Aufgaben
Zeichne die Geraden  y=3x2\mathrm y=3\mathrm x-2  und  y=34x+1\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1  in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

y=3x2\mathrm y=3\mathrm x-2
Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.
3x2=03\mathrm x-2=0
+2\left|+2\right.
3x=23\mathrm x=2
:3\left|:3\right.
xN=23{\mathrm x}_\mathrm N=\frac23
Die Gerade hat bei xN=23\mathrm x_\mathrm N=\frac23 eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.
y=34x+1\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1
Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
34x+1=0-\frac34\mathrm x+1=0
1\left|-1\right.
34x=1-\frac34\mathrm x=-1
:(34)\left|:\left(-\frac34\right)\right.
x=134\displaystyle\mathrm x=\frac1{\frac34}
Du dividierst durch einen Bruch \rightarrow Multipliziere mit dem Kehrwert
xN=43{\mathrm x}_\mathrm N=\frac43
Die zweite Gerade hat bei xN=43\mathrm x_\mathrm N=\frac43 eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.
3x2=34x+13\mathrm x-2=-\frac34\mathrm x+1
+34x    +2\left|+\frac34\mathrm x\right.\;\;\left|+2\right.
3x+34x=1+23\mathrm x+\frac34\mathrm x=1+2
3,75x=33,75\mathrm x=3
:3,75\left|:3,75\right.
x=33,75\mathrm x=\frac3{3,75}
xS=0,8{\mathrm x}_\mathrm S=0,8
Setze xSx_S in eine der beiden Funktionen ein.
y=30,82\mathrm y=3\cdot0,8-2
y=2,42\mathrm y=2,4-2
        S(0,8/0,4)\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0,8/0,4\right)

yS=0,4{\mathrm y}_\mathrm S=0,4

Gegeben sind die drei Punkte %%A(-2 | 1)%%, %%B(6 | 1)%% und %%C(4 | 5)%%.

  1. Stelle die Gleichung der Geraden %%AB%%, %%AC%% und %%BC%% auf.

  2. Berechne die Seitenlängen und den Umfang des Dreiecks %%ABC%%.

  3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%%.

Teilaufgabe 1: Geradengleichung

Gerade AB:

%%A = (-2|1)%% und %%B=(6|1)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-1}{-2-6}=\frac{0}{-8}=0%%

Die Gerade ist also parallel zur x-Achse. Der y-Abschnitt t ist also gleich der y-Koordinate der beiden Punkte.

%%t=1%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+ t=0\cdot x+1=1%%

Gerade AC:

 

%%A = (-2|1)%% und %%C=(4|5)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-5}{-2-4}=\frac{-4}{-6}=\frac23%%

Stelle die Gleichung für den y-Abschnitt auf.

%%y=mx+t%%

Setze einen Punkt, z.B. A ein.

%%1=\frac23 (-2)+t%%

Löse nach t auf.

%%t=1-\frac{-4}{3}=1+\frac43=\frac{7}{3}%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+t=\frac23x+\frac73%%

Gerade BC:

 

%%B = (6|1)%% und %%C=(4|5)%%

Bestimme die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.

%%m=\frac{1-5}{6-4}=\frac{-4}{2}=-2%%

Stelle die Gleichung für den y-Abschnitt auf.

%%y=mx+t%%

Setze einen Punkt, z.B. B ein.

%%1=-2 \cdot6+t%%

Löse nach t auf.

%%t=1-(-2)\cdot6=1+12=13%%

Setze zur Geradengleichung zusammen.

%%y=mx+t=-2x+13%%

Der Umfang des Dreiecks berechnet sich aus den Längen der Strecken zwischen den Punkten. Benutzte dazu die bekannte Formel.

%%d(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}%%

Setze für jede Strecke zwei Punkte ein.

Seite AB:

 

%%\operatorname{\Delta}x=-2-6=-8%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-1=0%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,B)=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8%%

Diese Seite hat also Länge 8.

Seite AC:

%%\operatorname{\Delta}x=-2-4=-6%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-5=-4%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,C)=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}%%

%%=\sqrt{52}\approx 7,21%%

Diese Seite hat also etwa Länge 7,2.

Seite BC:

 

%%\operatorname{\Delta}x=6-4=2%%,

%%\operatorname{\Delta}y=1-5=-4%%

Setze in die Formel ein. Beachte, dass für Längen nur positive Ergebnisse relevant sind.

%%d(A,C)=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}%%

%%=\sqrt{20}\approx 4,47%%

Diese Seite hat also etwa Länge 4,5.

%%\Rightarrow \text{Der Umfang ist gleich}\; 8+7,2+4,5=19,7%%

Teilaufgabe 3: Fläche eines Dreiecks

%%A=\frac12\cdot\text{Höhe}\cdot\text{Grundseite}%%

Wähle AB als Grundseite, da diese parallel zur x-Achse ist. Dadurch ist die Höhe parallel zur y-Achse.

Höhe h ist gleich dem Abstand von C zu AB.

Da die höhe parallel zur y-Achse ist, berechnet sich der Abstand einfach durch Vergleich der y-Koordinate.

Der Abstand des Punktes C von der Grundlinie ist

%%h=5-1=4%%

 

Eingesetzt in die Formel ergibts das:

%%A=\frac12\cdot4\cdot 8=16%%

Gegeben sind die Geraden  g: %%y=2x-3%%   und  h: %%y=-0,5x+4%% .

  1. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

  2. Berechne die Fläche, des Dreiecks, das von g und h und der y-Achse gebildet wird.

Teilaufgabe 1

 

 g: %%y=2x-3%%   und  h: %%y=-0,5x+4%%

Die  Geraden gleichsetzen um den x-Wert der Schnittstelle zu erhalten.

%%2x-3=-0,5x+4%%

%%\left|{-0,5x\;\;\;\left|{+3}\right.}\right.%%

  %%2,5x=7%%

%%\left|{:2,5}\right.%%

       %%x=2,8%%

Der x-Wert muss nun in eine der Geraden eingesetzt werden, um den y-Wert des Schnittpunktes zu erhalten.

%%y=2\cdot2,8-3%%

Beachte "Punkt vor Strich"

%%y=5,6-3=2,6%%

 

Der Schnittpunkt der Geraden: S(2,8 | 2,6)

 

 

Teilaufgabe 2

 

Die Grundlinie g des Dreiecks ist 7

Hier nimmt man ausgehend von der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks den Abschnitt zwischen den beiden Schnittpunkten der Geraden mit der y-Achse als Grundlinie. Diese Schnittpunkte werden mit dem Buchstaben t gekennzeichnet. Bei den gegebenen Geraden liegt der Bereich also zwischen %%-3%% und %%4%%  %%\Rightarrow%%   %%g=7%%

 

Die Höhe h ist 2,8

 

Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundlinie und ist somit parallel zur x-Achse. Damit entspricht er der Länge vom Ursprung zu dem x-Wert des Schnittpunktes beider Geraden.

%%\Rightarrow A=\frac1 2\cdot g \cdot h=\frac{7\cdot2,8}{2}=9,8%%

 

 

 

Graph Gerade Schnittpunkt Geradenschnittpunkt Dreieck Dreiecksfläche

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