Aufgaben

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ kannst du direkt nur sehr schwierig berechnen. Deshalb ist es sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis „Keine Tastatur ist defekt“ zu berechnen.

Du startest also mit folgendem Ansatz:

%%P(\text{„Mindestens eine Tastatur ist defekt“}) = 1 - P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})%%

Stelle nun die Formel für die Binomialverteilung von %%P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})%% auf (also %%k=0%%, da keine defekt ist).

%%P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})%% %%=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}02^0\cdot\left(1-0{,}02\right)^{n-0}%%

Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.

%%=\frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}02^0\cdot0{,}98^n%%

Vereinfache den Term, indem du %%0!%% durch das Ergebnis der Fakultät ersetzt, die Potenz %%0,02^0%% ausrechnest und die Differenz im Bruch berechnest.

%%=\frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}98^n%%

Vereinfache den Bruch %%\frac{n!}{n!}%%.

%%=0{,}98^n%%

Führe den zuvor aufgestellten Ansatz mit P(„mindestens eine Tastatur ist defekt“)%%{}=90\,\% %% aus.

%%1-0{,}98^n=0{,}9%%

%%\left|{}+0{,}98^n-0{,}9\right.%%

%%0{,}1=0{,}98^n%%

Wende den Logarithmus an.

%%\log_{0,98}0{,}1=n%%

Berechne den Wert des Logarithmus.

%%n\approx114%%

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

Zu text-exercise-group 4119:
Nish 2019-08-04 18:20:33+0200
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Alle Lösungen sollte mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden. Zum Beispiel werden Überschriften nicht mehr verlinkt. Das wäre super!

LG,
Nish
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Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit

(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

(2) hat keiner von ihnen recht?

(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

P("Person hat recht")= %%\mathrm P\left(\mathrm R\right)%% = 0,7

Bestimmte die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis

P("Person hat unrecht")= %%\mathrm P\left(\overline{\mathrm R}\right)%%= 0,3

Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?

Ob eine Antwort richtig ist wird nicht von der Richtigkeit der anderen Antworten beeinflusst, also sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen richtig liegen, musst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person richtig liegt, hoch die Anzahl der Personen nehmen.

P("alle sechs haben recht")= %%P\left(R\right)^6%%

%%=0,7^6 \approx0,118=11,8\% %%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen falsch liegen, musst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person falsch liegt hoch die Anzahl der Personen nehmen.

P("alle sechs haben unrecht") = %%P\left(\overline R\right)^6%%

%%=0,3^6=0,000729=0,0729\% %%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass genau der erste und der letzte die richtige Antwort geben, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Antworten miteinander multiplizieren (wegen der stochastischen Unabhängigkeit), wobei gilt: P=0,7 wenn die Antwort richtig und P=0,3 wenn die Antwort falsch ist.

P("genau erste und letzte die richtige Antwort richtig") = %%0,7\cdot0,3\cdot0,3\cdot0,3\cdot0,3\cdot0,7%%

%%=0,003969=0,3969\% %%

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Antwort richtig ist, kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses (alle sechs haben Unrecht) berechnen.

P("mindestens eine Antwort richtig") %%=1-0,000729%%

%%=0,999271=99,9271\% %%

Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten

Berechne %%P(%%"mindestens einer hat Recht"%%)%% mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: %%P(%%"keiner hat Recht"%%)%%

%%P(%%"mindestens einer hat Recht"%%)%% = 1 - %%P(%%"keiner hat Recht"%%)%%

Stelle die Formel für die Binomialverteilung von %%P(%%"keiner hat Recht"%%)%% auf (damit ist k=0, da keiner richtig antwortet).

%%P(%%"keiner hat Recht"%%)%% = %%\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0,7^0\cdot\left(1-0,7\right)^{n-0}%%

Wende die Formel für den Binomialkoeffizient an.

%%=\frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0,7^0\cdot0,3^{n-0}%%

%%0!=1, x^0=1%%

%%=\frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0,3^n%%

%%=0,3^n%%

Mache Ansatz P("mindestens einer hat Recht") %%>99\% %% und schreibe die Wahrscheinlichkeit mit jener des Gegenereignisses:

%%1-0,3^n>0,99%%

%%\left|-0,99\;+0,3^n\right.%%

%%0,01>0,3^n%%

Wende den Logarithmus an.

%%\log_{0,3}0,01< n%%

%%3,82< n%%

%%\Rightarrow%%  Es müssen mindesten 4 Leute antworten, damit die Wahrscheinlichkeit über 99% Prozent liegt.

