lim\limits_{x\rightarrow-1}x-1=-2\end{array}%%

Fall 3: %%k=0%%

Hebbare Definitionslücke.

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow0}f_0\left(x\right)=\\ \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^2+x}x=\\ \lim\limits_{x\rightarrow0}x+1=1\end{array}%%

Extrema

Wenn du nicht mehr genau weißt was ein Extremum ist besuche doch den Artikel Extrema berechnen.

1. Ableitung

Leite %%\displaystyle f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}%% ab.

%%f_k'(x)=\frac {(x-k)(2x+k+1)-(x^2+ (k+1)x+k)}{(x-k)^2}=\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{(x-k)^2}%%

Setze die Ableitung gleich 0.

%%\begin{array}{lrcl}&f_k'\left(x\right)&=&0\\ \Leftrightarrow&\frac{x^2-2kx-k^2-2k}{\left(x-k\right)^2}&=&0\\ \Leftrightarrow&\textstyle x^2-2kx-k^2-2k&=&0\end{array}%%

Bestimme die Diskriminante.

%%D=4k^2+4(k^2+2k)%%

%%D=0\\\Leftrightarrow 4k^2+4(k^2+2k)=0\\\Leftrightarrow 8k(k+1)=0\\\Leftrightarrow k=0 \text{ oder } k=-1%%

Löse mit der Mitternachtsformel .

Fall 1: %%k=-1%% oder %%k=0%%

%%\displaystyle x=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}2=\textstyle k%%

Beachte: In diesem Fall gibt es keine Extrema, da %%k\not\in D_{f_k}%%.

Fall 2: %%k<-1%% oder %%k>0%%

%%x_{1;2}=\frac{2k\pm\sqrt{4k^2+4\left(k^2+2k\right)}}{2}=\\\ k\pm\sqrt{8k\left(k+1\right)}%%

%%\\x_1=k+\sqrt{8k\left(k+1\right)}\\ x_2=k-\sqrt{8k\left(k+1\right)}%%

Fall 3: %%-1<k<0%%

keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.

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