Aufgaben

Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

Zu text-exercise-group 29245:
Nish 2018-09-23 15:13:36
Hallo zusammen,
die Lösung zu der Aufgabe sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/59311) überarbeitet werden.

Würde mich freuen, wenn sich jdn. dafür findet! :)
LG,
Nish
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%%5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}%%

%%5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}%%

Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf man für %%x%% nur postitive Werte oder die 0 einsetzen.

%%D=\mathbb{R}_0^+%%

%%5\cdot\sqrt{2x}\cdot\sqrt{18x}%%

Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.

%%=5\cdot\sqrt{2x\cdot18x}%%

Alles unter der Wurzel zusammenfassen.

%%=5\cdot\sqrt{36x^2}%%

Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.

%%=5\cdot6\cdot\left|x\right|%%

Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.

%%=30x%%

Warum kann man den Betrag weglassen?

Man kann hier den Betrag weglassen, da man laut Definitionsmenge nur nicht-negative Werte für %%x%% einsetzen darf.
Bei positven Werten oder der 0 kann man aber die Betragsstriche weglassen.

%%\displaystyle\frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}%%

%%\displaystyle\frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}%%

Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Die erste Wurzel im Zähler ist immer positiv, da die Variable %%a%% quadratisch vorkommt.
Aber in der zweiten Wurzel des Zählers darf man nur positive Werte oder 0 einsetzen.
Genauso verhält es sich bei der Wurzel im Nenner, hier muss aber a größer Null sein.

%%D=\mathbb{R}_{}^+%%, also %%a>0%%

%%\displaystyle\frac{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{12a}}{\sqrt{8a}}%%

Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.

%%=\displaystyle\sqrt{\frac{2a^2\cdot12a}{8a}}%%

Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.

%%=\displaystyle\sqrt{3a^2}%%

Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.

%%=\displaystyle\sqrt3\cdot\left|a\right|%%

Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.

%%=\displaystyle\sqrt3\cdot a%%

Warum kann man den Betrag weglassen?

Man kann hier den Betrag weglassen, da man laut Definitionsmenge für %%a%% nur nicht-negative Werte einsetzen darf.
Bei positiven Werten oder bei der 0 kann man aber den Betrag weglassen.

%%\left(\sqrt{d-2}\right)^2%%

%%\left(\sqrt{d-2}\right)^2%%

Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.

%%d-2\geq0%%

Nach %%d%% auflösen.

%%d\geq2%%

%%D=\left[2;\infty\right[%%

%%\left(\sqrt{d-2}\right)^2%%

Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.

%%=\left|d-2\right|%%

Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.

%%=d-2%%

Warum kann man denn Betrag hier weglassen?

Man kann hier den Betrag weglassen, da man laut Definitionsmenge für %%d%% nur Zahlen größer als 2 einsetzen darf.
Für solche Zahlen wird der Ausdruck aber immer positiv. Steht etwas positives zwischen den Betragsstrichen, kann man diese weglassen.

%%\sqrt{\left(d-2\right)^2}%%

%%\sqrt{\left( d-2 \right)^2}%%

Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Da der Term der unter der Wurzel steht noch quadriert wird, wird dieser immer positiv sein, egal welche Werte man für %%d%% einsetzt.

%%D=\mathbb{R}%%

%%\sqrt{\left( d-2 \right)^2}%%

Wurzel ziehen und dabei den Betrag nicht vergessen.

%%=\left|d-2 \right|%%

Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.

%%=\left|d-2 \right|%%

Warum darf man hier die Betragsstriche nicht weglassen?

Man darf die Betragsstriche nicht weglassen. Würde man sie weglassen und man für %%d%% zum Beispiel -1 einsetzen (was man ja darf, weil alle reellen Zahlen in der Definitionsmenge sind), käme als Ergebnis -3 heraus. Die Quadratwurzel darf aber nicht negativ sein.
Deshalb muss man die Betragsstriche behalten. (Zum Beispiel für %%d=-1%%: %%\left|-1-2 \right|=\left|-3\right|=3)%%

Gib den Definitionsbereich an.

Zu text-exercise-group 14881:
Nish 2018-09-23 15:12:37
Hallo zusammen,
die Lösung zu der Aufgabe sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/59311) überarbeitet werden.