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit 20% Ausschuss her.
  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeite, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

1. k=0

geg: n=100,  p=0,2,  k=0n=100,\;p=0,2,\;k=0
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.
P=(1000)0,20(10,2)1000P=\begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\cdot0,2^0\cdot\left(1-0,2\right)^{100-0}
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
=100!0!(1000)!0,20(10,2)1000=\frac{100!}{0!\left(100-0\right)!}\cdot0,2^0\cdot\left(1-0,2\right)^{100-0}

=100!100!0,200,8100=\frac{100!}{100!}\cdot0,2^0\cdot0,8^{100}

=0,8100=0,8^{100}

2,0371010\approx2,037\cdot10^{-10} \approx 2,0371082,037\cdot10^{-8} %
  \Rightarrow\; Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Bohrmaschine ein Ausschussstück ist, beträgt 2,037108%2,037\cdot10^{-8}\% .

2. k=20

geg: n=100,  p=0,2,  k=20n=100,\;p=0,2,\;k=20
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.
P=(10020)0,220(10,2)10020P=\begin{pmatrix}100\\20\end{pmatrix}\cdot0,2^{20}\cdot\left(1-0,2\right)^{100-20}
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
=100!20!(10020)!0,220(10,2)10020=\frac{100!}{20!\left(100-20\right)!}\cdot0,2^{20}\cdot\left(1-0,2\right)^{100-20}
=100!20!80!0,2200,880=\frac{100!}{20!\cdot80!}\cdot0,2^{20}\cdot0,8^{80}
0,09939,9%\approx0,0993\approx9,9\% 
  \Rightarrow\; Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen Ausschussstücke sind, beträgt 9,9%
In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
geg: n=20,  p=13,  k=10n=20,\;p=\frac13,\;k=10
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:
P=(2010)(13)10(113)2010P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}
=20!10!(2010)!(13)10(113)2010=\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}
=20!10!10!(13)10(23)10=\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10}
0,054265,4%\approx0,05426\approx5,4\% 
\Rightarrow Zu 5,4%5,4\% beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt. Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

Bezeichne mit %%X%% die Anzahl der gezogenen Pikkarten.

Bei jedem Ziehen ist der Anteil der Pikkarten an allen Karten %%\frac{13}{52}=\frac14%% .

geg.: %%p=\frac14%%

Stelle die Formel für die Binomialverteilung von %%\mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right)%% auf. %%\mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right)%% ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n gezogenen Karten k Pikkarten sind.

%%P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot\left(\frac14\right)^k\cdot\left(\frac34\right)^{n-k}%%

%%\mathrm P\left(\mathrm X\geq2\right)=1-\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)%%

Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich 60%

%%\mathrm P\left(\mathrm X\geq2\right)=1-\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0.6%%

%%\mid+\mathrm{P( X\leq1)-0,6}%%

Forme die Gleichung um.

%%\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\leq0,4%%

Schaue in dem Tafelwerk der Stochastik nach ( %%\rightarrow\mathrm k=1;\mathrm p=\frac14%%) für welches möglichst kleine n die Ungleichung noch erfüllt ist.

%%\mathrm{für \;n=7:P(X \leq 1) =0,44495}%%

%%\mathrm{für \;n=8:P(X \leq 1) =0,36708}%%

Damit muss 8 mal gezogen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens 2 Pikkarten zu ziehen.

Alternative Lösung

Falls man zur Lösung CAS zur Verfügung hat, sind auch 2 etwas andere Wege möglich. Anbei als screenshot die Lösung mit TI-nspire CAS.

Binomialverteilung Lösungsweg

Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.
Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten

Definiere die Zufallsvariable XX="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"
P("Maschine la¨uft")P(\text{"Maschine läuft"})= P(X1)P\left(X\leq1\right)
XX hat Binomialverteilung mit n=8n=8. Es gibt nämlich (8k)\begin{pmatrix}8\\ k \end{pmatrix} Möglichkeiten, dass kk der 88 Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich pp.
P(X=k)=(8k)pk(1p)8k\mathrm P(\mathrm X=\mathrm k)=\begin{pmatrix}8\\\mathrm k\end{pmatrix}\cdot p^\mathrm k\cdot\left(1-\mathrm p\right)^{8-\mathrm k}
Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1X \leq 1 ist.
Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich als 80%80\% und schaue im Tafelwerk der Stochastik nach, für welche pp die Ungleichung immer noch erfüllt ist.
P(X1)0,8\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0,8
Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von pp die unter 0,10,1 liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für p=0,125p=0,125 bereits nicht mehr.
p0,1\Rightarrow \mathrm p\leq 0,1
In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau 6 weiße sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

