Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du, Bernoulli-Ketten zu erkennen und Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung zu berechnen.

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Antworten werden unabhängig voneinander bewertet.
Jede Antwort kann richtig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 oder falsch mit Wahrscheinlichkeit 0,3 sein.
Die 6 Antworten werden jetzt hintereinander als Bernoulli-Experimente betrachtet.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit
(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
(2) hat keiner von ihnen recht?
(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten berechnen
P("Person hat recht")= $\mathrm P\left(\mathrm R\right)$ = 0,7
Bestimmte die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis
P("Person hat unrecht")= $\mathrm P\left(\overline{\mathrm R}\right)$ = 0,3
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
Ob eine Antwort richtig ist wird nicht von der Richtigkeit der anderen Antworten beeinflusst, also sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen richtig liegen, musst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person richtig liegt, hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben recht")= $P\left(R\right)^6$
$=0{,}7^6 \approx0{,}118=11{,}8\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen falsch liegen, musst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person falsch liegt hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben unrecht") = $P\left(\overline R\right)^6$
$=0{,}3^6=0{,}000729=0{,}0729\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass genau der erste und der letzte die richtige Antwort geben, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Antworten miteinander multiplizieren (wegen der stochastischen Unabhängigkeit), wobei gilt: P=0,7 wenn die Antwort richtig und P=0,3 wenn die Antwort falsch ist.
P("genau erste und letzte die richtige Antwort richtig") = $0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}7$
$=0{,}003969=0{,}3969\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Antwort richtig ist, kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses (alle sechs haben Unrecht) berechnen.
P("mindestens eine Antwort richtig") $= 1 - 0,000729$
$=0{,}999271=99{,}9271\%$
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Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

2
Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.
Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten
Definiere die Zufallsvariable $X$ ="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"
$P(\text{"Maschine läuft"})$ = $P\left(X\leq1\right)$
$X$ hat Binomialverteilung mit $n = 8$ . Es gibt nämlich $\begin{pmatrix}8\\ k \end{pmatrix}$ Möglichkeiten, dass $k$ der $8$ Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich $p$ .
$\mathrm P(\mathrm X=\mathrm k)=\begin{pmatrix}8\\\mathrm k\end{pmatrix}\cdot p^\mathrm k\cdot\left(1-\mathrm p\right)^{8-\mathrm k}$
Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X \leq 1$ ist.
Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich als $80 %$ und schaue im Tafelwerk der Stochastik nach, für welche $p$ die Ungleichung immer noch erfüllt ist.
$\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0{,}8$
Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von $p$ die unter $0,1$ liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für $p = 0,125$ bereits nicht mehr.
$\Rightarrow \mathrm p\leq 0{,}1$

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ kannst du direkt nur sehr schwierig berechnen. Deshalb ist es sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis „Keine Tastatur ist defekt“ zu berechnen.

Du startest also mit folgendem Ansatz:

$P(\text{„Mindestens eine Tastatur ist defekt“}) = 1 - P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$

Stelle nun die Formel für die Binomialverteilung von $P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$ auf (also $k = 0$ , da keine defekt ist).

$\displaystyle P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}02^0\cdot\left(1-0{,}02\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}02^0\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Term, indem du $0!$ durch das Ergebnis der Fakultät ersetzt, die Potenz $0{,}02^0$ ausrechnest und die Differenz im Bruch berechnest.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Bruch $\frac{n!}{n!}$ .
	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$

Führe den zuvor aufgestellten Ansatz mit P(„mindestens eine Tastatur ist defekt“) $= 90 %$ aus.

$\displaystyle 1-0{,}98^n$	$=$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle +0{,}98^n-0{,}9$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}98}0{,}1$	$=$	$\displaystyle n$
$\displaystyle n$	$\approx ≈$	$\displaystyle 114$

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4
In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
geg: $n=20,\;p=\frac13,\;k=10$
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:
$P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10}$
$\approx0{,}05426\approx5{,}4\%$
$\Rightarrow$ Zu $5,4 %$ beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt.

Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

6
In einer Urne befinden sich 13 weiße und 16 rote Kugeln, von denen 10 zufällig herausgegriffen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau 6 weiße sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Bezeichne mit $\mathrm X$ die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln
$\mathrm P\left(\mathrm A\right)=\frac{\left|\mathrm A\right|}{\left|\mathrm\Omega\right|}$
Berechne $\left|\mathrm A\right|$ .
Es gibt $\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, 6 weiße Kugeln auszuwählen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es $\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, 4 rote Kugeln auszuwählen.
$\Rightarrow\left|\mathrm A\right|=$ $\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}$
Berechne nun $\left|\mathrm\Omega\right|$ .
Es gibt insgesamt $\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, um 10 Kugeln auszuwählen.
Berechne $\mathrm P\left(\mathrm X=6\right)$ .
$\mathrm P\left(\mathrm X=6\right)=\frac{\begin{pmatrix}13\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}29\\10\end{pmatrix}}=$
$=\frac{3123120}{20030010}=\frac{104}{667}\approx15{,}6\%$

In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.

Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel.

Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.

Wie oft muss ein Besucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf einen Gratis-Cocktail bei mindestens 80% liegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Barbesucher das Spiel gewinnt:
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 6, wenn der Barkeeper eine 1-5 würfelt.
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 5 wenn der Barkeeper eine 1-4 würfelt.
…
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 2, wenn der Barkeeper eine 1 würfelt.
Der Spieler verliert bei einer eigenen 1 immer.
Von insgesamt 36 Würfelkombinationen, gewinnt der Spieler bei $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ Würfelkombinationen.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ eines Barbesuchers bei einem Spiel beträgt also $p=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$ .
Wie oft muss ein Barbesucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei mehr als 80% liegt?
Der Kunde gewinnt einen Cocktail, wenn der Barkeeper einmal nicht gewinnt.
Der Barkeeper hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit $q=1-p=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ .
Wir suchen also eine natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$ , die angibt, nach wie vielen Versuchen ein durchgängiger Sieg des Barkeepers unwahrscheinlicher als $20 %$ ist.
In mathematischer Schreibweise: Gesucht ist eine natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$ , sodass $(\frac{7}{12})^n<0{,}2$ .
Lösung mit dem Logarithmus:
$n>\log_{\frac{7}{12}}\left(0{,}2\right)\approx2{,}99$ .
Antwort: Der Kunde muss somit mindestens 3 Spiele spielen.
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Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails. Wie wahrscheinlich ist es, dass

$\phantom{.}$ A $\phantom{.}$ Kein Cocktail gewonnen wird?

$\phantom{.}$ B $\phantom{.}$ Genau drei Cocktails gewonnen werden?

$\phantom{.}$ C $\phantom{.}$ Mehr als drei Cocktails gewonnen werden?

$\phantom{.}$ D $\phantom{.}$ Genau neun Cocktails gewonnen werden?

$\phantom{.}$ E $\phantom{.}$ Alle zehn Cocktails gewonnen werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Zufallsgröße $X$ : Anzahl der Gewinne

Länge der Bernoullikette: $n = 10$

Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (einen Cocktailgewinn): $p=\frac5{12}$

zu A:

Anzahl der Gewinne: $X = 0$

$P(X=0)=\left(\frac5{12}\right)^{0}\cdot(\frac7{12})^{10} \approx0{,}004562133\approx0{,}46\,\%$

zu B:

Anzahl der Gewinne $X = 3$

$P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^3\cdot\left(\frac7{12}\right)^7\approx0{,}19951\approx19{,}95\,\%$ .

zu C:

Anzahl der Gewinne $X > 3$

$\displaystyle P(X>3)$	$=$	$\displaystyle P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+...+P(X=10)$
	↓	Berechnung über das Gegenereignis.
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(X\le3\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-\left[P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)\right]$

$P (X = 0)$ und $P (X = 3)$ haben wir in 1 und 2 berechnet. Es fehlen also nur noch $P (X = 1)$ und $P (X = 2)$ .