Würde mich freuen, wenn sich jdn. dafür findet! :)
LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 14881: Keine Lösung
Lena09 2014-03-21 16:35:49
Leider gibt es zu dieser Aufgabengruppe noch keine Lösung. Dies sollte jemand schnell beheben! Danke!
Nish 2018-09-23 15:13:01
Es gibt mittlerweile Lösungen :)

%%\sqrt{\mathrm x-36}%%

Definitionsbereich bestimmen

Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf %%x-36%% nicht negativ sein. %%x-36%% ist negativ, wenn %%x%% kleiner ist als %%36%%. Deswegen muss %%x%% entweder größer als %%36%% sein oder %%36%% gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. %%x%% gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.

$$x\in\mathbb{R},\;x\geqslant36$$

%%\sqrt{36+\mathrm x^2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier %%36+x^2%% nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. %%x%% kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass %%x^2+36%% kleiner als null wird.

$$D=\mathbb{R}$$

%%\frac1{\sqrt{\mathrm x+36}}%%

Definitionsbereich bestimmen

Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss %%x+36%% größer als null sein. Dazu muss %%x%% größer %%-36%% sein. Außerdem gehört %%x%% zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von %%\frac1{\sqrt{\mathrm x+36}}%% den Definitionsbereich bestimmen.

$$x\in R,\;x>-36$$

%%\sqrt{\mathrm x^2-36}%%

Definitionsbereich bestimmen

Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf %%x^2-36%% nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss %%x^2%% also größer gleich %%36%% sein.
%%x^2%% ist nicht größer gleich %%36%%, wenn %%x%% irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist.
Allgemein gehört %%x%% zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von %%\sqrt{x^2-36}%% angeben.

$$D=\mathbb{R}\;\backslash\;\rbrack-6;\;6\lbrack$$

Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.

%%\sqrt{49a^4b^2}%%

%%\sqrt{49a^4b^2}%%

Es handelt sich um eine Definitionslücke wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.

Da die Exponenten von %%a%% und %%b%% gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da %%x^{2n}%% immer positiv ist.

%%D_\max=ℝ%%

%%\sqrt{49a^4b^2}%%

%%=7\cdot a^2\cdot\left|b\right|%%

Betragsstriche, da %%b%% negativ sein könnte.

%%\sqrt{\left(-b\right)^2}%%

%%\sqrt{\left(-b\right)^2}%%

Es handelt sich um eine Definitionslücke wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.

Der Exponent von %%b%% ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da %%\left(-x\right)^{n_\mathrm{gerade}}%% immer positiv ist.

%%D_\max=ℝ%%

%%\sqrt{\left(-b\right)^2}%%

%%-b%% quadrieren .

%%=\sqrt{b^2}%%

Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.

%%=\left|b\right|%%

%%\sqrt{\left(1-2x\right)^2}%%

%%\sqrt{\left(1-2x\right)^2}%%

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.

%%{\mathrm D}_\mathrm{Max}=\mathbb{R}%%

%%\sqrt{\left(1-2x\right)^2}%%

Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.

%%=\left|1-2x\right|%%

%%\sqrt{\left(x-y\right)^2}%%

%%\sqrt{\left(x-y\right)^2}%%

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.

%%{\mathrm D}_\mathrm{Max}=\mathbb{R}%%

%%\sqrt{\left(x-y\right)^2}%%

Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.

%%=\left|x-y\right|%%

%%\sqrt{x^2+y^2}%%

%%\sqrt{x^2+y^2}%%

Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von %%x%% und %%y%% gerade sind, darf für %%x%% und %%y%% alles eingesetzt werden.

%%D_\max=\;ℝ%%

%%\sqrt{x^2+y^2}%%

Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.

%%=\sqrt{x^2+y^2}%%

Vereinfache:

%%\sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt8-3\sqrt{45}%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

Artikel zum Thema

%%\sqrt{500}+3\sqrt{98}-5\sqrt8-3\sqrt{45}%%

Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .

%%=\sqrt{5\cdot10^2}+3\sqrt{2\cdot7^2}-5\sqrt{2^2\cdot2}-3\sqrt{3^2\cdot5}%%

Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .

%%=10\sqrt5+3\cdot7\sqrt2-5\cdot2\sqrt2-3\cdot3\sqrt5%%

%%=10\sqrt5+21\sqrt2-10\sqrt2-9\sqrt5%%

%%=\sqrt5+11\sqrt2%%

%%\left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}a}\;\;\;\;\;\;\;\;\left(x,\;y,\;z\;>\;0\right)%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

Artikel zum Thema

%%\left(\sqrt{\frac{x^5y}{5a}}:\sqrt{\frac{x^3y^3}{a^2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{25x}a}%%

Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.

%%=\frac{\sqrt{x^5y}\cdot\sqrt{a^2}}{\sqrt{5a}\cdot\sqrt{x^3y^3}}\cdot\frac{\sqrt{25x}}{\sqrt a}%%

Fasse die Brüche zusammen.

%%=\sqrt{\frac{x^5y\cdot a^2\cdot25x}{5ax^3y^3a}}%%

%%=\sqrt{\frac{5x^3}{y^2}}%%

Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.