Bezeichne mit X\mathrm X die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln
P(A)=AΩ\mathrm P\left(\mathrm A\right)=\frac{\left|\mathrm A\right|}{\left|\mathrm\Omega\right|}
Berechne A\left|\mathrm A\right|.
Es gibt (136)\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix} Möglichkeiten, 6 weiße Kugeln auszuwählen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es (164)\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix} Möglichkeiten, 4 rote Kugeln auszuwählen.

A=\Rightarrow\left|\mathrm A\right|= (136)\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix} \cdot (164)\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}
Berechne nun Ω\left|\mathrm\Omega\right|.
Es gibt insgesamt (2910)\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix} Möglichkeiten, um 10 Kugeln auszuwählen.
Berechne P(X=6)\mathrm P\left(\mathrm X=6\right).
P(X=6)=(136)(164)(2910)=\mathrm P\left(\mathrm X=6\right)=\frac{\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}}=

=312312020030010=10466715,6%=\frac{3123120}{20030010}=\frac{104}{667}\approx15,6\% 

In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.

Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel.

Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.

Zu text-exercise-group 118801:
Nish 2019-08-04 18:22:50+0200
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Alle bestehenden Lösungen sollten mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden. Zum Beispiel werden Überschriften nicht mehr verlinkt. Das wäre super!

Dann fehlen noch Lösungen ;)

LG,
Nish
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Wie oft muss ein Besucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf einen Gratis-Cocktail bei mindestens 80% liegen?

Binomalverteilung

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Barbesucher das Spiel gewinnt

Überlegung:

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 6, wenn der Barkeeper eine 1-5 würfelt.

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 5 wenn der Barkeeper eine 1-4 würfelt.

Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 2, wenn der Barkeeper eine 1 würfelt.

Der Spieler verliert bei einer eigenen 1 immer.

Von insgesamt 36 Würfelkombinationen, gewinnt der Spieler bei %%5+4+3+2+1=15%% Würfelkombinationen.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit %%p%% eines Barbesuchers bei einem Spiel beträgt also %%p=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}%%.

Wie oft muss ein Barbesucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei mehr als 80% liegt?

Der Kunde gewinnt einen Cocktail, wenn der Barkeeper einmal nicht gewinnt.

Der Barkeeper hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit %%q=1-p=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}%%.

Wir suchen also eine natürliche Zahl %%n\in\mathbb{N}%%, die angibt, nach wie vielen Versuchen ein durchgängiger Sieg des Barkeepers unwahrscheinlicher als %%20\% %% ist.

In mathematischer Schreibweise: Gesucht ist eine natürliche Zahl %%n\in\mathbb{N}%%, sodass %%(\frac{7}{12})^n<0,2%%.

Lösung mit dem Logarithmus:

%%n>\log_\frac{7}{12}\left(0,2\right)\approx2,98%%.

Der Kunde muss somit mindestens 3 Spiele spielen.

Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails.
Wie wahrscheinlich ist es, dass

%%\phantom{.}%%1%%\phantom{.}%%Kein Cocktail gewonnen wird?

%%\phantom{.}%%2%%\phantom{.}%%Genau drei Cocktails gewonnen werden?

%%\phantom{.}%%3%%\phantom{.}%%Mehr als drei Cocktails gewonnen werden?

%%\phantom{.}%%4%%\phantom{.}%%Genau neun Cocktails gewonnen werden?

%%\phantom{.}%%5%%\phantom{.}%%Alle zehn Cocktails gewonnen werden?

Binomialverteilung

Lösungen mit Bernoulli-Gleichung

Zufallsgröße %%X%%: Anzahl der Gewinne

Länge der Bernoullikette: %%n=10%%

Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (einen Cocktailgewinn): %%p=\frac5{12}%%

Teilaufgabe 1

Anzahl der Gewinne: %%X=0%%

%%P(X=0)=\left(\frac5{12}\right)^{10}=0{,}0001577=0{,}0157\,\% %%

Teilaufgabe 2

Anzahl der Gewinne %%X=3%%

%%P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^3\cdot\left(\frac7{12}\right)^7=0{,}19951=19{,}95\,\% %%.

Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.

Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?

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