Aufgaben
Zeichne die Geraden  y=3x2\mathrm y=3\mathrm x-2  und  y=34x+1\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1  in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

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Bestimmung der Nullstellen

y=3x2\mathrm y=3\mathrm x-2
Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.
3x2=03\mathrm x-2=0
+2\left|+2\right.
3x=23\mathrm x=2
:3\left|:3\right.
xN=23{\mathrm x}_\mathrm N=\frac23
Die Gerade hat bei xN=23\mathrm x_\mathrm N=\frac23 eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.
y=34x+1\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1
Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
34x+1=0-\frac34\mathrm x+1=0
1\left|-1\right.
34x=1-\frac34\mathrm x=-1
:(34)\left|:\left(-\frac34\right)\right.
x=134\displaystyle\mathrm x=\frac1{\frac34}
Du dividierst durch einen Bruch \rightarrow Multipliziere mit dem Kehrwert
xN=43{\mathrm x}_\mathrm N=\frac43
Die zweite Gerade hat bei xN=43\mathrm x_\mathrm N=\frac43 eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.
3x2=34x+13\mathrm x-2=-\frac34\mathrm x+1
+34x    +2\left|+\frac34\mathrm x\right.\;\;\left|+2\right.
3x+34x=1+23\mathrm x+\frac34\mathrm x=1+2
3,75x=33,75\mathrm x=3
:3,75\left|:3,75\right.
x=33,75\mathrm x=\frac3{3,75}
xS=0,8{\mathrm x}_\mathrm S=0,8
Setze xSx_S in eine der beiden Funktionen ein.
y=30,82\mathrm y=3\cdot0,8-2
y=2,42\mathrm y=2,4-2
yS=0,4{\mathrm y}_\mathrm S=0,4
        S(0,80,4)\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0,8\vert0,4\right)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Koordinatenachsen und der Gerade g:y=23x+5g:y=\frac23x+5 eingeschlossen wird.
Schreibe dein Ergebnis ohne Flächeneinheiten in das Antwortfeld.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche

Dreiecksfläche

Da die  Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als Grundlinie und Höhe der Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche benutzt werden.

Höhe ermittlen

g: y=23x+5y=\frac23x+5
Der y-Achsenabschnitt ist als t der Geradengleichung gegeben.
Die Gerade schneidet die y-Achse also in (0|5).
Mit der x-Achse als Grundline ergibt sich der Abstand des Punktes zum Ursprung als Höhe.
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Höhe h =5202=5\sqrt{5^2 - 0^2} = 5

Grundlinie berechnen

Für die Angabe der Grundlinie muss der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet werden. Setze y dafür 0.
0=23x+50=\frac23x+5
Nach x auflösen. 5\left|{-5}\right.
23x=5\frac23x=-5
:23\left|{:\frac23}\right.
x=152=7,5x=-\frac{15}2=-7,5
Die Gerade schneidet die x-Achse also in (-7,5|0)
Der Abstand dieses Punktes zum Ursprung ist also die Länge der Grundlinie.
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Länge der Grundlinie g ist (7,5)2+02=7,5\sqrt{(-7,5)^2 +0^2}=7,5.

Fläche berechnen

Setze Grundlinie und Höhe in die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche ein.
        A=57,52=18,75FE\;\;\Rightarrow\;\;A=\frac{5\cdot7,5}2=18,75\mathrm{FE}
FE steht für "Flächeneinheiten".

Skizze zur Veranschaulichung

Dreiecksfläche Dreieck Gerade Graph

Gegeben sind die drei Punkte %%A(-2 | 1)%%, %%B(6 | 1)%% und %%C(4 | 5)%%.

  1. Stelle die Gleichung der Geraden %%AB%%, %%AC%% und %%BC%% auf.

  2. Berechne die Seitenlängen und den Umfang des Dreiecks %%ABC%%.

  3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%%.