$P(X=1)=\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^1\cdot\left(\frac7{12}\right)^9\approx 0{,}03259\approx 3{,}26\,\%$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^2\cdot\left(\frac7{12}\right)^8\approx 0{,}10474\approx 10{,}47\,\%$

$\displaystyle P(X>3)$	$=$	$\displaystyle 1-\left[P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)\right]$
	↓	Setze alle berechneten Wahrscheinlichkeiten ein.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1-\left[0{,}46\%+3{,}26\%+10{,}47\%+19{,}95\%\right]$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1-34{,}14\%$
	↓	$1=100\%\$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 65{,}86\%\$

zu D:

Anzahl der Gewinne $X = 9$

$P(X=9)=\begin{pmatrix}10\\9\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^9\cdot\left(\frac7{12}\right)^1\approx0{,}00221\approx0{,}22\,\%$

zu E:

Anzahl der Gewinne $X = 10$

$P(X=10)=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac5{12}\right)^{10}\cdot\left(\frac7{12}\right)^0\approx0{,}0001577\approx0{,}016\,\%$

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Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem Barkeeper spielen, damit sie zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Die Gruppe soll zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen. Da in der Angabe nicht die Rede von genau 10 Cocktails ist, dürfen sie auch mehr als 10 Cocktails gewinnen.

Gesucht ist also die Anzahl der Würfe $n$ , sodass $P(X\geq10)\geq0{,}95$ ist.

Zur leichteren Berechnung kannst du die Gleichung auch über das Gegenereignis ausdrücken.

$\displaystyle P(X\ge10)$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0{,}95$
	↓	Drücke die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis aus.
$\displaystyle 1-P(X<10)$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0{,}95$	$\displaystyle -0{,}95+P(X<10)$
	↓	Löse nach $P (X < 10)$ auf.
$\displaystyle 1-0{,}95$	$\geq ≥$	$\displaystyle P(X<10)$
$\displaystyle 0{,}05$	$\geq ≥$	$\displaystyle P(X<10)$
$\displaystyle 0{,}05$	$\geq ≥$	$\displaystyle P(X\leq9)$

$P(X\leq9)$ ist händisch umständlich zu rechnen, da $P(X\leq9) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)$ ist.

Du kannst den Ausdruck aber mithilfe des Taschenrechners für verschiedene Werte von $n$ berechnen.

Gesucht ist die kleinste Zahl $n$ , für die $P(X\leq9)$ kleiner als $0,05$ ist. Probiere so lange Werte aus, bis du $n$ gefunden hast.

So ein Herantasten an die Lösung kann z.B. so aussehen:

$n$	$P(X\leq9)$
10	99,99%
50	0,03%
25	35,91%
30	13,26%
35	3,81%
32	8,27%
33	6,44%
34	4,97%

Durch Probieren hast du so herausgefunden, dass $n = 34$ sein muss.

Antwort: Bei 34-maligem Werfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens $95 %$ (mindestens) 10 Cocktails zu gewinnen. Die Gruppe muss also mindestens 34 Mal Würfeln.

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Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.
Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?
Ein Gast ist ein Halunke, der mogelt. Er nutzt die Unaufmerksamkeit des Kellners aus, indem er seinen Wurf zunächst unter dem Würfelbecher heimlich betrachtet und bei einer gewürfelten 1-3 den Würfel nochmal unbemerkt würfelt.
Wie ist nun seine Gewinnchance?

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit $20$ Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Lukas ist Biathlet und besitzt eine Treffsicherheit von $p = 0,85$ . Nach einem Durchgang auf seinen Langlauf-Ski legt sich Lukas an den Schießstand und gibt $5$ Schüsse auf die Scheiben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas alle Scheiben trifft.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas die ersten beiden trifft.

