Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

…

Vereinfache die folgenden Funktionen so weit wie möglich und bilde eine Stammfunktion.

$\displaystyle f(x)=\frac{7}{x^{-2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{x^{-2}}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz für negative Exponeneten an.
	$=$	$\displaystyle 7\cdot x^{-\left(-2\right)}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 7x^2$

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot7\cdot x^3+C$
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{3}x^3+C$
	↓	mit $C\in \mathbb{R}$

Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist $\displaystyle F(x)=\frac{7}{3}x^3+C \space$ mit $C\in \mathbb{R}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

$g(x)=\dfrac{6}{x^{-3}}+\dfrac{2}{x^{-1}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{x^{-3}}+\frac{2}{x^{-1}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^{-\left(-3\right)}+2\cdot x^{-\left(-1\right)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^3+2\cdot x^1$
	$=$	$\displaystyle 6x^3+2x$

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

$\displaystyle G\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\frac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x^2+C$
	↓	mit $C\in \mathbb{R}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}x^4+x^2+C$

Eine Stammfunktion von $g(x)$ ist $G(x)=\dfrac{3}{2}x^4+x^2+C\space$ mit $C\in \mathbb{R}$ .

$h(x)=\dfrac{4}{x^{-2}} \cdot \dfrac{3}{x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

Vereinfache die Funktion zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{x^{-2}}\cdot\frac{3}{x^2}$
	↓	Benutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten um $\dfrac{4}{x^{-2}}$ umzuformen.
	$=$	$\displaystyle 4x^{-\left(-2\right)}\cdot\frac{3}{x^2}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 4x^2\cdot\frac{3}{x^2}$
	↓	Schreibe $4x^2$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot x^2\cdot3}{x^2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{12\cdot x^2}{x^2}$
	↓	Kürze den Faktor $x^2$ .
	$=$	$\displaystyle 12$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{x^{-2}}\cdot\frac{3}{x^2}$
	↓	Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot3}{x^{-2}\cdot x^2}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{x^{-2}\cdot x^2}$
	↓	Berechne den Nenner mit Hilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{x^{-2+2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{x^0}$
	↓	Beachte: $x^0=1$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{1}$
	$=$	$\displaystyle 12$

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

Eine Stammfunktion von $h(x)$ ist $H(x)=12x+C$ mit $C \in \mathbb{R}$ .

$\displaystyle k(x)= \frac{3}{x^4} \cdot \frac{2}{x^{-2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

Vereinfache zuerst den Funktionsterm und bilde dann eine Stammfunktion.

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x^4}\cdot\frac{2}{x^{-2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x^4}\cdot2x^{-\left(-2\right)}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x^4}\cdot2x^2$
	↓	Schreibe $\displaystyle 2x^2$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot2x^2}{x^4}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{6x^2}{x^4}$
	↓	Kürze mit $\displaystyle x^2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{x^2}$
	↓	Wende wieder das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 6x^{-2}$

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x^4}\cdot\frac{2}{x^{-2}}$
	↓	Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot2}{x^4\cdot x^{-2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis im Nenner an.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{x^{4-2}}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{x^2}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 6x^{-2}$

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

$\displaystyle k(x)=6x^{-2}$

$\displaystyle K(x)= -6x^{-1} +C =-\frac{6}{x}+C$ mit $\displaystyle C \in \mathbb{R}$

Eine Stammfunktion von $\displaystyle k(x)$ ist $\displaystyle K(x)=- \frac{6}{x} +C$ mit $\displaystyle C \in \mathbb{R}$ .