Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Vereinfache die Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

$f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Um beide Brüche verrechnen zu können, musst du diese auf einen Hauptnenner bringen.

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Erweitere $\dfrac{2z^2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{4z^2}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2+4z^2}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7z^2}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}z^2$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle f´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot2\cdot z$
	$=$	$\displaystyle z$

Da beide Brüche im Zähler ein $z^2$ haben, kann man dieses ausklammern.

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Klammere $z^2$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{2}{7}\right)\cdot z^2$
	↓	Erweitere $\dfrac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{4}{14}\right)\cdot z^2$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3+4}{14}\cdot z^2$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{14}\cdot z^2$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot z^2$
	↓	Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle f´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot2\cdot z$
	$=$	$\displaystyle z$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $f'(z)=z$ .

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$g(x)=\dfrac{7x^2}{12}-\dfrac{x^2}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktion mit Hilfe der Rechenregel für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Bringe die Brüche auf einen Hauptnenner und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7x^2}{12}-\frac{x^2}{4}$
	↓	Erweitere $\dfrac{x^2}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{7x^2}{12}-\frac{3x^2}{12}$
	↓	Schreibe alles auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{7x^2-3x^2}{12}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4x^2}{12}$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{3}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $g(x)$ .

$g'(x)=\frac{1}{3}\cdot2\cdot x=\frac{2}{3}x^{ }$

Klammere aus und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7x^2}{12}-\frac{x^2}{4}$
	↓	Ziehe die Faktoren vor die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{12}x^2-\frac{1}{4}x^2$
	↓	Klammere $x^2$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{7}{12}-\frac{1}{4}\right)\cdot x^2$
	↓	Erweitere $\dfrac{1}{4}$ mit $3$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{7}{12}-\frac{3}{12}\right)\cdot x^2$
	↓	Schreibe es auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{12}\cdot x^2$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{12}\cdot x^2$
	↓	Kürze den Bruch mit 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^2$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $g(x)$ .

$g'(x)=\frac{1}{3}\cdot2\cdot x=\frac{2}{3}x^{ }$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $g'(x)=\frac{2}{3}x$ .

$\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\dfrac{t^3}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2t^3}{6}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2t^3-t^3}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}t^3$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h(t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Du kannst hier $\displaystyle t^3$ ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{6}t^3$
	↓	Du kann hier $\displaystyle t^3$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Erweitere den Bruch $-\dfrac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{-2-1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{6}\cdot t^3$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}t^3$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h(t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $\displaystyle h'(t)= -1{,}5t^2$ .