Teilaufgabe 1: Geradengleichung

Gerade AB:

A=(21)A = (-2|1) und B=(61)B=(6|1)
Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.
m=1126=08=0m=\frac{1-1}{-2-6}=\frac{0}{-8}=0
Die Gerade ist also parallel zur x-Achse.
Der y-Achsenabschnitt t ist also gleich der y-Koordinate der beiden Punkte.
t=1t=1
Setze zur Geradengleichung zusammen.
y=mx+t=0x+1=1y=mx+ t=0\cdot x+1=1

Gerade AC:


A=(21)A = (-2|1) und C=(45)C=(4|5)
Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.
m=1524=46=23m=\frac{1-5}{-2-4}=\frac{-4}{-6}=\frac23
Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
y=mx+ty=mx+t
Setze einen Punkt, z.B. A ein.
1=23(2)+t1=\frac23 (-2)+t
Löse nach t auf.
t=143=1+43=73t=1-\frac{-4}{3}=1+\frac43=\frac{7}{3}
Setze zur Geradengleichung zusammen.
y=mx+t=23x+73y=mx+t=\frac23x+\frac73

Gerade BC:


B=(61)B = (6|1) und C=(45)C=(4|5)
Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.
m=1564=42=2m=\frac{1-5}{6-4}=\frac{-4}{2}=-2
Stelle die Gleichung für den y-Achsenabschnitt auf.
y=mx+ty=mx+t
Setze einen Punkt, z.B. B ein.
1=26+t1=-2 \cdot6+t
Löse nach t auf.
t=1(2)6=1+12=13t=1-(-2)\cdot6=1+12=13
Setze zur Geradengleichung zusammen.
y=mx+t=2x+13y=mx+t=-2x+13

Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.
d(P1,P2)=(Δx)2+(Δy)2d(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.

Seite AB:


Δx=26=8\operatorname{\Delta}x=-2-6=-8,
Δy=11=0\operatorname{\Delta}y=1-1=0
Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
d(A,B)=(8)2+02=64=8d(A,B)=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8
Diese Seite hat also Länge 8.

Seite AC:

Δx=24=6\operatorname{\Delta}x=-2-4=-6,
Δy=15=4\operatorname{\Delta}y=1-5=-4
Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
d(A,C)=(6)2+(4)2=36+16d(A,C)=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}
=527,21=\sqrt{52}\approx 7,21
Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.

Seite BC:


Δx=64=2\operatorname{\Delta}x=6-4=2,
Δy=15=4\operatorname{\Delta}y=1-5=-4
Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.
d(A,C)=22+(4)2=4+16d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}
=204,47=\sqrt{20}\approx 4,47
Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.
Der Umfang ist gleich  8+7,2+4,5=19,7\Rightarrow \text{Der Umfang ist gleich}\; 8+7,2+4,5=19,7

Teilaufgabe 3: Fläche eines Dreiecks

A=12Ho¨heGrundseiteA=\frac12\cdot\text{Höhe}\cdot\text{Grundseite}
Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.
Höhe h ist gleich dem Abstand von C zu AB.
Da die Höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinaten.
Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist
h=51=4h=5-1=4
Eingesetzt in die Formel ergibt das:
A=1248=16A=\frac12\cdot4\cdot 8=16

Gegeben sind die Geraden  g: %%y=2x-3%%   und  h: %%y=-0,5x+4%% .

  1. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

  2. Berechne die Fläche, des Dreiecks, das von g und h und der y-Achse gebildet wird.

Teilaufgabe 1


g: y=2x3y=2x-3   und  h: y=0,5x+4y=-0,5x+4
Die  Geraden gleichsetzen um den x-Wert der Schnittstelle zu erhalten.
2x3=0,5x+42x-3=-0,5x+4
+0,5x      +3\left|{+0,5x\;\;\;\left|{+3}\right.}\right.
2,5x=72,5x=7
:2,5\left|{:2,5}\right.
x=2,8x=2,8
Der x-Wert muss nun in eine der Geraden eingesetzt werden, um den y-Wert des Schnittpunktes zu erhalten.
y=22,83y=2\cdot2,8-3
Beachte "Punkt vor Strich"
y=5,63=2,6y=5,6-3=2,6

