Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Hier findest du Aufgaben zum Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen. Lerne, mithilfe der Formel Winkel zu berechnen!

1
Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.
1. ${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$ $=\frac{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|}$
  
  $=\frac{2-2-2}{\sqrt6\cdot\sqrt9}$
  $=\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
  $\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{-2}{3\cdot\sqrt6}\right)$ $=105{,}8^\circ$
  Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also $180^\circ-105.8^\circ=74.2^\circ$ .
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2. ${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$
     $=\frac{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\right|}\\$
     $=\frac{1\cdot3+2\cdot3+1\cdot3}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2+3^2}}\\$
     $=\frac{12}{\sqrt6\cdot\sqrt{27}}$
     $=\frac{12}{9\cdot\sqrt2}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus
  $\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{12}{9\cdot\sqrt2}\right)$
     $=19.47^\circ$
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3. ${\mathrm g}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}$ und ${\mathrm g}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$
  Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
  $\cos\;\left(\mathrm\varphi\right)=\frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}$
     $=\frac{\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}\right|}\\$
     $=\frac{\left(-4\right)\cdot\left(-4\right)+(-2)\cdot(-4)+6\cdot10}{\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+6^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+10^2}}\\$
     $=\frac{84}{\sqrt{56}\cdot\sqrt{132}}$
     $=\frac{84}{2\cdot\sqrt{14}\cdot2\cdot\sqrt{33}}$
     $=\frac{21}{\sqrt{462}}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
  $\mathrm\varphi=\arccos\;\left(\frac{21}{\sqrt{462}}\right)$
     $=12.31^\circ$
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2
Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.
1. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \end{array}$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+(-2)\cdot1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{4+3-2}{\sqrt{4+1+4}\cdot\sqrt{4+9+1}} \\ \\ &=& \dfrac5{\sqrt9\cdot\sqrt{14}}\ =\ \dfrac5{3\cdot\sqrt{14}} \end{array}$
  Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm\varphi=\mathrm{arccos}\left(\dfrac5{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 63.55^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-63.55^\circ=26.45^\circ$
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2. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$
  Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
  $\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}$
  Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-7\\-2\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot1+(-7)\cdot(-1)+(-2)\cdot1}{\sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} \\ \\ &=& \dfrac{1+7-2}{\sqrt{1+49+4}\cdot\sqrt{1+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac6{\sqrt{54}\cdot\sqrt3}\ =\ \dfrac6{3\cdot\sqrt{18}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}\ =\ \mathrm{\arccos}\left(\dfrac{5}{3\cdot\sqrt{14}}\right)\ =\ 61.87^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-61.87^\circ=28.13^\circ$
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3. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-9\\-4\\20\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+6\;=0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\0\\-6\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{4\cdot3+0\cdot1+(-6)\cdot(-1)}{\sqrt{4^2+0^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{12+6}{\sqrt{16+0+36}\cdot\sqrt{9+1+1}} \\ \\ &=& \dfrac{18}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{11}}\ =\ \dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{18}{2\cdot\sqrt{143}}\right)=41.18^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-41.18^\circ= 48.82^\circ$
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4. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$
  Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot(-5)+(-1)\cdot(-2)+3\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-1)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{-5+2-3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{25+4+1}} \\ \\ &=& \dfrac{-6}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{30}}\ =\ \dfrac{-6}{\sqrt{330}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-6}{\sqrt{330}}\right)= 109.3^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-109.3^\circ= -19.3^\circ$
  Der eingeschlossene Winkel beträgt also $19.3^\circ$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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5. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3-11\;=0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot1+1\cdot1+0\cdot2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+2^2}} \\ \\ &=& \dfrac{2+1}{\sqrt{4+1+0}\cdot\sqrt{1+1+4}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt5\cdot\sqrt6}\ =\ \dfrac3{\sqrt{30}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{3}{\sqrt{30}}\right)= 56.79^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-56.79^\circ=33.21^\circ$
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6. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-4\;=0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{2\cdot3+(-3)\cdot4+1\cdot(-2)}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{6-12-2}{\sqrt{4+9+1}\cdot\sqrt{9+16+4}} \\ \\ &=& \dfrac{-8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{29}}\ =\ \dfrac{-8}{\sqrt{406}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{-8}{\sqrt{406}}\right)= 113.4^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-113.4^\circ= -23.4^\circ$
  Der eingeschlossene Winkel beträgt also $23.4^\circ$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
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7. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_3-5=0$
  Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
  der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
  Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\cos\;(\varphi) &=& \dfrac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|}\ =\ \frac{\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}7\\-2\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}\right|} \\ \\ &=& \dfrac{7\cdot1+(-2)\cdot0+1\cdot(-4)}{\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+(-4)^2}} \\ \\ &=& \dfrac{7-4}{\sqrt{49+4+1}\cdot\sqrt{1+16}} \\ \\ &=& \dfrac3{\sqrt{54}\cdot\sqrt{17}}\ =\ \dfrac1{\sqrt{102}} \end{array}$
  Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen.
  $\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\dfrac{1}{\sqrt{102}}\right)= 84.32^\circ$
  Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $\mathrm\alpha=90^\circ-\mathrm\varphi$ .
  $\mathrm\alpha=90.00^\circ-84.32^\circ= 5.68^\circ$
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Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ\overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2-2-3}{\sqrt{4+1+9}\cdot\sqrt{1+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{-3}{2\cdot\sqrt{21}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{-3}{2\cdot\sqrt{21}}\right)=109.1^{\circ}$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^\circ-109.1^\circ=70.9^\circ$ .