Nach einer weiteren Runde Langlauf, fällt es Lukas schwerer sich zu konzentrieren. Seine Treffsicherheit beträgt ab jetzt $p = 0,6$ . Nach seinem Durchgang zeigen die Scheiben das folgende Muster:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er genau dieses Muster getroffen?

Für den letzten Durchgang benötigt er genau vier Treffer. Wie viele Muster kann Lukas auf seinen Scheiben schießen, damit dieses Ereignis erfüllt ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es gibt $5$ Muster, die genau vier Treffer enthalten.
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Stelle die Muster grafisch dar.
Begründe, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$E:\ "Lukas\ trifft\ genau\ vier\ mal."$
folgendermaßen berechnen lässt:
$\displaystyle P\left(E\right)=5\cdot0{,}6^4\cdot0{,}4$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Wahrscheinlichkeit in der Bernoulli-Kette ist
$\displaystyle P(E)=B(n;p;k)= \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}$
Die Faktoren haben folgende Bedeutungen:
$n = 5$ bezeichnet die Anzahl der Schüsse
$k = 4$ ist die Anzahl der Treffer. Dann ist $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}=5$ .
$p^k=0{,}6^4$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass viermal getroffen wurde.
$(1-p)^{n-k}=0{,}4^{5-4}=0{,}4$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass einmal nicht getroffen wurde.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für $4$ Treffer gleich
$\displaystyle P(E)=B(5;4;0{,}6)=5\cdot 0{,}6^4\cdot 0{,}4.$
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Setze in die Formel der Bernoulli-Kette ein.

