Aufgaben
04_des
Berechne Volumen und Masse des Kupferteils. Das Material ist 12 mm dick.
Dichte:  ρKupfer=8,96kgdm3\rho_{Kupfer}=8,96\frac{kg}{dm^3}


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen.Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.
Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser d=3dmd=3dm gilt:
AKreis=(3dm)2π4=7,069dm2A_{Kreis}=\frac{(3dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=7,069dm^2
Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge a=1,4dma=1,4\,dm gilt:
AQuadrat=1,4dm1,4dm=1,96dm2A_{Quadrat}=1,4dm\cdot1,4dm=1,96dm^2
Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser d=0,4dmd=0,4\,dm.
ALoch=(0,4dm)2π4=0,126dm2A_{Loch}=\frac{(0,4dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=0,126dm^2

Berechnung der Gesamtfläche

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses AGesA_{Ges}:
AGes=AKreisAQuadrat4ALoch=7,069dm21,96dm240,126dm2A_{Ges}=A_{Kreis}-A_{Quadrat}-4\cdot A_{Loch}=7,069dm^2-1,96dm^2-4\cdot0,126dm^2
=4,605dm2=4,605dm^2

Berechnung des Volumens

Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke 0,12dm0,12dm:
--
V=AGes0,12dm=4,605dm20,12dm=0,553dm3V=A_{Ges}\cdot0,12dm=4,605dm^2\cdot0,12dm=0,553dm^3

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse mm um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte ρ\rho und Volumen VV.
ρ=mV  m=ρV\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V
m=ρKupferV=8,96kgdm30,553dm3=4,955kgm=\rho_{Kupfer}\cdot V=8,96\frac{kg}{dm^3}\cdot0,553dm^3=4,955kg
05_des
Ein Stahlrohr ist 10 m lang (L=10mL = 10\,m), hat einen Außendurchmesser von D=20cmD = 20\,cm und einen Innendurchmesser von d=160mmd = 160\,mm.
Berechnen Sie das Volumen, die Masse und die Wandstärke des Rohres.
ρStahl=7,85kgdm3\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen- und Massenberechnung

Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird.
V=[(D2)2π(d2)2π]L=(D2d2)π4L==[(2dm)2(1,6dm)2]4π100dm=113,097dm3\begin{array}{l}V=\lbrack(\frac D2)^2\cdot\mathrm\pi-(\frac d2)^2\cdot\mathrm\pi\rbrack\cdot L=\frac{(D^2-d^2)\cdot\mathrm\pi}4\cdot L=\\=\frac{\lbrack(2dm)^2-(1,6dm)^2\rbrack}4\cdot\pi\cdot100dm=113,097dm^3\end{array}

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse mm um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte ρ\rho und Volumen VV.
ρ=mV  m=ρV\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V
m=ρStahlV=7,85kgdm3113,097dm3=887,811kgm=\rho_{Stahl}\cdot V=7,85\frac{kg}{dm^3}\cdot113,097dm^3=887,811kg

Berechnung der Wandstärke

Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.
Dd2=2dm1,6dm2=0,2dm=20mm\frac{D-d}2=\frac{2dm-1,6dm}2=0,2dm=20mm
rotationssymmetrisches Werkzeug
Ein rotationssymmetrisches Werkstück soll aus Gusseisen der Dichte  7,2gcm37,2\frac g{cm^3} hergestellt werden. 
Das Bild zeigt das Werkstück im Querschnitt. Berechne die Masse des Werkstücks.


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung

Gesucht: Masse mm des Werkstücks
Die Masse mm hängt mit dem Volumen VV und der Dichte ρ\rho zusammen.
Die Formel lautet:
ρ=mV\rho=\frac {m}{V}
ρ=mV\rho=\dfrac {m}{V}
Stelle diese Formel nach mm um.
m=ρVm=\rho \cdot V
ρ=7,2gcm3\rho =7,2 \frac {\mathrm {g}}{\mathrm{cm}^3} ist in der Aufgabe angegeben. Das Volumen musst du noch berechnen.

Berechnung des Volumens

Das Werkstück ist rotationssymmetrisch. Wenn sich die Figur um die eingezeichnete Achse dreht, entsteht 
  • ein Kegel (wegen des Dreiecks),
  • aus dem eine Halbkugel (wegen des Halbkreises) herausgeschnitten ist.
V=13(6,0cm)2π8,0cm1243(4,0cm)3π=1603πcm3168cm3V=\frac13\cdot\left(6,0cm\right)^2\mathrm\pi\cdot8,0\mathrm{cm}-\frac12\cdot\frac43\cdot\left(4,0\mathrm{cm}\right)^3\mathrm\pi=\frac{160}3\cdot\mathrm{πcm}^3\approx168\mathrm{cm}^3
Abziehen des Volumens der halben Kugel von dem Volumen des Kegels