%%=\frac xy\sqrt{5x}%%

Vereinfache den Term %%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%% und gib an, für welche Werte von %%x%% sich der Termwert %%0%% ergibt.

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

Beim ersten Summand steht %%x%% alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für %%x%% einsetzen.

Beim zweiten Summanden steht %%x^2%% unter der Wurzel.
Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das %%x%% in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen %%x%% nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche %%x%% negativ oder positiv war.

Also kann man alle reellen Zahlen für %%x%% einsetzen.

%%D=\mathbb{R}%%

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

Die Zahlen als Quadratzahlen schreiben.

%%=\sqrt{13^2}\cdot x+\sqrt{13^2\cdot x^2}%%

Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.

%%=13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Warum müssen die Betragsstriche hier stehen?

Beim ersten Summand muss man nur die Zahl radizieren.
Beim zweiten Summand muss man auch %%x^2%% radizieren. Da die Definitionsmenge ganz %%\mathbb{R}%% ist, kann man auch negative Zahlen einsetzen. Deshalb wäre die Lösung %%x%% falsch, weil man auch negative %%x%% einsetzen darf. Die Quadratwurzel eines Terms darf aber nicht negativ sein (sondern 0 oder positiv). Deshalb verwendet man die Betragsstriche.

1. Fall: Positive %%x%%, also %%x\geq0%%

%%13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Wenn man nur positive %%x%%-Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.

%%=13\cdot x+13\cdot x%%

Zusammenfassen.

%%=26x%%

Dies wird nur 0, falls %%x=0%%

2. Fall: Negative %%x%%, also %%x\leq0%%

%%13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Wenn man nur negative %%x%%-Werte einsetzt, kann man %%-x%% anstatt %%\left|x\right|%% schreiben

%%=13\cdot x+13\cdot (-x)%%

Zusammenfassen.

%%=13\cdot x-13\cdot x=0%%

Für negative %%x%%-Werte wird der Ausdruck also immer 0.


Der Term %%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%% wird für alle %%x\leq 0%%, also für 0 und allen negativen Zahlen, 0.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art.
Vereinfache diese:

Zu text-exercise-group 14827:
Nish 2018-09-23 15:10:56
Hallo zusammen,
die Lösung zu der Aufgabe sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/59311) überarbeitet werden.

Würde mich freuen, wenn sich jdn. dafür findet! :)
LG,
Nish
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%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot8}}2%%

Fasse alles unter der Wurzel zusammen.

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{164}}2%%

Ziehe %%2%% aus der Wurzel .

%%x_{1/2}=\frac{-14\pm\sqrt{4\cdot41}}2=\frac{-14\pm2\sqrt{41}}2%%

Kürze den Bruch mit %%2%%.

%%x_{1/2}=-7\pm\sqrt{41}%%

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt7}}{2\sqrt7}%%

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt7}}{2\sqrt7}%%

Fasse alles unter der Wurzel zusammen.

%%x_{1/2}=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{2\sqrt7}=\frac{-5\pm9}{2\sqrt7}%%

Berechne den Bruch einmal mit %%+%% und einmal mit %%-%%.

%%x_1=\frac{-5+9}{2\sqrt7}=\frac4{2\sqrt7}%%

Kürze den Bruch mit %%2%%.

%%x_1=\frac2{\sqrt7}%%

Erweitere den Bruch mit %%\sqrt7%% .

%%x_1=\frac{2\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}7%%

%%x_2=\frac{-5-9}{2\sqrt7}=\frac{-14}{2\sqrt7}%%

Erweitere den Bruch mit %%\sqrt7%% .

%%x_2=\frac{-14\sqrt7}{2\sqrt7\sqrt7}=\frac{-14\sqrt7}{2\cdot7}=\frac{-14\sqrt7}{14}%%

Kürze den Bruch mit 14.

%%x_2=-\sqrt7%%

Begründe, dass für positive %%a%% gilt: %%\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}a%%

Du willst zeigen, dass %%\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}a%%

Versuche hierfür den Nenner rational zu machen.

%%\frac1{\sqrt a}%%

Erweitern mit %%\sqrt a%%

%%=\frac{1\cdot\sqrt a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}}%%

Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.

%%=\frac{1\cdot\sqrt a}{\sqrt{a\cdot a}}%%

Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.

%%=\frac{\sqrt a}a%%

Für welche Werte von %%x%% ist die „Aussage“ jeweils wahr?

%%\sqrt{x^2}=-x%%

Für welche %%x%% ist %%\sqrt{x^2}=-x%%?

Allgemein ist %%\sqrt{x^2}=\left|x\right|%%.
Überlege daher:

Für welche %%x%% ist %%\left|x\right|=-x%%?

Antwort: Für alle Werte von %%x%%, die kleiner oder gleich 0 sind.

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