10
Was ist der Unterschied zwischen einem Laplace-Experiment und einem Bernoulli-Experiment?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
Ein Laplace-Experiment kann beliebig viele Ergebnisse in der Ergebnismenge $\Omega$ haben, ein Bernoulli-Experiment nur genau zwei. Diese bezeichnet man meistens als "Treffer" und "Nichttreffer".
Außerdem müssen beim Laplace-Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein. Bei Bernoulli ist das nicht so.
11
Was ist eine Bernoulli-Kette im Vergleich zu einem Bernoulli-Experiment?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Wird ein Bernoulli-Experiment
mehrmals ( $n$ -Mal) hintereinander ausgeführt
wobei die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Treffer bei jeder Ausführung gleich bleibt
und die Reihenfolge der Treffer nicht beachtet wird
so handelt es sich um eine Bernoulli-Kette (der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ )
12
Entscheide jeweils, ob es sich um ein Laplace-Experiment, ein Bernoulli-Experiment, beides oder keins von beidem handelt.
1. Ein fairer Würfel wird geworfen und die Augenzahl notiert
  Laplace-Experiment
  Bernoulli-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da die Ergebnismenge $\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ mehr als zwei Ergebnisse enthält, diese aber alle gleich wahrscheinlich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
2. Ein fairer Würfel wird geworfen und notiert, ob eine 6 gefallen ist oder nicht.
  Laplace-Experiment
  Bernoulli-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da es nur zwei mögliche Ergebnisse in der Ergebnismenge $\Omega=\left\{6;\overline{6}\right\}$ gibt, ist es ein Bernoulli-Experiment. Da die beiden Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind, ist es kein Laplace-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
3. Es wird morgens aus dem Fenster geschaut und notiert, welches Wetter draußen ist.
  Bernoulli-Experiment
  Laplace-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da nicht genau spezifiziert ist, welche Wettersituationen unterschieden werden, kann es mehr als zwei Ergebnisse in der Ergebnismenge $\Omega$ geben. Zum Beispiel Regen, Sonne, Nebel, Schnee, Wolken,...
  Diese sind außerdem nicht gleich wahrscheinlich.
  Es ist also weder ein Laplace-Experiment noch ein Bernoulli-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
4. Eine zufällige Person wird nach ihrer Blutgruppe (A/B/AB/0) gefragt.
  Bernoulli-Experiment
  Laplace-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da die Ergebnismenge $\Omega=\left\{A,B,AB,0\right\}$ mehr als zwei Ergebnisse enthält, ist es kein Bernoulli-Experiment.
  Da außerdem die Blutgruppen nicht gleich wahrscheinlich sind, ist es auch kein Laplace-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
5. Eine faire Münze wird einmal geworfen.
  Laplace-Experiment
  Bernoulli-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da die Ergebnismenge $\Omega=\left\{Z;K\right\}$ genau die zwei Ergebnisse Kopf und Zahl enthält, ist es ein Bernoulli-Experiment.
  Da die beiden Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, weil die Münze fair, also ungezinkt ist, ist es außerdem ein Laplace-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
6. Eine gezinkte Münze wird einmal geworfen.
  Laplace-Experiment
  Bernoulli-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da die Ergebnismenge $\Omega=\left\{Z;K\right\}$ genau die zwei Ergebnisse Kopf und Zahl enthält, ist es ein Bernoulli-Experiment.
  Da die beiden Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind, weil die Münze gezinkt ist, ist es kein Laplace-Experiment.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
7. Eine zufällig ausgewählte Person in der Bevölkerung wird gefragt, ob sie raucht.
  Bernoulli-Experiment
  Laplace-Experiment
  keins von beidem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
  Da die Ergebnismenge $\Omega=\left\{R;\overline{R}\right\}$ genau die zwei Ergebnisse Raucher (R) und Nichtraucher ( $\overline{R}$ ) enthält, ist es ein Bernoulli-Experiment.
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person raucht, müsste $50 %$ betragen, damit es sich um ein Laplace-Experiment handelt. Das bedeutet, dass $50 %$ der Bevölkerung rauchen müssten. Die Prozentzahl liegt aber laut Daten des Bundesgesundheitsministeriums in den letzten Jahren deutlich darunter.
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  Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse.
  Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
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Entscheide jeweils, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt.
1. Aus einer Urne mit $10$ roten und $20$ blauen Kugeln wird mit Zurücklegen fünfmal hintereinander gezogen.
  ja
  nein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
  Ja, denn
  für einmal Ziehen gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse (=Bernoulli-Experiment) und
  die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt durch das Zurücklegen der gezogenen Kugel immer gleich.
  Falls genaueres über die gesuchte Zahl der Treffer bekannt ist, musst du noch überprüfen, ob die Reihenfolge der Treffer wichtig ist. Dann ist es nämlich keine Bernoulli-Kette.
  Die beschriebene Situation ist aber eine Bernoulli-Kette mit Länge $n = 5$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{10}{30}$ , falls man die rote Kugel als Treffer bezeichnet und $p=\frac{20}{30}$ , falls man die blaue Kugel als Treffer bezeichnet.
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  Damit es sich um eine Bernoulli-Kette handelt, muss
  das einzelne Experiment ein Bernoulli-Experiment sein
  die Trefferwahrscheinlichkeit gleich bleiben
  und die Reihenfolge der Treffer egal sein
2. Aus einer Urne mit $10$ roten und $20$ blauen Kugeln werden ohne Zurücklegen fünf Kugeln nacheinander entnommen
  ja
  nein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
  Nein, denn da die Kugeln nicht zurückgelegt werden, verändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug.
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  Damit es sich um eine Bernoulli-Kette handelt, muss
  das einzelne Experiment ein Bernoulli-Experiment sein
  die Trefferwahrscheinlichkeit gleich bleiben
  und die Reihenfolge der Treffer egal sein
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Wofür stehen bei einer Bernoulli-Kette beziehungsweise bei einer binomialverteilten Zufallsgröße die Buchstaben $n, p$ und $k$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
$n$ : Länge der Bernoulli-Kette/ Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experiments
$p$ : Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einer einmaligen Durchführung des Bernoulli-Experiments das "gewünschte" Ergebnis erzielt. Sie muss zwischen den Durchläufen gleich bleiben.