Berechnung der Masse

m=ρV=7,2gcm3=268cm37,2gcm3=1929,6g1,9kgm=\rho\cdot V=7,2\frac g{cm^3}=268cm^3\cdot7,2\frac g{cm^3}=1929,6g\approx1,9kg
02_des
Berechne Volumen und Masse des Aluminiumteils. Die Seitenlängen sind in Millimetern angegeben.
Dichte:  ρAlu=2,7kgdm3\rho_{Alu}=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}
Die Längen in der Zeichnung sind in Millimeter angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper

02_l_des

Berechnung der Frontfläche AGes=A1+A2A_{Ges}=A_1+A_2

Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen A1A_1 und A2A_2, um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.
--Die Fläche A1A_1 ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche A2A_2 ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.
--
A1=1,5 dm1,5 dm2=1,125 dm2A2=5,5 dm2,0 dm=11,00 dm2\begin{array}{l}A_1=\dfrac{1{,}5\ \text{dm}\cdot1{,}5\ \text{dm}}2=1{,}125\ \text{dm}^2\\A_2=5{,}5\ \text{dm}\cdot2{,}0\ \text{dm}=11{,}00\ \text{dm}^2\end{array}

Für die Frontfläche AGesA_{Ges} gilt also:
AGes=A1+A2=1,125 dm2+11,00 dm2=12,125 dm2A_{Ges}=A_1+A_2=1{,}125\ \text{dm}^2+11{,}00\ \text{dm}^2=12{,}125\ \text{dm}^2


Berechnung des Volumens

Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.
Dabei gilt:
V=AGesTiefe=AGes3 dm=12,125 dm23 dm=36,375 dm3V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot3\ \text{dm}=12{,}125\ \text{dm}^2\cdot3\ \text{dm}=36{,}375\ \text{dm}^3

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse mm um.
Es gilt: ρ=mV  m=ρV\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V
Mit der Dichte ρ=2,7kg dm3\rho=2,7\dfrac{\text{kg}}{\ \text{dm}^3} und dem vorher bestimmten Volumen V=36,375 dm3V=36{,}375\ \text{dm}^3 ergibt sich:
m=ρV=2,7kgdm336,375 dm3=98,213 kgm=\rho\cdot V=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot36{,}375\ \text{dm}^3=98{,}213\ \text{kg}
Eine Drahtrolle aus d=0,5mm dickem Stahldaht
ρStahl=7,85kgdm3\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}
hat eine Masse von m=3,6kg.
Wie viel Meter sind auf der Rolle?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen und Massenberechnung

ρ\rho==mV\frac{m}{V}
Forme nach V umstellen
VV==mρ\frac{m}{\rho}
m und  ρ\rho  einsetzen
VV==3,6kg7,85kgdm3\frac{3,6kg}{7,85\displaystyle\frac{kg}{dm^3}}
Division
VV==0,46dm30,46dm^3
Eine Buchse (Rohrstück) aus CuSn 10 mit der Dichte
ρCuSn=8,6gcm3\rho_{CuSn}=8,6\frac g{cm^3}hat die Durchmesser D=77mmD=77mm, d=68mmd=68mm und ist l=115mm l=115mm lang.
Zylinder
Berechnen Sie die Masse in kg und runde auf 3 Dezimalstellen.
08_des
Berechnen Sie die Masse von 20 Lagerzapfen aus S235J2 (St 37 -3) für Garagentore.
Stahl hat eine Dichte von ρStahl=7,85kgdm3\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}

Zu berechnen ist die Masse der Bronze-Lagerbuchse (CuSn8). Auf welchen Bruchteil in % verringert sie sich, wenn man sie aus Kunststoff herstellt?
ρBronze=8,6kgdm3;  ρKunststoff=2,2kgdm3\rho_{Bronze}=8,6\frac{kg}{dm^3};\;\rho_{Kunststoff}=2,2\frac{kg}{dm^3}
Flächennetz einer Bronze-Lagerbuchse

Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen\cdotDichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.
Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.
Die Volumenformel für Zylinder lautet V=πr2hV=\pi r^2h .
Du beginnst am besten von außen, d.h. ganz rechts an der breitesten Stelle.
Flächennetz eines Zylinders
Die Höhe des Zylinders (hier von waagrecht eingezeichnet) berechnest du als 65mm57mm=8mm=0,08dm65mm - 57mm = 8mm = 0,08dm.
Der Durchmesser ist die höchste Stelle der Buchse und damit 60mm60mm. Der Radius rr ist die Hälfte davon und also 30mm30mm bzw 0,3dm0,3 dm.
Damit ergibt sich mit der Volumenformel: V=π(0,3dm)20,08dm=0,0226dm3V = \pi\cdot(0,3dm)^2\cdot0,08dm = 0,0226dm^3
Flächennetz eines Zylinders
Als nächstes berechnest du das Volumen der Röhre. Als Höhe dieses Rotationszylinders hast du die vollen 65mm65mm also 6,5dm6,5dm gegeben und der Durchmesser (hier wieder senkrecht) ist 34mm24mm=10mm=0,1dm34mm-24mm = 10mm = 0,1dm und damit der Radius r=0,05dmr = 0,05dm.
Es ergibt sich V=π(0,05dm)26,5dm=0,0511dm3V = \pi\cdot(0,05dm)^2\cdot 6,5dm = 0,0511dm^3.
Als bisherige Summe ergibt sich also 0,0737dm30,0737 dm^3.
Flächennetz eines Zylinders
Da du nun einen Teil der Fläche doppelt gezählt hast, ziehst du diesen wieder ab. Dazu musst du natürlich bestimmen, welches Volumen dieser Teil hat. Berechnet wird dieses ebenso wie zuvor schon zwei mal:
Höhe des Rotationszylinders ist 65mm75mm=8mm=0,08dm65mm-75mm = 8mm = 0,08dm
Radius des Zylinders ist r=12r = \frac1 2Durchmesser =1234mm=17mm=0,17dm= \frac1 2\cdot 34mm = 17mm = 0,17dm
Damit ergibt sich das Volumen als V=π(0,08dm20,17dm=0,0034dm3V = \pi\cdot(0,08dm^2\cdot0,17dm = 0,0034dm^3
Ziehst du dies von der bisherigen Summe ab, erhältst du als neues Zwischenergebnis 0,0703dm30,0703dm^3.
Flächennetz enes Zylinders
Jetzt musst du nur noch den Teil des Volumens der Röhre abziehen, den du noch nicht abgezogen hast.
Die Höhe dieses Zylinders (wieder waagrecht) ist 57mm=0,57dm57mm = 0,57dm
Der Durchmesser ist 24mm=0,24dm24mm = 0,24dm und damit der Radius 0,12dm0,12dm.
Das Volumen ist also V=ππ(0,12dm)²0,57dm=0,0258dm³V = \pi\cdotπ⋅(0,12dm)²\cdot⋅0,57dm = 0,0258dm³ 
V=π(0,12dm)20,57dm=0,0258dm3V = \pi\cdot(0,12dm)^2\cdot0,57dm = 0,0258dm^3 Zieht man das von der bisherigen Zwischensumme ab, erhält man
V=0,0703dm30,0258dm3=0,0445dm3V = 0,0703dm^3 - 0,0258dm^3 = 0,0445dm^3
Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist G=8,60,0445kg=0,3827kgG = 8,6 \cdot⋅ 0,0445 kg = 0,3827 kg
und das Gewicht in Kunststoff ist 2,20,0445kg=0,0979kg2,2 \cdot 0,0445 kg = 0,0979 kg
Ein quaderförmiges Werkstück it den Maßen a=10mm, b=60mm, c=150mm hat eine Masse von m=657g.
Welche Dichte hat das Material?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

VQuaderV_{Quader}==abca\cdot b\cdot c
Längenmaße einsetzen
VQuaderV_{Quader}==10mm60mm150mm10mm\cdot60mm\cdot150mm
VQuaderV_{Quader}==90  000mm390\;000mm^3
Mit diesem Ergebnis kann nun die Dichte bestimmt werden.
ρ=mV\rho=\frac mV
Volumen in  dm3dm^3  und Masse in kg umrechnen
V=90  000mm3=0,09dm3V=90\;000mm^3=0,09dm^3
m=657g=0,657kgm=657g=0,657kg
ρ\rho==mV\frac mV
Werte einsetzen
ρ\rho==0,657kg0,09dm3\frac{0,657kg}{0,09dm^3}
Dividieren
ρ\rho==7,3kgdm37,3\frac{kg}{dm^3}
01_des
Berechne Volumen und Masse des Gussteils.
Dichte:   ρGuss  =7,25kgdm3\rho_{Guss\;}=7,25\frac{kg}{dm^3}
Die Längen in der Zeichnung sind in cm\mathrm {cm} angegeben.
In einem Ölbehälter (Quader) mit den Abmessungen a=500mm, b=300mm, c=250mm ist m=25kg Öl vorhanden.
Dichte von Öl: ρO¨l=0,9kgdm3\rho_{Öl}=0,9\frac{kg}{dm^3}
Welche Höhe h in mm hat der Ölspiegel?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

ρ\rho==mV\frac{m}{V}
Formel für die Dichte nach V umstellen
VV==mρ\frac{m}{\rho}
m und  ρ\rho  einsetzen.
VV==25kg0,9kgdm3\frac{25kg}{0,9\displaystyle\frac{kg}{dm^3}}
Division
VV27,8dm327,8dm^3
a und b in dm umrechnen
a=500mm=5dma=500mm=5dm
b=300mm=3dmb=300mm=3dm
VV==abha\cdot b\cdot h|:(ab):(a\cdot b)
Volumenformel nach h auflösen
hh==Vab\frac V{a\cdot b}
V, a und b einsetzen
hh==27,8dm35dm3dm\frac{27,8dm^3}{5dm\cdot3dm}
Multiplikation im Nenner
hh==27,8dm315dm2\frac{27,8dm^3}{15dm^2}
hh==1,85dm1,85dm
in mm umrechnen
hh==185mm185mm
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