Gemischte Aufgaben zur Ableitung

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Vereinfache die Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$f (z) = \frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1

Um beide Brüche verrechnen zu können, musst du diese auf einen Hauptnenner bringen.

$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Erweitere $\frac{2 z^{2}}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{4 z^{2}}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 z^{2} + 4 z^{2}}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7 z^{2}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{z^{2}}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{2} z^{2}$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot z$
	$=$	$z$

Lösungsvorschlag 2

Da beide Brüche im Zähler ein $z^{2}$ haben, kann man dieses ausklammern.

$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Klammere $z^{2}$ aus.
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{2}{7}) \cdot z^{2}$
	↓	Erweitere $\frac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{4}{14}) \cdot z^{2}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 + 4}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot z^{2}$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$f ´ (z)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot z$
	$=$	$z$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $f^{'} (z) = z$ .

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$g (x) = \frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktion mit Hilfe der Rechenregel für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1:

Bringe die Brüche auf einen Hauptnenner und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

$g (x)$	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$
	↓	Erweitere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{3 x^{2}}{12}$
	↓	Schreibe alles auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{7 x^{2} - 3 x^{2}}{12}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{4 x^{2}}{12}$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\frac{x^{2}}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{3} x^{2}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $g (x)$ .

$g^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot x = \frac{2}{3} x^{}$

Lösungsvorschlag 2:

Klammere aus und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

$g (x)$	$=$	$\frac{7 x^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4}$
	↓	Ziehe die Faktoren vor die Brüche.
	$=$	$\frac{7}{12} x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}$
	↓	Klammere $x^{2}$ aus.
	$=$	$(\frac{7}{12} - \frac{1}{4}) \cdot x^{2}$
	↓	Erweitere $\frac{1}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$(\frac{7}{12} - \frac{3}{12}) \cdot x^{2}$
	↓	Schreibe es auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{7 - 3}{12} \cdot x^{2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{4}{12} \cdot x^{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{2}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $g (x)$ .

$g^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot x = \frac{2}{3} x^{}$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $g^{'} (x) = \frac{2}{3} x$ .

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$h (t) = - \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1:

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\frac{t^{3}}{3}$ mit 2.
	$=$	$- \frac{2 t^{3}}{6} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{- 2 t^{3} - t^{3}}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$- \frac{t^{3}}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$- \frac{1}{2} t^{3}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h (t)$ .

$h^{'} (t) = - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^{2} = - \frac{3}{2} t^{2} = - 1,5 t^{2}$

Lösungsvorschlag 2:

Du kannst hier $t^{3}$ ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$- \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{6} t^{3}$
	↓	Du kann hier $t^{3}$ ausklammern.
	$=$	$(- \frac{1}{3} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Erweitere den Bruch $- \frac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$(- \frac{2}{6} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$(\frac{- 2 - 1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{6} \cdot t^{3}$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$- \frac{1}{2} t^{3}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h (t)$ .

$h^{'} (t) = - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^{2} = - \frac{3}{2} t^{2} = - 1,5 t^{2}$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $h^{'} (t) = - 1,5 t^{2}$ .

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