$k$ : Anzahl der "Treffer", die man betrachten möchte. Die Reihenfolge beziehungsweise Position innerhalb der Bernoulli-Kette muss egal sein, damit die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden kann.
15
Gib für jede Situation an, was $n, p$ und $k$ ist.
Du kannst es ins Eingabefeld in der Form $(n; p; k)$ eingeben.
(Beispiel für $n = 30, p = 0,2$ und $k = 10$ wäre die Eingabe $(30; 0,2; 10)$ )
1. Eine faire Münze wird $50$ mal geworfen. Es soll genau $25$ mal Zahl angezeigt werden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
  Das Experiment wird $50$ mal durchgeführt ( $n = 50$ ).
  Dabei soll genau $25$ mal der "Treffer" Zahl auftauchen ( $k = 25$ ).
  Da es sich um eine faire Münze handelt, ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf $p=50\ \%$
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2. $80 %$ der Weltbevölkerung können ihre Zunge rollen. Es werden $500$ Personen befragt und $300$ sollen die Eigenschaft besitzen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
  Die Stichprobe umfasst $500$ Personen ( $n = 500$ ).
  $300$ Personen sollen das gewünschte Merkmal zeigen, sind also "Treffer" ( $k = 300$ )
  Da $80 %$ der Bevölkerung die Zunge rollen können, ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,8$
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3. Eine gezinkte Münze zeigt in $70 %$ der Fälle Kopf. Sie wird $20$ mal geworfen. Es soll $7$ mal Zahl angezeigt werden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
  Die Münze wird $20$ mal geworfen ( $n = 20$ ).
  Dabei kann entweder Zahl als Treffer festgelegt werden ( $k = 7$ ), oder Kopf ( $k = 13$ ).
  Die Trefferwahrscheinlichkeit hängt davon ab, was als Treffer definiert wird. Ist Zahl als Treffer festgelegt, so ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,3$ . Sonst für Kopf $p = 0,7$ .
  Der Text suggeriert, dass Zahl als Treffer bezeichnet werden soll, doch beide Ansätze liefern das gleiche Ergebnis, solange die richtige Wahrscheinlichkeit verwendet wird.
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Annäherung an die Formel der Bernoulli-Kette
Aus einer Urne mit $5$ roten und $6$ blauen Kugeln wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Bestimme jeweils einen Term für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse $\left\{(b;b;r)\right\},\left\{(b;r;b)\right\}$ und $\left\{(r;b;b)\right\}$ und vereinfache ihn zunächst, ohne den Termwert zu berechnen.
Erkläre deine Beobachtung, in dem du das Ereignis $A=\{(b;b;r);(b;r;b);(r;b;b)\}$ mit Worten beschreibst und bestimme $P (A)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
In der Urne sind, da die Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden, vor dem Ziehen immer $5$ rote und $6$ blaue Kugeln.
Werden rote Kugeln als "Treffer" bezeichnet, so ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{5}{11}$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p=\frac{6}{11}$ für eine blaue Kugel.
Multipliziere jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, um die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse zu erhalten.
Die drei Wahrscheinlichkeiten lauten
$P\left(\left\{b;b;r\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$
$P\left(\left\{b;r;b\right\}\right)=\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$
$P\left(\left\{r;b;b\right\}\right)=\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{11}\cdot\frac{6}{11}=\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$
Es ist also egal, an welcher Stelle die rote Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel in drei Zügen zu ziehen, ist immer gleich. Es gibt aber drei Möglichkeiten, sie zu ziehen.
Das Ereignis $A$ ist in Worten "Es wird genau eine rote Kugel gezogen (die Position der Kugel ist egal)".
Die Wahrscheinlichkeit ist $P\left(A\right)=3\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^2\cdot\frac{5}{11}$ , denn sie umfasst genau die drei oberen Ergebnisse.
Für komplizierte Beispiele kann man die Zahl $3$ nicht so leicht ermitteln. Dafür benötigt man den Binomialkoeffizienten $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ . Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um aus einer Menge mit $n$ Elementen zufällig $k$ Elemente auszuwählen oder mit anderen Worten, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau den einen Treffer enthalten.
Hier: $P\left(A\right)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\cdot \frac {5}{11}\cdot\left(\frac 6{11}\right)^2$
Befolge die 1. Pfadregel, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
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Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette mit Länge $n$ und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p$ genau $k$ Treffer zu erzielen, kann bestimmt werden durch:
$P(\text{"genau k Treffer"})=B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Erkläre die Bedeutung jedes Faktors im Produkt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Bernoulli-Kette mit Länge $n$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ genau $k$ Treffer erzielt werden, kann mithilfe der Formel der Binomialverteilung berechnet oder im Tafelwerk der Stochastik nachgeschlagen werden.
Die Formel besteht aus:
Dem Binomialkoeffizienten $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ , der die Anzahl der Möglichkeiten vorgibt, die $k$ Treffer aus der Menge der $n$ Versuche auszuwählen. Das ist auch die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die $k$ Treffer entlang ihres Pfads enthalten.
Die Teilwahrscheinlichkeit, $k$ mal zu treffen, dargestellt durch die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ potenziert mit der Anzahl der Treffer $k$ : $p^{k}$ .
Die Teilwahrscheinlichkeit, sonst nicht zu treffen, dargestellt durch die Nichttrefferwahrscheinlichkeit $(1 - p)$ potenziert mit der Anzahl der Nichttreffer $(n - k)$ : $(1-p)^{n-k}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P\left("\min destens\ einer\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$
	↓	Stelle die Formel für die Binomialverteilung von $P ($ "keiner hat Recht" $)$ auf (damit ist k=0, da keiner richtig antwortet).
$\displaystyle P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}7^0\cdot\left(1-0{,}7\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizient an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}7^0\cdot0{,}3^{n-0}$
	↓	$0! = 1, x^{0} = 1$
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}3^n$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Mache Ansatz P("mindestens einer hat Recht") $> 99 %$ und schreibe die Wahrscheinlichkeit mit jener des Gegenereignisses:
$\displaystyle 1-0{,}3^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle -0{,}99+0{,}3^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}3}0{,}01$	$<$	$\displaystyle n$
$\displaystyle 3{,}82$	$<$	$\displaystyle n$

