Wenn %%A%% und %%B%% Mengen sind, dann ist die Schnittmenge von %%A%% und %%B%% die Menge aller Elemente, die sowohl in %%A%% als auch in %%B%% enthalten sind.

Man schreibt %%A\cap B\;%% für die Schnittmenge der Mengen %%A%% und %%B%%.

Der " %%\cap%% " Operator gehört zu den Operatoren, die zwei oder mehrere Mengen verknüpft.

Beispiel

 

Gegeben sind die Mengen %%A%% und %%B%% mit

    %%A=\left\{2,3,\mathrm c,\mathrm d\right\}%%

    %%B=\left\{3,7,\mathrm a,\mathrm b,\mathrm c\right\}%%

 

Dann ist %%A\cap B=\left\{3,\mathrm c\right\}%% die Schnittmenge von %%A%% und %%B%%.

 

 

 

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht das Beispiel mit Hilfe eines Venn-Diagramms .

Schnittmenge zweier Mengen

 

Sonderfälle

Disjunkte Mengen

Wenn zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, nennt man sie disjunkt. Die Schnittmenge disjunkter Mengen ist immer leer.

 

 

Beispiel:

%%A=\left\{\mathrm d,\mathrm e,\mathrm F\right\}%%

%%B=\left\{\mathrm a,\mathrm b,7\right\}%%

Dann sind %%A%% und %%B%% disjunkt.

Ihre Schnittmenge ist dann leer:

%%A\cap B= \{ \}%% oder %%A\cap B=\varnothing%% (leere Menge)

Disjunkte Menge leer

Paarweise Disjunkte Mengen

Schneidet man mehr als nur zwei Mengen, so sagt man , dass die Mengen paarweise disjunkt sind, falls je zwei Mengen disjunkt sind.

Beispiel 1

Gegeben sind %%A=\{1,2\}, \ B=\{3,4\}, \ C=\{5,6\}%%, dann gilt:

%%A\cap B=\emptyset%%

%%A\cap C=\emptyset%%

%%B\cap C=\emptyset%%

und

%%A\cap B\cap C=\emptyset%%.

Also sind %%A,B,C%% paarweise disjunkt.

Beispiel 2

Gegeben sind %%A=\{1,2\}, \ B=\{2,3\}, \ C=\{3,4\}%%, dann gilt zwar

%%A\cap C=\emptyset%%, also sind %%A,C%% disjunkt und somit auch %%A\cap B\cap C=\emptyset%%, aber

%%A\cap B=\{2\}%%,

%%B\cap C=\{3\}%%.

%%A,B,C%% sind zwar disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt.

Rechenregeln

Der "%%\cap%%" Operator ist:

Kommutativ: %%A\cap B =B\cap A%%

und Assoziativ: %%(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C)%%

verknüpft mit der Vereinigungsmenge auch

Distributiv: %%(A\cup B) \cap C=(A\cap C) \cup(B\cap C)%% und %%(A\cap B) \cup C=(A\cup C) \cap(B\cup C)%%

und mit dem "%%\setminus%%" Operator gilt auch die

De Morgansche Regel: %%A\setminus(B \cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)%%

Hier gibt es weitere Aufgaben zum Üben!

Kommentieren Kommentare