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3)\cdot(-1)+0\cdot(-2)+(-2)\cdot0}{\sqrt{(-3)^2+0^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{9+0+4}\cdot\sqrt{1+4+0}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{13}\cdot\sqrt5}=\frac3{\sqrt{65}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{3}{\sqrt{65}}\right)=68.15^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3)\cdot(-3)+(-2)\cdot(-2)+1\cdot(-1)}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9+4-1}{\sqrt{9+4+1}\cdot\sqrt{9+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{14}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{12}{14}\right)=31^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot2+(-1)\cdot2+3\cdot1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2-2+3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{4+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{11}\cdot\sqrt9}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt{11}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right)=72.45^\circ$

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right)=$

$=72.45^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)\cos\;$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ\overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}10\\7\\-12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}10\\7\\-12\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot10+2\cdot7+3\cdot(-12)}{\sqrt{5^2+2^2+3^2}\cdot\sqrt{10^2+7^2+(-12)^2}}$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle =\frac{50+14-36}{\sqrt{25+4+9}\cdot\sqrt{100+49+144}}$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \frac{28}{\sqrt{38}\cdot\sqrt{293}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{\sqrt{11134}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{28}{\sqrt{11134}}\right)=74.61^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;-{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot(-5)+2\cdot(-4)+2\cdot(-2)}{\sqrt{4^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-20-8-4}{\sqrt{16+4+4}\cdot\sqrt{25+16+4}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-32}{\sqrt{24}\cdot\sqrt{45}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-32}{6\cdot\sqrt{30}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{-32}{6\cdot\sqrt{30}}\right)=166.8^\circ$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^\circ-166.8^\circ=13.2^\circ$ .

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Welchen Winkel schließen die Ebenen

$E_1:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $E_2:\; x_1-x_3=3$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:

${\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right|}}$

Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge.

Die Ebene $E_1$ liegt in der Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene $E_1$ muss also berechnet werden.

Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.

Möglichkeit 1

$\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot (-1)-0\cdot 1\\0\cdot 0-2\cdot (-1)\\2\cdot 1-1\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Möglichkeit 2

$\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0$ und $\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=0$

Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;2\cdot n_1 & + & 1\cdot n_2 & + & 0\cdot n_3 & = & 0 & \text{und}\\\mathrm{(II)}:\;\;\; 0\cdot n_1 & + & 1\cdot n_2 & + &(-1)\cdot n_3 &=& 0\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt $n_2=n_3$

Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.

Setze z.B. $n_3=2$ . Dann ist $n_2$ auch gleich $2$ .

Mit Gleichung $\mathrm{(I)}$ folgt dann: $2\cdot n_1+1\cdot 2+0\cdot 2=0\;\Rightarrow\;n_1=-1$

Damit ist $\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E_2$ kann abgelesen werden.

$\vec n_{E_2}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.

$|\vec{n}_{E_1}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\vec{n}_{E_2}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:

$\displaystyle \mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;$	$=$	$\displaystyle \frac{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right\|}{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_1}\right\|\boldsymbol\cdot\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n_2}\right\|}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|(-1)\cdot1+2\cdot 0+2\cdot (-1)\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne die Produkte und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|-3\right\|}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{3\cdot\sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Du hast die Gleichung $\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ erhalten.

Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$ .

$\alpha=\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen beträgt $45^\circ$ .

Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist

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