$\displaystyle 1-P\left(X\le1\right)$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle +P\left(X\le1\right)-0{,}6$
$\displaystyle 1-0{,}6$	$\geq ≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$
$\displaystyle 0{,}4$	$\geq ≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$

$\displaystyle P\left("5\ Treffer"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85\cdot0{,}85$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}4437$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 44{,}37\ \%$

$\displaystyle P\left("1.\ und\ 2.\ Schuss\ Treffer"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}85\cdot0{,}85\cdot1\cdot1\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}7225$
	$=$	$\displaystyle 72{,}25\ \%$

$\displaystyle P\left("Muster"\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}6\cdot0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}4$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}0230$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}30\%$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}2^0\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{0!\left(100-0\right)!}\cdot 0{,}2^0\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{100!}\cdot 0{,}2^0\cdot 0{,}8^{100}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8^{100}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}037\cdot10^{-10}\approx2{,}037\cdot10^{-8}\%$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\20\end{pmatrix}\cdot0{,}2^{20}\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\left(100-20\right)!}\cdot 0{,}2^{20}\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\cdot80!}\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}0993\approx9{,}9\%$

Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

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nnn: Länge der Bernoulli-Kette/ Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experiments

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Annäherung an die Formel der Bernoulli-Kette

$n$ : Länge der Bernoulli-Kette/ Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experiments