Der Schnittpunkt der Geraden: S(2,8 | 2,6)


Teilaufgabe 2


Die Grundlinie g des Dreiecks ist 7
Hier nimmt man ausgehend von der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks den Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit der y-Achse als Grundlinie. Diese Schnittpunkte werden mit dem Buchstaben t gekennzeichnet. Bei den gegebenen Geraden liegt der Bereich also zwischen 3-3 und 44  \Rightarrow   g=7g=7
Die Höhe h ist 2,8
Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundlinie und ist somit parallel zur x-Achse. Damit entspricht er der Länge vom Ursprung zu dem x-Wert des Schnittpunktes beider Geraden.
A=12gh=72,82=9,8\Rightarrow A=\frac1 2\cdot g \cdot h=\frac{7\cdot2,8}{2}=9,8

Graph Gerade Schnittpunkt Geradenschnittpunkt Dreieck Dreiecksfläche
Eine Gerade durch  P(2,50)\mathrm P\left(2,5 |0\right)  schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Für welche Steigung ist dieses Dreieck gleichschenklig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Dreieck

Geradengleichung und Dreieck

Zwei Seiten des Dreiecks sind Koordinatenachsen. Diese haben einen rechten Winkel zwischen sich, das Dreieck ist also sicher rechtwinklig. Der rechte Winkel kann kein Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sein, also sind die gleichlangen Schenkel die Katheten (Achsen).
Es gibt zwei Möglichkeiten einen Punkt zu wählen, dass die Katheten gleichlang sind: Q1(02,5)Q_1 (0|2,5) und Q2(02,5)Q_2 (0| -2,5). Das Dreieck liegt dann im 1. Quadranten oder im 4. Quadranten. In anderen Quadranten kann das Dreieck nicht liegen, da P auf der Grenze zwischen dem ersten und vierten liegt.
Damit erhältst du ein Steigungsdreieck für Q1Q_1 mit der Steigung 1-1 und eines für Q2Q_2 mit der Steigung 11.
Ein solches Dreieck tritt also für die Steigungen m1=1m_1=-1 und m2=1m_2=1 auf.

Für welche x-Werte gilt  %%f\left(x\right)>0%%  ?

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0,4\mathrm x+1%%

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-1,5\left(\mathrm x-2\right)%%

%%f(x)>0%%

Funktionsgleichung einsetzen.

%%-1,5(x-2)>0%%

Klammer auflösen.

%%-1,5x+3>0%%

%%|-3%% Nach %%x%%-Termen und Zahlen sortieren.

%%-1,5x>-3%%

%%|:(-1,5)%% Nach %%x%% auflösen.

Achtung %%-1,5 < 0%%, drehe also das Ungleichheitszeichen.

%%x<-3 : (-1,5)%%

%%x < 2%%

%%f(x)%% ist also für %%x < 2%% größer Null.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}5-\frac75%%

%%f(x)>0%%

Funktionsgleichung einsetzen.

%%\frac x5-\frac75>0%%

%%|+\frac75%% Sortiere nach x-Termen und Zahlen.

%%\frac x5>\frac75%%

%%|\cdot5%% Nach x auflösen (5 > 0, also keine Änderung am Zeichen).

%%x>\frac75 \cdot 5=7%%

Für x > 7 ist f(x) positiv.

Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:
y=1\mathrm y=-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen

Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von xx ab. Jeder der xx-Werte hat den yy-Wert 1-1 .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.
y=1\Rightarrow y=-1 beschreibt also eine Gerade mit Steigung 00 durch den Punkt (0,1)(0,-1).
So sieht der Graph aus:
Graph der Gerade
x+y=2\mathrm x+\mathrm y=-2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen

y+x=2y+x=-2
Forme um, sodass yy alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.
y=x2y=-x-2
Lese die Steigung mm und den y-Achsenabschnitt tt ab.
Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung m=1m=-1 und dem y-Achsenabschitt t=2t=-2 (Sie geht durch den Punkt (0,2)(0,-2)) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um 22 nach unten verschoben.
So sieht der Graph aus:
Graph der Gerade
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